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[高中数学]立体几何.球专题讲义


立体几何-球-专题学案 ? 双基练习 1.下列四个命题中错误 的个数是 ( .. ) ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的 D.3

①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆 球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2

2.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4 cm,则该球的体积是 A.

100π 3 cm 3

B.

208π 3 cm 3

C.

500π 3 cm 3

D.

416 ?3π 3 cm 3
2

3.某地球仪上北纬 30°纬线的长度为 12π cm, 该地球仪的半径是_____________cm, 表面积是_____________cm . ? 知识预备 1. 球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系: 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 .被不经过球心的平面截得的圆叫 . .

3. 在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长,这个弧长 叫 4. 5. 球的表面积表面积 S= 球面距离计算公式:__________ . ;球的体积 V= .

? 典例剖析 (1)球面距离,截面圆问题 例 1.球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 这个球的半径为 A.4 3 B.2 3 C.2 D.

1 ,经过这 3 个点的小圆的周长为 4π ,那么 6
3

练习: 球面上有三点 A、B、C,A 和 B 及 A 和 C 之间的球面距离是大圆周长的 1 ,B 和 C 之间的球面距离是大圆
4

周长的 1 ,且球心到截面 ABC 的距离是 21 ,求球的体积.
6

7

例 2. 如图,四棱锥 A-BCDE 中, AD ? 底面BCDE ,且 AC⊥BC,AE⊥BE. (1) 求证:A、B、C、D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上; (2) 若 ?CBE ? 90? , CE ? 3, AD ? 1, 求 B、D 两点间的球面距离.
B
1

A E

D C

(2)注意体会立体空间想象能力,不要把图形想象错误 例 3. 在底面边长为 2 的正方体容器中,放入大球,再放入一个小球,正好可以盖住盖子(小球与大球都与盖子 相切) , 求小球的半径。

(3)经度,维度问题 例 4. 把地球看作半径为 R 的球,A、B 是北纬 30°圈上的两点,它们的经度差为 60° ,A、B 两点间的球面距离为_____________ (4)球的外接与内切问题 例 5. 求边长为 1 的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。 练习:1. 求底面边长为 1,侧棱长为 2 的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。 2. 三棱锥 O-ABC 的三条侧棱两两垂直,且长度分别为 3,4,4 ; 求它的外接球和内切球的半径。

小结归纳

1.常考形式有以下几种: (1) 球与截面圆的问题 (2) 球与棱柱,棱锥的结合,通常求体积,表面积; (3) 维度,经度问题。 (4)外接球与内切球问题 2.注意球面距离容易搞错,它是与大圆相关。 3. 注意空间想象力的培养,避免把图形想象错误。

立体几何-球专题训练 A 组题: 1、 A, B 是球面上相异两点,则经过 A, B 可作的大圆个数为 (A)只有一个 (B)无数个 (C)两个 ( (D)一个或无数个 ) )

2、半径为 5 的球被一个平面所截,截面面积为 16? ,则球心到截面的距离为 ( (A) 4 (B) 3 (C) 2.5 (D) 2

2 2 2 3 、自 半 径 为 1 的 球 面 上 一 点 Q , 作 球 的 三 条 互 相 垂 直 弦 QA, QB, QC , 则 Q A ? Q B ? Q C?

( (A) 4

) (B) 2 (C) 1 (D)不能确定

2

4、已知地球的半径为 R ,在南纬 ? 的纬度圈上有 A,B 两点,若沿纬度圈这两点间的 距离为 ? R cos ? ,则 A,B 两点间的球面距离为 (A) ? R (B) ? R cos ? (C) R? ( (D) R(? ? 2? ) )

5、球的半径为 R , A, B 是球面上两点,且球面距离为 所有平面的距离中,最大距离为 (A) R (B)

?
3

R ,则球心到过 A, B 的
( )

3 R 2

(C)

1 R 2

(D) 不存在

6、两个平行平面去截半径为 5 的球,若截面面积分别为 9? ,16? ,则这两个平行 平面间的距离是 (A) 1 B 组题: 1. 半径为 R 的球“紧贴”在墙角处,则球心到墙角顶点的距离为 ( A. R B. ) (B) 7 (C) 3 或 4 ( (D) 1 或 7 )

2R

C.

3R

D。

2R

2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ , 表面积之比是___________ . 3. 三棱锥 O-ABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直,OA=1,OB=OC=2,则内切球表面积为______ , 外接球体积为 _____________ . 4.已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 为 A. ( ) B.

π ,则球心 O 到平面 ABC 的距离 2

1 3

3 3

C.

2 3

D.

6 3


5. 已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( A.

16π 9

B.

8π 3

C.4π

D.

64π 9

6. 把地球看作半径为 R 的球,A、B 是北纬 30°圈上的两点,它们的经度差为 60°,A、B 两点间的球面距离为 _____________ . 7. 已知球面上的三点 A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为 13,求球心到平面 ABC 的距离. 8. 将半径为 R 的四个球,两两相切的放在桌面上固定,上面再放一个球,求上面一个球的球心到桌面的距离. 9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为 h 的水,然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中,若水面 恰好和球面相切,求这个铁球的半径.

3


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