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浙江省绍兴一中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


绍兴一中

2013 学年 第一学期

期中考试试题纸

高一数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 设 集 合 ( ) B. {2,3,5} 组 函 数 中 , C. {3,4,5} 表 示 同 一 D. {2,3,4,5} 函 数 的 是 A= { 2,3 }, B= { 2,3,4 } ,C= { 2,4,5 } 则 ( A ? B) ? C =

A. {2,3,4} 2. ( 下 ) 列 四

2 A.y=x-1 与 y= ( x ? 1)

B.y= x-1与 y=

x-1 x-1
2

C.y=lgx-2 与 y=lg 100

x

D.y=4lgx 与 y=2lgx

3. (

已 知 函 数 ) A.

?log 2 x( x ? 0) f ( x) ? ? x ?3 ( x ? 0)



那 么

1 f [ f ( )] 4

的 值 为

4 . 下 列 函 数 中 , 是 偶 函 数 且 在 区 间 (0,??) 上 是 减 函 数 的 为 ( ) A. y ? x
?1

1 9

B. 9

C. ?

1 9

D. ? 9

B. y ? x
0.3

2

C. y ? x

?2

D. y ? ( )

1 2
(

x

?1? ?2 5. 已知 a ? ? ? , b ? 0.3 , c ? log 1 2 ,则 a, b, c 的大小关系是 2 ? ? 2
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a

)

D. b ? a ? c

6. 知 函数 f ( x ) = 错 误! 未 找到 引 用源 。 的定义 域是 R ,则实数 a 的取 值范围是 ( ) A . a >错误!未找到引用源。 D.a≤错误!未找到引用源。 7. 设奇函数 f ?x ? 在 ?0,? ?? 上为增函数,且 f ?1? ? 0, 则不等式 B .- 12 < a≤0 C .- 12 < a < 0

f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 的解集 x

(

) A. ?? 1,0? ? ?1,? ?? B. ?? ?,?1? ? ?0,1? C. ?? ?,?1? ? ?1,? ?? D. ?? 1,0? ? ?0,1?

8. 若 关 于 x 的 方 程 | 3x?1 ? 1? | k 有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 ( ) A. (?1, 0) 9. 设函数 f ( x) ? 2 于 函 数 f (x ) ? ( ) A.K 的最大值为 2 2 C.K 的最大值为 1 B.K 的最小值为 2 2 D.K 的最小值为 1
? x2 ? x ? 2

B. (0,1)

C. (1, ??)

D. (1, 2)

,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? K 若对 ? K , f ( x) ? K
, f( x ) 则

?x 2

2

? x?2

定 义 域 内 的 任 意

? x , 恒 有 f K ( x)

1 1 10.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2 记作 {x} ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ?{x} 的四个结论:
① 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 值 域 为 [0, ] ; ② 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线

1 2

x?
其 (

1 1 k (k ? Z ) 对称;③函数 y ? f ( x) 是偶函数;④函数 y ? f ( x) 在 [? , ] 上是增函数. 2 2 2
中 正 确 B.2 结 论 C.3 的 个 D.4 数 是

) A.1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分)
1 2 0 4 ( ) ? 2 ? (0.25) ? lg 25 ? 2lg 2 = 11. 3

. (答案化到最简) .

12. 已知函数 f (2 x ? 1) ? 3x ? 2 ,且 f (a) ? 4 ,则 a ? 13. 已知集合 P ? {a , a ? 1, ?3}, Q ? {a ? 1, 2a ?1, a ? 3} ,若 P
2 2

Q ? {?3} ,则 a 的值

是 . 14. 函 数 y ? log x ? 3) ? 的 8 图 象 恒 过 定 点 P , P 在 幂 函 数 f ( x) 的 图 象 上 , 则 a (2

f (3) ?
15. 函数 y

.

? log 1 ( x 2 ? 5 x ? 6) 的单调减区间为
2

.

16.

已知定义在R上的奇函数f ( x),当x ? 0时,f ( x) ? x3 ? x2,
.

则f ( x) ?
17.已知函数 f ( x) ? ?
[来源:学科网 ZXXK]

?ax ? 1 ? 2a, x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1

,若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 .

立,则实数 a 的取值范围是 18. 已知函数 y ?

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分)

x ? 2 5 ? x 的定义域为集合 Q,集合 P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, .,

(1)若 a ? 3 ,求 (CR P) Q ; (2)若 P ? Q ,求实数 a 的取值范围. 19. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中, 发现其注意 力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t∈[0,14]时,曲线是二次函数 图象的一部分,当 t∈[14,40]时,曲线是函数 y ? log a ( x ? 5) ? 83 (a>0 且 a≠1)图象的一 部分.根据专家研究,当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳. (1)试求 p=f(t)的函数关系式; (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.

20.已知函数 f ( x) ? (log 3 (1)若 x ? [

x )(log 3 3x) 27

1 1 , ] ,求函数 f ( x) 最大值和最小值; 27 9 (2)若方程 f ( x) ? m ? 0 有两根 ? , ? ,试求 ? ? ? 的值.

21.已知函数 f ( x) ?

2a x ? a ? 4 (a ? 0且a ? 1) 是定义在 ( ??,??) 上的奇函数. 2a x ? a

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域; (3)当 x ? (0,1] 时, tf ( x) ? 2x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围.

22.设函数 f ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 3a (1)若 f(x)在 [0, 2] 上的最大值为 0,求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间 [? , ? ] 上单调,且 ? y | y ? f ( x),? ? x ? ? ? ? [? , ? ] ,求实数 a 的取值 范围。

附加题 已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 。 4x ? 2x ?1

(1)若 f ( x) 的最小值为 ? 2 ,求实数 k 的值; (2)若不存在实数组 x1 , x2 , x3 满足不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,求实数 k 的取值范围。

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={ 2,3} ,B={2,3,4},C={2,4,5}则 ( A ? B) ? C = A. {2,3,4} B. {2,3,5} 2.下列四组函数中, 表示同一函数的是
2 A.y=x-1 与 y= ( x ? 1)

( D ) D. {2,3,4,5} (

C. {3,4,5}

C

)

B.y= x-1与 y=

x-1 x-1
2

C.y=lgx-2 与 y=lg 100 3. 已知函数 f ( x) ? ? A.

x

D.y=4lgx 与 y=2lgx , 那么 f [ f ( )] 的值为 C. ?

?log 2 x( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

1 4

( A ) D. ? 9 ( C D. y ? ( ) )

4.下列函数中,是偶函数且在区间 (0,??) 上是减函数的为 A. y ? x ?1
0.3

1 9

B. 9

1 9

B. y ? x2

C. y ? x ?2

1 2

x

5. 已知 a ? ?

?1? ?2 则 a, b, c 的大小关系是 ? ,b ? 0.3 ,c ? log 1 2 , ?2? 2



D )

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. b ? a ? c 6. 知函数 f ( x ) = 错 误! 未 找到 引 用源 。 的定义 域是 R ,则实数 a 的取 值范围 是 ( B ) A . a >错误 !未找到引用源 。 B .- 12 < a≤0 C .- 12 < a < 0 D.a≤错误!未找到引用源。 7. 设奇函数 f ?x ? 在 ?0,? ?? 上为增函数,且 f ?1? ? 0, 则不等式 ( D ) B. ?? ?,?1? ? ?0,1? C.

f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 的解集 x

A. ?? 1,0? ? ?1,? ??

?? ?,?1? ? ?1,? ??

D.

?? 1,0? ? ?0,1?

8. 若 关 于 x 的 方 程 | 3x?1 ?1|? k 有 两 个 不 相 等 的 实 根 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ( B ) A. (?1, 0) 9. 设函数 f ( x) ? 2 于 函 数 f (x ) ? ( B ) A.K 的最大值为 2 2 B.K 的最小值为 2 2
? x2 ? x ? 2

B. (0,1)

C. (1, ??)

D. (1, 2)

, 对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? K 若对 ? K , f ( x) ? K
, f( x ) 则

?x 2

2

? x?2

定 义 域 内 的 任



x , 恒 有 f K ( x)?

C.K 的最大值为 1 10.给出定义:若 m ?

D.K 的最小值为 1

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2 记作 {x} ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ?{x} 的四个结论:
① 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 值 域 为 [0, ] ; ② 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线

1 2

x?
其 (

1 1 k (k ? Z ) 对称;③函数 y ? f ( x) 是偶函数;④函数 y ? f ( x) 在 [? , ] 上是增函数. 2 2 2
个 D.4 数 是

中 正 确 结 论 的 C ) A.1 B.2 C.3 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分)
1 2 0 4 ( ) ? 2 ? (0.25) ? lg 25 ? 2lg 2 = 11. 3

0

. (答案化到最简)

12. 已知函数 f (2 x ? 1) ? 3x ? 2 ,且 f (a) ? 4 ,则 a ? __

7 ______. 3

13. 已知集合 P ? {a2 , a ? 1, ?3}, Q ? {a2 ? 1, 2a ?1, a ? 3} ,若 P

Q ? {?3} ,则 a 的值

是 -1 . 14. 函数 y ? log a (2 x ? 3) ? 8 的图象恒过定点 P , P 在幂函数 f ( x ) 的图象上, 则 f (3) ? 27 .

15. 函数 y 16.

? log 1 ( x 2 ? 5 x ? 6) 的单调减区间为 (3, ??)
2



已知定义在R上的奇函数f ( x),当x ? 0时,f ( x) ? x3 ? x2,

3 2

则f ( x) ?
?x ?x ? ? ? x3 ? x 2 ? x?0 x?0

17.已知函数 f ( x) ? ?

?ax ? 1 ? 2a, x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1

,若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成

立,则实数 a 的取值范围是 .a ? 2或a ? 0 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分) 18. (7 分)已知函数 y ?

x ? 2 5 ? x 的定义域为集合 Q,集合 P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, .,

(1)若 a ? 3 ,求 (CR P) Q ; (2)若 P ? Q ,求实数 a 的取值范围. 18.解: Q ? {x | x2 ? 3x ? 10} ? {x | ?2 ? x ? 5} (1)当 a ? 3 时, P ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} ? {x | 4 ? x ? 7} , CR P ? {x | x ? 4 或 x ? 7} (CR P) Q ? {x | x ? 4 或 x ? 7} {x | ?2 ? x ? 5} = {x | ?2 ? x ? 4} ; 3 分

(2)当 P ? ? 时,即 2a ?1 ? a ?1,得 a ? 0 ,此时有 P ? ? ? Q ;
? a ? 1 ? ?2 ? 当 P ? ? 时,由 P ? Q 得: ? 2a ? 1 ? 5 解得 0 ? a ? 2 综上有实数 a 的取值范围是 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ?
(??, 2] .4 分

19. (7 分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发 现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t∈[0,14]时,曲线是 二次函数图象的一部分,当 t∈[14,40]时,曲线是函数 y ? log a ( x ? 5) ? 83 (a>0 且 a≠1) 图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳. (1)试求 p=f(t)的函数关系式; (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.
[来源:Z+xx+k.Com]

解:(1)t∈[0,14]时, 1 2 设 P= f(t)=c(t-12) +82(c<0), 将(14,81)代入得 c=- t∈(0,14]时, P= f(t) 4 1 2 =- (t-12) +82 4

t∈(14,40]时,将(14,81)代入 y=loga(x-5)+83,得 a=
( t ?12)2 ?82,t?[0,14] ? ?1 4 ∴P=f(t)= ? log 1 ( t ?5) ?83,t?[14,40] ? 3

1 3

3分

1 2 (2)t∈[0,14]时,- (t-12) +82≥80 4 解得 12-2 2≤t≤12+2 2, ∴t∈[12-2 2,14]

t∈[14,40]时,log (t-5)+83≥80 解得 5<t≤32,
∴t∈[14,32],∴t∈[12-2 2,32] 即老师在 t∈[12-2 2,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.4 分

1 3

20. (8 分)已知函数 f ( x) ? (log 3 (1)若 x ? [

x )(log 3 3x) 27

1 1 , ] ,求函数 f ( x) 最大值和最小值; 27 9 (2)若方程 f ( x) ? m ? 0 有两根 ? , ? ,试求 ? ? ? 的值.
19.解: (1) f ( x) ? (log3 x ? 3)(log3 x ? 1) 令 log3 x ? t , t ?[?3, ?2]

? g (t ) ? t 2 ? 2t ? 3, t ?[?3, ?2]
g (t ) 对称轴 t ? 1

? f max ( x) ? g (?3) ? 12 f min ( x) ? g (?2) ? 5

5分

(2)即方程 (log3 x)2 ? 2log3 x ? 3 ? m ? 0 的两解为 ? , ?

?log3 ? ? log3 ? ? 2
? log3 ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 9
3分

21. (10 分)已知函数 f ( x) ?

2a x ? a ? 4 (a ? 0且a ? 1) 是定义在 ( ??,??) 上的奇函数. 2a x ? a

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域; (3)当 x ? (0,1] 时, tf ( x) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解: (1) f ( x)是定义在( -?, +?)上的奇函数, ? f (? x) ? f ( x) ? 0, 得a=2 (或 f(0)=0)3 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知

f (x ? ? )

? 2x ?

1? y 1? y ,?由 >0得-1<y ? 1, 故函数的值域为(-1,1 )4 分 1? y 1? y
x

2 1 2 ?1
x



(3) 当x ? (0,1]时,tf ( x) ? 2 ? 2恒成立,即t 方 法

2x ?1 ? 2x ? 2 2x ? 1


2 2 t ? 2 x ? x , x ? (0,1]恒成立,而函数y=2 x ? x 在(0,1]上单调递增, 2 ?1 2 ?1 其最大值为 0,? t ? 0 2x x 方法二 2 ? (t ? 1) 2 ? 2 ? t ? 0, x ? (0,1]恒成立

令2x ? s, 则s ? (1, 2], 设g(s)=s2 ? (t ? 1)s ? 2 ? t

?

g (1) ? 0 g (2) ? 0

? t ? 0,? 实数t的取值范围t ? 0 3 分

22. (10 分)设函数 f ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 3a (1)若 f(x)在 [0, 2] 上的最大值为 0,求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间 [? , ? ] 上单调,且 ? y | y ? f ( x),? ? x ? ? ? ? [? , ? ] , 求实数 a 的取值范围。 (Ⅰ) 当 ?

2a ? 1 3 ? 1 ,即: a ? ? 时, f ( x)max ? f (2) ? a2 ? 7a ? 6 ? 0 . 2 2
故 a ? ?6 (舍去),或 a ? ?1 ;

当?

故 a ? 0 (舍去)或 a ? ?3 . 综上得: a 的取值为: a ? ?1 或 a ? ?3 . (Ⅱ) 若 f ( x) 在 [? , ? ] 上递增,则满足: (1) ?

2a ? 1 3 ? 1,即: a ? ? 时, f ( x)max ? f (0) ? a2 ? 3a ? 0 . 2 2
4分

? f (? ) ? ? 2a ? 1 , ? ? ;(2) ? 2 ? f (? ) ? ? 2a ? 1 即方程 f ( x) ? x 在 [? , ??) 上 有两个不相等的实根. 2 方程可化为 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3a ? 0 ,设 g ( x) ? x2 ? 2ax ? a2 ? 3a , ? 2a ? 1 ?? 2 ? ?a ? 1 则 ?? ? 0 ,解得: ? ? a ? 0 . 12 ? 2a ? 1 ? g (? )?0 2 ? 若 f ( x) 在 [? , ? ] 上递减,则满足:
(1) ?

3分

? f (? ) ? ? 2a ? 1 . ? ? ;(2) ? 2 ? f (? ) ? ?

?? 2 ? (2a ? 1)? ? a 2 ? 3a ? ? 由? 2 得,两式相减得 2 ?? ? (2a ? 1)? ? a ? 3a ? ? (? ? ? )(? ? ? ) ? (2a ? 1)(? ? ? ) ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? 2a ? 1 ? ?1 . 即 ? ? ?? ? 2a ? 2 .
∴ ? 2 ? (2a ? 1)? ? a2 ? 3a ? ?? ? 2a ? 2 ,即 ? 2 ? (2a ? 2)? ? a2 ? 5a ? 2 ? 0 . 同理: ? 2 ? (2a ? 2)? ? a2 ? 5a ? 2 ? 0 . 即方程 x2 ? (2a ? 2) x ? a2 ? 5a ? 2 ? 0 在 (??, ?

设 h( x) ? x2 ? (2a ? 2) x ? a 2 ? 5a ? 2 ,

2a ? 1 ] 上有两个不相等的实根. 2 ? 2a ? 1 ?? 2 ? ?a ? 1 ? 则 ?? ? 0 , 解 得 : ? 2a ? 1 ? h( ? )?0 2 ?

?

5 1 ?a?? . 12 3

3分

综上所述: a ?[?

5 1 1 , ? ) [? ,0) . 12 3 12

附加题(10 分)已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 。 4x ? 2x ?1

(1) 若 f ( x) 的最小值为 ? 2 ,求实数 k 的值; (2) 若不存在实数组 x1 , x2 , x3 满足不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , 求实数 k 的取值 范围。 (1) f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 ? 1? 4x ? 2x ?1

k ?1 , 1 x 2 ? x ?1 2

1 k ?1 ? 1 ? 3 ,则 y ? 1 ? (t ? 3) , x t 2 k?2 ] 无最小值,舍去; 当 k ? 1 时, y ? (1, 3
令t ? 2 ?
x

当 k ? 1 时, y ? 1 最小值不是 ? 2 ,舍去; 当 k ? 1 时, y ? [

k ?2 k?2 ,1) ,最小值为 ? ?2 ? k ? ?8 , 3 3 综上所述, k ? ?8 。 4分

(2) 由题意, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 对任意 x1 , x2 , x3 ? R 恒成立。 当 k ? 1 时,因 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 故

2k ? 4 k?2 且 1 ? f ( x3 ) ? , 3 3

k?2 ? 2 ,即 1 ? k ? 4 ; 3

[来源:学科网 ZXXK]

当 k ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 1,满足条件; 当 k ?1 时 ,

k?2 2k ? 4 2k ? 4 ? f ( x3 ) ? 1 , 故 1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 且 , 3 3 3 1 1 ? ? k ? 1; 综上所述, ? ? k ? 4 6分 2 2
[来源:Z§xx§k.Com]


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