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高中数学三角函数复习专题 (1)


2016 年人教版数学必修一 三角函数复习资料



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 27 日星期二

1

高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理:
1、角的概念的推广: 正负,范围,象限角,坐标轴上的角; 2、角的集合的表示:
? ①终边为一射线的角的集合: ? ?x x ? 2k? ? ? , k ? Z ?= ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z

?

?

②终边为一直线的角的集合: ? x x ? k? ? ? , k ? Z ; ③两射线介定的区域上的角的集合: ? x 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ④两直线介定的区域上的角的集合: ? 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。 R 为圆弧的半径, l 为弧长。

?

?

?

?

?x k? ? ? ? x ? k? ? ?, k ? Z?;

1 (2) 扇形的面积公式: S ? lR 2

(3) 三角函数定义:角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:
sin ? ? y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x
2 2 r= a ? b

P ? r cos ? , r sin ? ? 比 反过来, 角 ? 的终边上到原点的距离为 r 的点 P 的坐标可写为:
如:公式 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 的证明 (4)特殊角的三角函数值 α sinα 0 0

? 6
1 2
3 2 3 3

? 4
2 2
2 2

? 3
3 2

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2? 0

cosα

1

1 2
3

0 不存 在

-1

0 不存 在

1

tanα

0

1

0

0

(5)三角函数符号规律:第一象限全正,二正三切四余弦。

2

(6)三角函数线: (判断正负、比较大小,解方程或不等式等) 如图,角 ? 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,则 过点 A(1,0)作 x 轴的切线,交角终边 OP 于点 T,则 (7)同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1
(8)诱导公试

y
P

T

o 。
sin a cos a

M

A

x

②商数关系: tan a ?

sin -?
? -?
? +?

cos

tan

三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前面 加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数值的 符号;即:函数名不变,符号看象限

- sin ?

+ cos? - tan? - tan? + tan?

+ sin ? - cos? - sin ? - sin ? - cos?

2? -? 2k ? + ?

+ cos? - tan?

+ sin ? + cos? + tan? sin con tan
三角函数值等于 ? 的异名三角函数值,前面 加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数值的 符号;

? ?
2

??

+ cos? + sin ? + cot? + cos? - sin ? - cos? - cos? - sin ? - cot? + cot?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

+ sin ? - cot?

即:函数名改变,符号看象限:

?? ?? ? ?? ? ? sin ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? 4? ?4 ? ? 比如 ? 4 ?

?? ? ?? ? cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 4? ? ?4 ?

3

4.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:
cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ? s i na(? ? ) ? s i n ac o ? s ?c oa ss i n ?
注:公式的逆用或者变形 .........

tana(a ? ? ) ?

tana ? tan ? 1 ? tana tan ?

(2)二倍角公式:
sin 2a ? 2 sin a cos a
2 tan a 1 ? tan 2 a (3)几个派生公式: tan 2a ?
2 2 co2 s a ? c o 2sa ? s i n a ? 1? 2s i n a ? 2 c o 2sa ? 1

①辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin(x ? ? ) ? a 2 ? b 2 cos(x ? ? )

?? ? ?? ? 例如:sinα ±cosα = 2 sin ?? ? ? = 2 cos ? ? ? ? . 4? 4? ? ? ?? ?? ? ? sinα ± 3 cosα =2sin ? ? ? ? =2cos ? ? ? ? 等. 3? 3? ? ?
②降次公式:

(sin? ? cos? )2 ? 1 ? sin 2?
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? 2 2

cos 2 ? ?
③ tan?

? tan ? ? tan( ? ? ? )(1 ? tan? ? tan? )
y ? cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

5、三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数
定义域 值域 最小正周期 奇偶性
[ 2k? ?

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞)

T ? 2?

?
2 ,2k? ?

T ? 2?


T ??

?
2

?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]
单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

单调性

单调递增
[2k? ?

(k? ?

, k? ?

?
2

)

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增

单调递减 对称性

x ? k? ?

?
2

x ? k?

(

(k? ,0)
零值点

? (k? ? ,0) 2
x ? k? ?

k? ,0 ) 2

x ? k?

?
2

x ? k?

4

x ? k? ?

?
2

x ? 2k? ,
ymax ? 1 ;

最值点

ymax ? 1
x ? k? ?



?
2

x ? (2k ? 1)? ,
y min ? ?1

y min ? ?1

6、.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?

(2) 函数 y ? A tan( ?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? (3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 2 2

的值以及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总 是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 (附上函 数平移伸缩变换): 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的 ( w ? 1 缩短, 0 ? w ? 1 伸长) ② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍 ( A ? 1伸长, 0 ? A ? 1 缩短) 函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称)
5

1 倍 w

③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧 (偶 函数局部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻 动)

7、解三角形

?1? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 bc 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 余弦定理: ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2ac , ? 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?

? 3? 推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③
a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ? ? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
1 1 1 ab*sinC= bc*sinA= ca*sinB 2 2 2

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C (4)面积公式:S=

6


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