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2013高考数学试题汇编-概率统计


概率统计(包括直方图) 一、选择题 1.重庆(4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位: 分). 甲组 乙组 9 0 9 y x 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x 、 y 的值分别为(

)

(A)2、5 (B)5、5 (C)5,8 (D)8,8 2.四川 9、节日来临,某大门前树上挂了两串彩灯,每串彩灯的第一次闪亮相互独立,并且 在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生。 然后每串彩灯以 4 秒为周期闪亮, 那么这两串彩灯 同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) (A)

1 4

(B)

1 2

(C)

3 4

(D)

7 8

3.福建 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将他们的模块测试成绩分成 6 组: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名, 据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( A.588 B.480 C.450 D.120 )

4.湖北 9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样 大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆 面数为 X ,则 X 的均值 E ( X ) =( A. )

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

5.广东 4.已知离散型随机变量 X 的分布列为

X P

X P

1

2

3

则 X 的数学期望 E(X)=( A. B. 2 C.



D

3

6.辽宁 5、某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:

?20,40?, ?, ?, ?40,60 ?60,80 ?80,100? 。若低于
( )

60 分的人数是 15,则该班的学生人数为

A.45 B.50 C.55 D.60 7.陕西 4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 8.陕西 5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围 分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在 该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概 . 率是( (A) 1 ? )
D F C

?
4

(B)

?
2

?1

1 E A 2 B

(C) 2 ?

?
2

(D)

? 4

9.江西 4.总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个体的编号为 ( ) 7816 3204 A.08 6572 9234 0802 4934 B.07 6314 8200 0702 3623 C.02 4369 4869 9728 6938 0198 7481 D.01

10.湖南 2.某学校有男、 女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方

面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽 样方法是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法
11.安徽(5)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男 生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生 的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) (A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样 (C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D)该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

二、填空题 12.福建 11. 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件‘ 3a ? 1 ? 0 ’的概率为_________ 13.江苏 6、两名射击运动员射击 5 次的成绩如下表(单位:环) 。则两名运动员中 成绩较稳定(方差较小的)的运动员的成绩的方差是____________ 运动员 甲 乙 第一次 87 89 ,其中正整数 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92 都取到奇数

14、某种病毒为 的概率________

可以任意选取,则

15.辽宁 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的认输,从全校随机抽取 5 个班级,把每 个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据 互不相同,则样本数据中的最大值为____________________________。 16.湖北 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查, 发现其用电量都在 50 到 350 之间, 频率分布直方图如图所示. (1)直方图中 x 的值为 ; (2)在这些用户中,用电量落在区间 [100, 250) 内的户数为 .

17.全国(14)从 n 个正整数 1, 2, ?, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 1 的概率为 ,则 n = 14 .

18.山东(14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得|x+1|-|x-2|≥成立的概率为____.

三、解答题 19.天津(16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号 分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望.

20.福建 16.(本小题满分 13 分) 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 可以获得 2 分;方案乙的中奖率为

2 ,中奖 3

2 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分。每人有且只有 5 一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X ? 3 的概 率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽 奖,累计得分的数学期望较大?

21.安徽(21) (本小题满分 13 分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的 心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数) 。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息 独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活 动通知信息的学生人数为 x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m 。

22.湖南 18. (本小题满分 12 分) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指纵、 横的交叉点记忆 三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收 获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:
X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。

23.江西 18.(本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以 0 为起点,再 从 A1,A2,A3,A4,A5,A1,A2,A3(如图)这 8 个点中任取两点分别分终点得到两个 向量,记这两个向量的数量积为 X。若 X=0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队。 (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望。

24.山东(19)本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲 队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立。 (1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3:分,对方得 0 分;若逼骚结果为 3:2, 则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望。

25.在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最 受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏 爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.

26.北京 16.( 本小题共 13 分)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量 指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染, 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

' 27.辽宁 19、 12 现有 10 道题,期中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解

? ?

答。 (1)求张同学至少取到一到乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率都 是

3 4 ,答对每道乙类题的概率都是 ,用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数 5 5

学期望。

28.全国(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示.经 销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。 X 以 (单位:t,100
≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 X 100 110 120 130 140 150

内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季 度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个需求量,需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X∈[100,110),则取 X = 105, 且 X = 105 的概率等于需求量落入[100,110]的概率,求 T 的数学期望.

29.浙江 19. (本题满分 14 分)设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个篮球,且规定:取 出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个篮球得 3 分. (Ⅰ)当 a ? 3 , ? 3 , ? 1时,从该袋子中任任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 b c 个球,记随机变量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,求 ? 的分布列; (Ⅱ) 从该袋中任取 (每球取到的机会均等) 个球, 1 记随机变量? 为取出此球所得分数. 若

E? ?

5 5 , D? ? ,求 a : b : c . 3 9

30.广东 17. (本小题满分 12 分)

某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图 4 所示,其中茎为十位数,叶为个位数。 (1) 根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推 断该车间 12 名工人中有几名优秀工人? (3) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率

31.湖北 20.假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N (800,502 ) 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 . (1)求 p0 的值; (参考数据:若 X ? N (? , ? 2 ) ,有 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .)
(2)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运服务,每车每天往 返一次. A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于

A 型车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙
地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

32.四川 18、(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这 24 个整数中等可能随机产生。 ( Ⅰ) 分 别 求 出 按 程 序 框 图 正 确 编 程 运 行 时 输 出 y 的 值 为 i 的 概 率

P (i ? 1, 2,3) ; i

(Ⅱ 甲、 ) 乙两同学依据自己对程序框图的理解, 各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频数。以下是甲、乙所作频 数统计表的部分数据。 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 运行 y 的值 输出 次数 n 为 3 的频数 30 输出 y 的值 为 1 的频数 乙的频数统计表(部分) 输出 y 的值 输出 y 的值 为 2 的频数 为 3 的频数

30
?

12
?

11
?

1027 376 697 1051 696 当 n ? 2100 时 ,根 据 表中 的 数据, 分 别写 出 甲、 乙 所编程 序 各自 输 出 y 的 值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分数表示) ,并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可 2100
能性较大。 (Ⅲ) 将程序框图正确编写的程序运行 3 次, 求输出 y 值为 2 的次数 ? 的分布列及数学期望.

7 ? ? 2100 353

14
?

6
?

10
?

33.重庆(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球 与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ( X ) .


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