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江西省赣州市寻乌中学2017届高三上学期适应性考试(第二次月考)理数试题(解析版).doc


一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知关于 x 与 y 之间的一组数据:

则 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 必过点( A. (4, 7) D. (5, 6) 【答案】A B. (3.5, 6.5)

) C. (3.5, 7.5)

考点:线性回归方程的性质. 2.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( )

A.6 D.7 【答案】D 【解析】

B.8

C.5

0 试题分析:这个循环结构是当型循环结构,第一次循环: S ? 100? 2 ? 99 , k ? 1 ;第二 2 次循环: S ? 99 ? 2 ? 97 , k ? 2 ;第三次循环: S ? 97 ? 2 ? 93, k ? 3 ;第四次循环:

S ? 93 ? 23 ? 85 , k ? 4 ; 第 五 次 循 环 : S ? 85 ? 24 ? 69 , k ? 5 ; 第 六 次 循 环 : S ? 69 ? 25 ? 37 , k ? 6 ;第七次循环: S ? 77 ? 26 ? ?27, k ? 7 .∵ S ? ?27 ? 0 ,∴
输出 k ? 7 .故选 D. 考点:程序框图. 【方法点睛】本题主要考查的是程序框图,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件 “ S ? 0?” ,否则很容易出现错误.对于循环结构的流程框图,主要是根据循环的次数,当 循环次数较少时,逐次列出循环过程,当循环次数较多时,寻找其规律;在该题中,在给出 程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算, 直到达到输出 条件即可. 3.已知 a ? b ? 0 ,则 a ? b 与 a ? b 的大小关系是( A. a ? b ? D.无法确定 【答案】B ) C. a ? b ?

a ?b

B. a ? b ?

a ?b

a ?b

考点:不等式比较大小. 4.已知 z ? C ,若 z ? | z |? 0 ,则 z ? (
2

) C.0

A. i D.0 或 ?i

B. ? i

【答案】D 【解析】
2 2 试题分析:设 z ? x ? yi ,故 x ? y ? 2 xyi ?

? ?x2 ? y 2 ? x2 ? y 2 ? 0 x 2 ? y 2 ? 0 ,即 ? , ? ?2 xy ? 0

解得 ?

?x ? 0 ,故 z ? 0 或 ? i ,故选 D. y ? ? 1 ?

考点:复数的运算. 5.已知 a , b 为实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 分也不必要条件 【答案】C B.必要不充分条件 C.充分必要条件 ) D.既不充

考点:充要条件的判断. 6.

(1 ? i ) 2 ?( i
A. 2i

) B. ? 2 i C. 2

D.-2 【答案】C 【解析】 试题分析:

?1 ? i ?2
i

?

2i ? 2 ,故选 C. i

考点:复数的运算. 7.下列命题中 ①若 f '( x0 ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 取得极值; ②直线 5 x ? 2 y ? 1 ? 0 与函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象不相切;

③若 z ? C ( C 为复数集) ,且 | z ? 2 ? 2i |? 1,则 | z ? 2 ? 2i |? 1 的最小值是 3;

④定积分

?

0

?4

16 ? x 2 dx ? 4? .
) B.③④ C. ②④

正确的有( A.①④ D.②③④ 【答案】D 【解析】

试题分析:①若 f '( x0 ) ? 0 ,且在 x ? x0 的左右附近导数的符号改变,则函数 y ? f ( x) 在

x ? x0 取得极值,故不正确;②若直线与函数的图象相切,则 f ?? x0 ? ?

5 ,即 2

?? 5 ? 显然 x0 不存在, 故②正确; ③ | z ? 2 ? 2i |? 1 的几何意义是以 A?? 2,2? 2 cos? 2 x0 ? ? ? , 3? 2 ?
为圆心,半径为 1 的圆, z ? 2 ? 2i 的几何意义是圆上一点到点 B?2,2? 的距离,连接 AB 并 延长,显然最小值为 AB ? 1 ? 4 ? 1 ? 3 ,故③正确;④令 y ? 16 ? x 2 ,则

x 2 ? y 2 ? 16? y ? 0? ,点 ? x, y ? 的轨迹表示半圆,定积分 ?
4 为半径的圆面积的

0

?4

16 ? x 2 dx 表示以原点为圆心,

0 1 ,故定积分 ? 16 ? x 2 dx ? 4? ,故④正确.故选:D. ?4 4

考点:命题的真假的判定与应用. 【方法点睛】本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念,导数的应用于求切线方程,以 及复数的几何意义,定积分的几何意义及求法,是一道中档题.①函数在某点处取得极值一 定要考虑左右两侧导数值符号相反;②求出导数 f ?? x ? ,由切线的斜率等于 f ??x0 ? ,根据三 角函数的值域加以判断即可;③ | z ? 2 ? 2i |? 1表示圆, z ? 2 ? 2i 的几何意义两点的距离, 通过其意义可得解;④令 y ? 16 ? x 2 的轨迹表示半圆,则该积分表示该圆面积的

1 . 4

8.将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相 同.甲 从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b .则使 不等式

a ? 2b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率等于(
A.

) C.

61 81

B.

60 81

59 81

D.

52 81

【答案】A

考点:等可能事件的概率. 【方法点睛】 本题考查等可能事件的概率, 在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事 件数时,因为包含的情况比较多,又是一个数字问题,注意做到不重不漏.试验发生包含的 事件是两次分别从袋中摸球, 共有 9 ? 9 种结果, 满足条件的事件是使不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 成立的,即 2b ? a ? 10 ,列举出当 b ? 1,2,3,4,5,6,7,8,9 时的所有的结果,得到概率. 9.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf '(1) ? ln x ,则 f '(1) ? ( A. ?e D. e 【答案】C B.1 C.-1 )

考点: (1)导数的乘法与除法法则; (2)导数的加法与减法法则. 10.设 (2 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a5 x5 ,那么 A. ? D.-1 【答案】B 【解析】

a0 ? a2 ? a4 的值为( a1 ? a3



122 121

B. ?

61 60

C. ?

244 241

试 题 分 析 :

x ? 1 时 , 1 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5



x?3

时 ,

35 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,
∴ a0 ? a2 ? a4 ? 122, a1 ? a3 ? ?120,∴ 考点:二项式定理的应用. 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 5 分,满分 35 分. ) 11.用 18 m 长的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,则该长 方体的 最大体积是____________ m . 【答案】 3 【解析】 试题分析:设该长方体的宽是 x 米,由题意知,其长是 2 x 米,高是
3

a0 ? a2 ? a4 61 ? ? ,故选:B. a1 ? a3 60

18 ? 12 x 9 ? ? 3 x 米, 4 2

? ?0 ? x ? ?

3? ?9 ? 3 2 ? 则该长方体的体积 V ?x ? ? x ? 2 x ? ? ? 3x ? ? ?6 x ? 9 x ,由 V ??x ? ? 0 ,得到 2? 2 ? ?
3 时,V ??x ? ? 0 ,即体积函数 V ?x ? 在 x ? 1 2

x ? 1 ,且当 0 ? x ? 1 时,V ??x ? ? 0 ;当 1 ? x ?

处取得极大值 V ?1? ? 3 ,也是函数 V ?x ? 在定义域上的最大值.所以该长方体体积最大值是

3 .故答案为: 3 .
考点: (1)导数在最值中的应用; (2)棱柱、棱锥、棱台的体积. 12.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取 2 件,若 X 表示取到次品的件数,则

EX ? ____________.
【答案】

3 5

考点:离散型随机变量的期望与方差. 13.已知函数 f ( x) ? tan x ,则 f ( x ) 在点 P ( 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 【解析】
2 试题分析: f ??x ? ? sec x ,把 x ?

?

?
2

, f ( )) 处的线方程为__________. 4 4

?

?0

?
4

代入得到切线的斜率

? 1 ?? ?? ? ?? ? ? k ? f ?? ? ? sec 2 ? ? 2 ,切点为 ? ,1? ,则所求切线方程为 y ? 1 ? 2? x ? ? , ? 4 cos 2 4? ?4? ?4 ? ? 4
即为 2 x ? y ? 1 ?

?
2

? 0 .故答案为: 2 x ? y ? 1 ?

?
2

? 0.

考点:利用导数研究曲线上某点处的切线方程. 14.已知某电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布 N (1000,50 ) ,那么该电子元 件的使 用寿命超过 1000 小时的概率为____________. 【答案】 【解析】 试题分析:∵某电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布 N (1000,50 ) ,∴图象 关于 x ? 1000 对称,∴该电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 考点:正态分布曲线的特点. 15. ( x ?
3

2

1 2

2

1 1 ,故答案为: . 2 2

1 5 ) 展开式中的常数项是____________. x2

【答案】 ?10

考点:二项式定理. 16.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,如果存在正实数 k ,对于任意 x ? D ,都有 x ? k ? D ,且

f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x) 为 D 上的“ k 型增函数” ,已知函数 f ( x ) 是定
义在 R 上的奇 函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x ) 为 R 上的“2015 型增函数” ,则实数

a 的取值范围
是____________. 【答案】 a ? 【解析】 试题分析:∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ?x? ? x ? a ? 2a ,∴

2015 6

? ? x ? a ? 2a, x ? 0 f ?x ? ? ? ,又 f ( x ) 为 R 上的“ 2015 型增函数”,(1)当 x ? 0 时,由 ? ?? x ? a ? 2 a , x ? 0
定义有 x ? 2015? a ? 2a ? x ? a ? 2a , 即 x ? 2015 ? a ? x ? a , 其几何意义为到点 a 小 于到点 a ? 2015 的距离,由于 x ? 0 故可知 a ? a ? 2015 ? 0 得 a ?

2015 ,当 x ? 0 时,① 2

若 x ? 2015 ? 0 ,则有 ? x ? 2015? a ? 2a ? ? x ? a ? 2a ,即 x ? a ? x ? 2015? a ,其 几何意义表示到点 ? a 的距离小于到点 ? a ? 2015 的距离,由于 x ? 0 ,故可得

? a ? a ? 2015 ? 0 ,得 a ?

2015 ;②若 x ? 2015 ? 0 ,则有 2

x ? 2015? a ? 2a ? ? x ? a ? 2a ,即 x ? a ? x ? 2015 ? a ? 4a ,其几何意义表示到到点

? a 的距离与到点 a ? 2015 的距离的和大于 4a ,(2)当 a ? 0 时,显然成立,当 a ? 0 时,
由于 x ? a ? x ? 2015? a ? ? a ? a ? 2015 ? 2a ? 2015 ,故有 2a ? 2015 ? 4a ,必有

2015 ? 2a ? 4a , 解得 a ?
故答案为: a ?

2015 2015 , 综上, 对 x ? R 都成立的实数 a 的取值范围是 a ? , 6 6

2015 . 6

考点:函数奇偶性的性质. 【方法点晴】本题考察了函数的奇偶性,考察新定义问题,根据绝对值的几何意义得到不等 式是解答本题的关键,本题是一道中档题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特 点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题 得 以 解 决 . 本 题 中 主 要 围 绕 存 在 正 实 数 k , 对 于 任 意 x ? D , 都 有 x ? k? D , 且

f ( x? k) ? f ( x) 恒成立,根据题意进行分类讨论.
17.已知过点 M (?3,0) 的直线 l 被圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 25 所截得的弦长为 8, 那么直线 l 的方程 为 ___________. 【答案】 x ? ?3 或 5x ? 12 y ? 15 ? 0

考点:直线与圆的位置关系. 【方法点睛】本题考查了待定系数法求直线方程,考查了直线与圆相交的相交弦长公式,注 意不要漏掉 x ? ?3 ,难度中档;当直线与圆相交时,弦长的一半、圆心到直线的距离以及 圆的半径构成直角三角形可求出点 ?0,?2? 到直线的距离为 3 ,已知直线过某点时,分为斜率 存在和斜率不存在时两种情况,当斜率不存在时进行验证,当斜率存在时设为点斜式,利用 点到直线的距离可得结果. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

(I)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ?6) 处的切线方程; (II)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 【答案】 (I) y ? 13x ? 32 ; (II) (?2, ?26) .

【解析】 试题分析:(I)先求出函数的导函数,再求出函数在 (2, ?6) 处的导数即斜率,易求切线方 程;(II)设切点为 ?x0 , y0 ? ,则直线 l 的斜率为 f '( x0 ) ? 3x02 ? 1,从而求得直线 l 的方程, 有条件直线 l 过原点可求解切点坐标,进而可得直线 l 的方程. 试题解析: (I) f '( x) ? 3x2 ? 1 . 所以在点 (2, ?6) 处的切线的斜率 k ? f '(2) ? 3 ? 22 ? 1 ? 13, ∴切线的方程为 y ? 13x ? 32 ; (II)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则直线 l 的斜率为 f '( x0 ) ? 3x02 ? 1, 所以直线 l 的方程为: y ? (3x02 ? 1)( x ? x0 ) ? x03 ? x0 ?16 , 所以又直线 l 过点 (0, 0) , ∴ 0 ? (3x02 ?1)(? x0 ) ? x03 ? x0 ?16 , 整理,得 x03 ? ?8 ,∴ x0 ? ?2 , ∴ y0 ? (?2)3 ? (?2) ?16 ? ?26 , l 的斜率 k ? 3 ? (?2) ? 1 ? 13 ,
2

∴直线 l 的方程为 y ? 13x ,切点坐标为 (?2, ?26) . 考点: (1)利用导数研究曲线在某点处的切线方程; (2)直线的点斜式方程. 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
3

1 2 x ? (a ? a 2 ) x(a ? R ) , g ( x) ? 3x2 ln x ? 2x2 ? x . 2

(I)求证: g ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递增; (II)若 a ? 2 ,函数 f ( x ) 在区间 [2, 4] 上的最大值为 G ( a ) ,求 G ( a ) 的试题分析式.并 判断 G ( a ) 是否 有最大值和最小值,请说明理由(参考数据: 0.69 ? ln 2 ? 0.7 )

1 2 ? 3 3 ?a ln a ? a ? a , (2 ? a ? 4) G (a ) 有最小值, 【答案】 (I)证明见解析; (II) G(a) ? ? 2 3 2 ?2a ln 2 ? 4a ? 4a ? 8, (a ? 4) ?
没有最大值.

试题解析: (I)证明:∵ g ( x) ? 3x2 ln x ? 2 x2 ? x , ∴ g '( x) ? 6 x ln x ? x ? 1 , 设 h( x) ? 6 x ln x ? x ? 1 ,则 h '( x) ? 6ln x ? 5 , ∴当 2 ? x ? 4 时, h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在区间 (2, 4) 上单调递增. ∵ h(2) ? 3(4ln 2 ?1) ? 0 , ∴当 2 ? x ? 4 时, h( x) ? h(2) ? 0 . ∴ g ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递增. (II)∵ f ( x) ? a ln x ?
3

1 2 x ? (a ? a 2 ) x (a ? R ) , 2

∴ f ( x ) 的定义域是 (0, ??) ,且 f '( x) ? ∵ a ? 2 ,∴ a ? a ,
2

a3 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? x ? (a ? a 2 ) ,即 f '( x) ? . x x

当 x 变化时, f ( x ) 、 f '( x) 变化情况如下表:

2 ∴当 2 ? a ? 4 时, a ? 4 , f ( x ) 在区间 [2, 4] 上的最大值是 f ( a ) ? a ln a ? a ?
3 3

1 2 a . 2

3 2 当 a ? 4 时, f ( x ) 在区间 [2, 4] 上的最大值为 f (4) ? 2a ln 2 ? 4a ? 4a ? 8 .

1 2 ? 3 3 ?a ln a ? a ? a , (2 ? a ? 4) 即 G (a) ? ? . 2 3 2 ?2a ln 2 ? 4a ? 4a ? 8, (a ? 4) ?
(1)当 2 ? a ? 4 时, G '(a) ? 3a ln a ? 2a ? a .
2 2

由(I)知, G '(a) 在 (2, 4) 上单调递增. 又 G '(2) ? 2(6ln 2 ? 5) ? 0 , G '(4) ? 12(8ln 2 ? 3) ? 0 , ∴存在唯一 a0 ? (2, 4) ,使得 G '(a0 ) ? 0 ,且当 2 ? a ? a0 时,G '(a) ? 0 ,G ( a ) 单调递减, 当 a0 ? a ? 4 时, G '(a) ? 0 , G ( a ) 单调递增. ∴当 2 ? a ? 4 时, G ( a ) 有最小值 G(a0 ) .
2 (2)当 a ? 4 时, G '(a) ? 6a ln 2 ? 8a ? 4 ? 6 ln 2( a ?

2 2 8 ) ? ?4, 3ln 2 3ln 2

∴ G '(a) 在 (4, ??) 单调递增. 又 G '(4) ? 12(8ln 2 ? 3) ? 0 , ∴当 a ? 4 时, G '(a) ? 0 . ∴ G ( a ) 在 (4, ??) 上单调递增. 综合(1) (2)及 G ( a ) 试题分析式可知, G ( a ) 有最小值,没有最大值. 考点: (1)利用导数研究函数的单调性; (2)导数在最大值、最小值的应用. 【方法点睛】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查函数的单调性的运用和 零点存在定理的运用,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.要证 g ?x ? 在 [2, 4] 递增,即 证 g ??x ? ? 0 在 [2, 4] 上恒成立, 等价于 ?g ??x??min ? 0 恒成立,令 h?x ? ? g ??x ? ,利用 h??x ? 与 0 的关系,得到 h?x ? 的单调性 得其最小值;判断函数在闭区间内的最值,主要根据在该区间内的单调性,根据导函数的零 点与区间端点的关系进行讨论. 20.(本小题满分 12 分) 已知命题 p : 抛物线 y ?

1 2 x2 y 2 x 的焦点 F 在椭圆 ? ? 1 上.命题 q : 直线 l 经过抛物线 4 2 b

y?

1 2 x 的焦点 4

F ,且直线 l 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 , p ? q 是真命题. 2 b

(I)求直线 l 的方程;

(II)直线 l 与抛物线相交于 A 、 B ,直线 l1 、 l2 ,分别切抛物线于 A、B ,求 l1、l2 的交 点 P 的坐标. 【答案】 (I) y ? x ? 1 ; (II) P(2, ?1) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)通过将抛物线 y ?

1 2 x2 y 2 x 的焦点 F ?0,1? 代入椭圆 ? ? 1 得 b ? 1 ,进而 4 2 b

椭圆的左焦点是 F1 (?1,0) ,计算即得结论;(Ⅱ)不妨假定点 A 在第二象限,通过联立直 线 l 与椭圆方程可知 A 、 B 点坐标,利用对抛物线方程求导可知斜率,进而计算可得结论.

? x2 y ? , ? ( II ) 不 妨 假 定 点 A 在 第 二 象 限 , 由 方 程 组 ? 4 得 A(2 ? 2 2,3 ? 2 2) , ? y ? x ? 1, ?

B(2 ? 2 2,3 ? 2 2) .
由y?

1 2 1 x 得, y ' ? x ,所以直线 l1、l2 的斜率分别是 1 ? 2 、 1 ? 2 , 4 2

∴ l1、l2 的方程分别是 y ? (3 ? 2 2) ? (1 ? 2)( x ? 2 ? 2 2) ,

y ? (3 ? 2 2) ? (1 ? 2)( x ? 2 ? 2 2) .
解两个方程构成的方程组得 P(2, ?1) . 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 21.(本小题满分 14 分)

已知 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x ) ? (I)求 g ( x) 的极值;

ex ,其中 m, a 均为实数. ex

a ? 0, (II) 设 m ? 1, 求证: 对 ?x1 , x2 ?[3, 4]( x1 ? x2 ) , | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?|
恒成立.

ex2 ex ? 1 | g ( x2 ) g ( x1 )

( III ) 设 a ? 2 , 若 对 ? 给 定的 x0 ? (0, e] , 在 区间 (0, e] 上 总 存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) 使 得

f ( t1 ) ? f ( t2 )? g ( x 0 )
成立,求 m 的取值范围. 【答案】 (I) g ( x) 极大值 g (1) ? 1 ,无极小值; (II)证明见解析; (III) m ? 【解析】 试题分析:(I)求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性,然后求解极值; (II)通过 m ? 1 , a ? 0 ,化简 f ( x) ? x ? 1 ,利用函数的单调性,转化原不等式转化

3 . e ?1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

ex2 ex1 ex ? x ? e x ? 1,利用新函数的 ,构造函数 h( x) ? f ( x) ? ? g ( x) g ( x2 ) g ( x1 )

导数的单调性,证不等式成立;(III)由(1)得 g ?x ? 的最大值,求出函数 f ?x ? 的导数, 判断 m ? 0 ,不满足题意;当 m ? 0 时,要 ?t1 , t2 使得 f (t1 ) ? f (t2 ) , f ?x ? 的极值点必在区 间 (0, e) 内,求出 m 的范围,当 m ?

2 ? 2? ,利用 g ?x ? 在 (0, e) 上的值域包含于 f ?x ? 在 ? 0, ? e ? m?

和?

?2 ? , e ? 上的值域,推出关系式,通过构造函数 w( x) ? 2e x ? x ,通过导数求解函数的最 m ? ?
ex ?e( x ? 1) ,∴ g '( x) ? ,∴ (??,1) ? , (1, ??) ? ,∴ g ( x) 极 x e ex

值,然后推出 m . 试题解析: (I)∵ g ( x ) ?

大值 g (1) ? 1 ,无极小值;

设 3 ? x1 ? x2 ? 4 ,则原不等式转化为 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

ex2 ex1 , ? g ( x2 ) g ( x1 )

即 f ( x2 ) ?

ex2 ex1 . ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) g ( x1 )
ex ? x ? e x ? 1, g ( x)

令 h( x ) ? f ( x ) ?

即证 ?x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ) ,即 h( x) 在 [3, 4] ? , ∵ h '( x) ? 1 ? ex ? 0 在 [3, 4] 恒成立, 即 h( x) 在 [3, 4] ? ,即所证不等式成立. (III)由(I)得 g ( x) 在 (0,1) ? , (1, e) ? , g ( x)max ? g (1) ? 1, 所以 g ( x) ? (0,1] . 又 f '( x ) ? m ?

2 ,当 m ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, e) ? ,不符合题意. x

当 m ? 0 时,要 ?t1 , t2 使得 f (t1 ) ? f (t2 ) , 那么由题意知 f ( x ) 的极值点必在区间 (0, e) 内,即 0 ? 得m ?

2 ?e. m

2 2 2 ,且函数 f ( x ) 在 (0, ) ? , ( , e) ? , e m m 2 2 ) 和 ( , e) 上的值域. m m

由题意得 g ( x) 在 (0, e) 上的值域包含于 f ( x ) 在 (0,

? 2 2 3 ?f( )?0 ∴ ( , e) 内, ? m . ?m? m e ? 1 ? ? f ( e) ? 1
下面证 t ? (0,

2 2 ] 时, f (t ) ? 1 ,取 t ? e? m ,先证 e ? m ? ,即证 2em ? m ? 0 . m m

令 w( x) ? 2e x ? x ,∴ w '( x) ? 2e x ?1 ? 0 ,在 [ ∴ w( x) ? ,∴ w( x) ? w(

3 , ?? ) 内恒成立. e ?1

3 ) ? 0 ,∴ 2em ? m ? 0 . e ?1 3 3 ?m ?m ? 1,∴ m ? 再证 f (e? m ) ? 1 ,∵ f (e ) ? me ? m ? m ? . e ?1 e ?1
考点: (1)利用导数研究函数的极值; (2)导数在最值中的应用. 22.如图,椭圆的右焦点 F2 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,过 F2 且于 x 轴垂直的直线与椭圆 交于 S ,

T ,与抛物线交于 C,D 两点,且 | CD |? 2 2 | ST | .

(I)求椭圆的标准方程; (II)设 P 为椭圆上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆相交于不同两点 A 和 B ,且满 足 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. 【答案】 (I) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由焦点 F2 (1,0) ,根据 | CD |? 2 2 | ST | ,所以 | ST |? 2 ,由此能求出 椭圆方程;(Ⅱ)设过 M (2,0) 的直线为 y ? k ( x ? 2) ,与椭圆方程联立,得

??? ? ??? ?

??? ?

x2 ? y 2 ? 1; (II) t ? (?2, 0) ? (0, 2) . 2

??? ? ??? ? ??? ? 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,P( x0 , y0 ) , 由 OA ? OB ? tOP , (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,
得?

? x1 ? x2 ? tx0 ,由此结合题设条件能求出实数 t 的取值范围. ? y1 ? y2 ? ty0

(II)由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? x2 ? 2 y2 ? 2 由? 消去 y ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . ? y ? k ( x ? 2)
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,则 x1,x2 是方程的两根, 所以 ? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,即 2k ? 1 ,①
2

且 x1 ? x2 ?

??? ? ??? ? ??? ? ? x1 ? x2 ? tx0 8k 2 ,由 ,得 ? . OA ? OB ? tOP 2 1 ? 2k ? y1 ? y2 ? ty0

若 t ? 0 ,则 P 点与原点重合,与题意不符,故 t ? 0 .

? 1 1 8k 2 x ? (x ? x ) ? ? ? ? 0 t 1 2 t 1 ? 2k 2 . ? 1 1 1 ? 4 k ?y ? (y ? y ) ? ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ? ? 0 t 1 2 t t 1 ? 2k 2 ?
因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以,

2 ? x02 ? 2 y02 ?

1 8k 2 2 32k 2 ? [( ) ? ], t 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

1 2 4k 4 ? 2k 2 1 . t ? ? 1? 2 2 8 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2
再由①得 0 ?

1 2 1 t ? ,又 t ? 0 , 8 2

∴ t ? (?2, 0) ? (0, 2) . 考点: (1)椭圆的应用; (2)椭圆的简单性质.

【方法点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要 认真审题,注意等价转化思想的合理运用,综合性较强,计算量较大,属于难题;已知直线 上一点讲直线设为点斜式,直线与椭圆相交,联立直线的方程和椭圆的方程构成方程组,运 用韦达定理以及设而不求整体代换的思想,根据 ? ? 0 得到 k 的范围,将向量关系转化为坐 标,运用点在椭圆上代入椭圆方程,在该题中容易忽视 t ? 0 .


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