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湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


武汉二中 2015——2016 学年上学期 高一年级期中考试 数学试卷
考试时间: 2015 年 11 月 6 日 上午 8: 00—10: 00 试卷满分: 150 分 一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 M ? {x | x( x ? 3) ? 0 , x ? N} 的真子集的个数为 A. 1
x

( D. 4 (



B. 2

C. 3

2. 函数 y ? e 的反函数是 A. y ? ?e
x



B. y ? e

?x

C. y ?

1 ln x 2 2

D. y ?

1 ln x 3 3
( )

3. 集合 P ? {3 , log2 a} , Q ? {a , b} , 且 P ? Q ? {0 , 1 , 3} , 则 P ? Q ? A. 0 B. ? C. {0} D. {3 , 0}

4. 设集合 A ? {a , b , c} , B ? {0 , 1} , 则从 A 到 B 的映射的个数有 A. 3 5. 函数 y ? B. 6 C. 8 D. 9





1 ln[ x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ] 的定义域是 x A. [?4 , 0) ? (0 , 1) B. [?4 , 0) ? (0 , 1] C. (?4 , 0) ? (0 , 1) D. (?? , ? 4] ? [2 , ? ?)





6. 已知 125x ? 12.5 y ? 1000, 则

y?x ? xy
C. 0 D.





A. 1

B. 2

1 3
( )

7. 函数 y ? 1 ? x ? 3 ? x 的最大值为 M , 最小值为 N , 则 A.

M 的值为 N
D. 2

2
0.3

B. 1

C. -1

8. 设 a ? 1.7

, b ? 0.93.1 , c ? 0.91.7 , 则 a , b , c 的大小关系是
C. b ? c ? a D. c ? a ? b





A. a ? b ? c B. b ? a ? c 9. 下列各式中可以得到 m ? n 的个数为
m n





(1) a ? a , 0 ? a ? 1 ; (2) log4 m ? log4 n ; (3) log0.3 m ? log0.3 n ; (4) logm 5 ? logn 5 ; (5) m3 ? n3 A. 2 个 B. 3 个
a b

C. 4 个

D. 5 个 )

10. 已知实数 a. b 满足等式 2015 ? 2016 , 下列五个关系式: ①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0; ⑤a=b. 其中成立的关系式有 ( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. 已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数, 且函数图像经过 A(0 , ? 1) , B(3 , 1) 两点, 那么 是 ( | f ( x ? 1) |? 1 的解集的补集 .. A. (?1 , 2) B. (1 , 4)
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C. (?? , ? 1) ? [4 , ? ?) 12. 函数 f ( x) ? ?

D. (?? , ? 1] ? [2 , ? ?) , 下列结论不正确 的是 ... ( )

?1 ??

x ?Q x ? CR Q

A. 此函数为偶函数 B. 此函数不单调 C. 函数值域为 [1 , ? ] D. 方程 f [ f ( x)] ? x 有两解 二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置, 书写不 ....... 清, 模棱两可均不得分 13. 已知函数 g ( x) ? a ? b 的定义域和值域都是 [?1 , 0] , 则 a ? b ?
x

. .

14. 设函数 f ( x) ?

1 ? x2 1 1 1 1 , 则 f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f( )+f( )+f( )+f( )= 2 2 1? x 3 5 4
2

15. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ln x , 则 f ( x) 在 R 上的表达式为__ __________. 16. 已知集合 A ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} , B ? [m ? 3 , 2m ? 1] , 若 A ? B ? B , 则实数 m 的取
2

值范围是_______. 三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 定义在 (?b , ? a) ? (a , b) 上的奇函数 f ( x) , 在 (a , b) 上是增函数, 判断 f ( x) 在区间 (?b , ? a) 上的单调性并证明.

18. (本小题满分 12 分)
1

(1) 计算: [log (2) 已知 x ?

4 3

27 ? log

3] ? log 5 [4 2 3

log2 10

2

? (3 3 ) 3 ? ln e 2 ]

3 x?x 1 ? 7 ? 24 的值. ? 3 , a ? 0 , b ? 0 , m? R 求 2 x ? x?2 ? 2 x

高一(上)数学期中考试试卷

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19. (本小题满分 12 分) 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?3 , 3) 上的减函数, 不等式 f ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? 0 的解集
2

是 A, 集合 B ? A ?{x | 1 ? x ? 5}, 求函数 g ( x) ? 5x ? 21x ? 1 , x ? B 的最大值和最 小值.
2

20. (本小题满分 12 分)
? 如图, 已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD, 底边 BC 长为 7cm , 腰长为 2 2cm , 当一条垂 直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 把梯形 ABCD 分成两部分, 令 | BF |? x ( x ? 0 , 单位:

cm ), 求直线 l 左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式, 并画出图像.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? c , (a ? N , c ? N )满足① f (1) ? 5 ; ② 6 ? f (2) ? 11 .
2 ? ?

(1) 求函数 f ( x) 的解析表达式; (2) 若对任意 x ? [1 , 2] , 都有 f ( x) ? 2m x? 1 成立, 求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) 满足:①对任意实数 m , n 都有 f (m ? n) ? f (m ? n) ? 2 f (m) ? f (n) ; ②对任 意 m ? R , 都有 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 恒成立; ③ f ( x) 不恒为 0, 且当 0 ? x ? 1 时,

f ( x) ? 1 . (1) 求 f (0) , f (1) 的值;
高一(上)数学期中考试试卷 第 3 页 共 4 页

(2) 判断函数 f ( x) 的奇偶性, 并给出你的证明 (3) 定义: “若存在非零常数 T, 使得对函数 g ( x) 定义域中的任意一个 x , 均有 g ( x ? T ) ? g ( x) , 则称 g ( x) 为以 T 为周期的周期函数”.试证明: 函数 f ( x) 为周期 函数, 并求出 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 3

2 3

3 3

2017 ) 的值. 3

武汉二中 2015——2016 学年上学期 高一年级期中考试 数学试卷
参考答案: (其他解答方法, 参照给分) 一、选择题. CDCCA DCCBC DC 二、填空题. 13. ? 14. 0

3 2

? x 2 ? ln x ? 15. f ( x) ? ? 0 ?? x 2 ? ln(? x) ? 7 16. 2 ? m ? 2
三、解答题

x?0 x?0 x?0

17. f ( x) 在上为 (?b , ? a) 增函数. ??? 2 分, 证明如下: 对于 ? b ? x1 ? x2 ? ?a 有 b ? ? x1 ? ? x2 ? a , 因为 f ( x) 在 (a , b) 上为增函数, 所以有 f (? x1 ) ? f (? x2 ) . . . . . (1) ??? 4 分, 又 f ( x) 为 奇 函 数 , 所 有 对 于 任 意 x ? (?b , ? a) ? (a , b) 恒 有

f ( ? x ) ? ? f ( x) , 所 以

f (? x1 ) ? ? f ( x1 ) , f (? x2 ) ? ? f ( x2 ) ??? 6 分 , 代入 (1) 得 : ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ??? 8
分, 由增函数的定义可知, f ( x) 在区间 (?b , ? a) 上为增函数. ??? 10 分. 18. (1). ?

1 ??? 6 分 2
高一(上)数学期中考试试卷 第 4 页 共 4 页

(2).

6 ?1 ??? 6 分, 45

7 ? 24 没有化简的, 扣 2 分.

19. 解: 由题意可得:

??3? x?3?3 ? 0? x?6 ? ? 2 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3??3分 ? ? 0 ? x ? 6 ? 2 ? x ? 6 ??? 6 分 ? x ? 3 ? 3 ? x2 ? x ? ?3 , or x ? 2 ? ?
故 A ? {x | 2 ? x ? 6} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ??? 8 分 , 由 二 次 函 数 的 图 像 和 性 质 得

g ( x)max ? g( 5) ? 26 ? 21 5 ??? 10 分, g ( x) min ? g (
没有指出什么时候取最值, 扣 2 分. 两个地方只扣一次. 20.

21 421 ??? 12 分. )?? 10 20

解: 过 A , D 分别作 AG ? BC 于 G, DH⊥BC 于 H, 因为 ABCD 是等腰梯形, 底角 450, AB= 2 2 cm 所以 BG=AG=DH=HC=2cm, 又 BC=7cm, 所以 AD=GH=3cm, ……2 分 (1)当点 F 在 BG 上时, 即 x ? (0,2] 时, y=

1 2 x ……………4 分 2
1 1 1 (3 ? 7) ? 2 ? ( x ? 7) 2 ? ? ( x ? 7) 2 ? 10 2 2 2
……8 分

(2)当点 F 在 GH 上时, 即 x ? (2,5] 时, y=2+2(x-2)=2x-2 ……………6 分 (3)当点 F 在 HC 上时, 即 x ? ?5,7? 时, y=

1 2 ? x ? 2 ? ∴函数的解析式为 y ? ? 2x ? 2 ? 1 2 ?? 2 ( x ? 7) ? 10 ?

x ? ?0,2? x ? ?2,5? x ? ?5,7?
………………10 分

函数图像如下: (图像没有标明关键点的坐标的, 灵活处理)……12 分

高一(上)数学期中考试试卷

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21. 解: (1)∵ f (1) ? 5 ∴ 5 ? a ? c ? 2 ? c ? 3 ? a ……1 分, 又∵ 6 ? f (2) ? 11 ? 6 ? 4a ? c ? 4 ? 11……2 分, 所以有: ?

1 4 ? a ? , 又a? N?, 3 3

a ? 1 , c ? 2 , 所以 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ……6 分
(2)法一: 设 g ( x) ? f ( x) ? 2mx ? 1 ? x2 ? 2(m ? 1) x ? 1 , x∈[1, 2], 则由已知得: 当 m ? 1 ? 1 ? m ? 2 时, g ( x)min ? g (1) ? 4 ? 2m ? 0 , 此时 m≤2; ……2 分 当 1 ? m ? 1 ? 2 ? 2 ? m ? 3 时, g ( x) min ? g (m ? 1) ?

4 ? 4(m ? 1)2 ? 0 , 此时无解; ……2 分 4

当 m ? 1 ? 2 ? m ? 3 时, g ( x)min ? g (2) ? 9 ? 4m ? 0 , 此时无解. 综上所述, m 的取值范围为 ? ? , 2] (用不等式表示也可).……2 分 法二: 由已知得, 2( m ? 1) ? x ?

1 1 在 x ? [1 , 2] 上恒成立.由于函数 y ? x ? 在[1, 2]上单调递增, 所以 x x

2? x?

1 5 ? , 故 2(m ? 1) ? 2 ? m ? 2 (参照上面解法给分) x 2

22. 解: (1)由于 f ( x) 不恒为 0, 故存在 x0 , 使 f ( x0 ) ? 0 , 令 m ? x0 , n ? 0 , 则 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? 2 f ( x0 ) f (0) , 所以 f (0) ? 1 , ……2 分 令 m ? n ? 1 ? f (2) ? f (0) ? 2 f 2 (1) , 由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 并令 m ? 1 得: f (2) ? f (0) , 结合以上结果可得 f 2 (1) ? 1……3 分 又令 m ? n ?

1 1 1 , f (1) ? f (0) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? 2 2 2 2

(因为 f ( ) ? 1 )

1 2

所以, f (1) ? 1 , 故 f (1) ? ?1 ; ……4 分 (2)令 m ? 0 , n ? x , 得: f ( x) ? f (? x) ? 2 f (0) f ( x) , 以及有 f (0) ? 1 即有 f (? x) ? f ( x) , 即有 f ( x) 为偶函数; ……6 分 (3)由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 并取 1 ? m ? ? x 得 f (? x) ? f (2 ? x) , 又 f ( x) 为偶函数, 则 f ( x ? 2) ? f ( x) , 即 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数; ……8 分 令m ? n ?

1 2 1 2 1 ? f ( ) ? f (0) ? 2 f 2 ( ) ? f ( ) ? 1 ? 2 f 2 ( ) , 3 3 3 3 3

高一(上)数学期中考试试卷

第 6 页 共 4 页

2 1 1 2 1 1 2 1 ,n ? ? f (1) ? f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) . 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 2 1 而 f ( ) ? 1 , 解得, f ( ) ? , f ( ) ? ? , ……10 分 3 2 3 2 3 1 5 2 4 由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 得, f ( ) ? f ( ) , f ( ) ? f ( ) , 所以 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6 f( )? f( )? f( )? f( )? f( )? f( )?0 3 3 3 3 3 3
再令 m ? 又由于 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,

1 2 3 2017 2017 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? 336 ? 0 ? f ( )? f( )? 3 3 3 3 3 3 2
……12 分

高一(上)数学期中考试试卷

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