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黑龙江省双鸭山一中2016届高三(上)第一次月考数学试题(解析版)(理科)


2015-2016 学年黑龙江省双鸭山一中高三(上)第一次月考数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1.已知集合 A={﹣2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合 B 等于( ) A.{﹣4,4} B.{﹣4,0,4} C.{﹣4,0} D.{0} 2.设 i 是虚数单位,复数 i + A.﹣i B.i C.﹣1 D.1 3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增,并且是偶函数的是( A.y=x B.y=﹣x
2 3 3

=(





C.y=﹣lg|x| D.y=2

x

4.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则( ) A.¬p:?x0∈R,cosx0≥1 B.¬p:?x∈R,cosx≥1 C.¬p:?x∈R,cosx>1 D.¬p:?x0∈R,cosx0>1 5.已知 p:|2x﹣3|>1,q:log (x +x﹣5)<0,则¬p 是¬q 的(
2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 A.3 B. C.2 D.
0.7

,则

=(



7.a=log0.20.5,b=log3.70.7,c=2.3 的大小关系是( A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 8.函数 y=Asin(wx+φ)+k(A>0,|φ|<



的图象如图所示,则函数 y 的表达式是(



A.

B.

C.

D.

9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2014>0,S2015<0,则 是( A. ) B. C. D.



,…

中最大的

10.设 f(x)= A.1

,则

=(



B.sin1 C.sin2 D.2sin4
x

11.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln 的最小值为( A.2 ) C.e
2

的图象分别与直线 y=m 交于 A,B 两点,则|AB|

B.2+ln2

D.2e﹣ln

12.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+1)=f(x﹣1) ,当 x∈[0,1]时,f (x)=2 ﹣1,则函数 g(x)=f(x)﹣lgx 的零点个数为( A.6 B.7 C.8 D.9
x



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若 x+y=2,x>0,y>0, + 的最小值为 .

14. 已知实数 x, y 满足

, 若 z=x+y 的最小值是﹣3, 则 z 的最大值为



15. 若数列{an}对任意的正整数 n 都有 an+λ =an×an+2λ 成立, 则称数列{an}为“λ 阶梯等比数列”, 的值称为“阶梯比”, 若数列{an}是 3 阶等比数列且 a1=1, a4=2, 则 a2014= .

2

16.已知扇形 AOB,点 C 在弧 AB 上(异于 A,B 两点) ,线段 AB 与 OC 交与点 M,设 , ,则 m= .

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)解不等式 2 (1)﹣2x +x+15<0; 2 2 (2)x ﹣(2a+3)x+a +3a>0. 18. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)在△ ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对 边,已知 2acosB=ccosB+bcosC. (1)求 B 的值; (2)当△ ABC 的面积为 4 时,求 b 的最小值. 19. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=log2an+3,求数列 的前 n 项和 Tn.

20. (12 分) (2010?荔湾区校级模拟)已知函数 (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)求函数 的值域.

21. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)已知数列{an}的通项公式 an=n,其前 n 项和为 Sn, n n+1 * 数列{bn}满足 b1=1,bnbn+1+2 bn+1﹣2 bn=0(n∈N ) (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设 cn=Snbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 22. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)已知函数 f′(x)= 是函数 f(x)

的导数,且函数 f′(x)图象上一点 P(2,f′(2) )处的切线方程为 5x+2y﹣4=0 (1)求 a,b 的值; (2)若方程 xf′(x)+x +2lnx+m=0 在区间 范围 (3)令 g(x)=f(x)﹣nx(n∈R) ,如果 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2)两点,AB 的中点为 C(x0,0) ,求证:g′(x0)≠0.
2

上有两个不等实数根,求实数 m 的取值

2015-2016 学年黑龙江省双鸭山一中高三(上)第一次月 考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1.已知集合 A={﹣2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合 B 等于( ) A.{﹣4,4} B.{﹣4,0,4} C.{﹣4,0} D.{0} 考点: 集合的表示法. 专题: 集合. 分析: 由已知中集合 A={﹣2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},代入运算可得答案. 解答: 解:∵集合 A={﹣2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A}, ∴集合 B={﹣4,0,4}, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是集合的表示法,列举出所有满足条件的 B 的元素,是解答的关 键.
3

2.设 i 是虚数单位,复数 i +

=(



A.﹣i B.i C.﹣1 D.1 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,计算求得结果. 解答: 解:复数 i +
3

=﹣i+

=﹣i+

=1,

故选:D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增,并且是偶函数的是(
2 3 x



A.y=x B.y=﹣x C.y=﹣lg|x| D.y=2 考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可. 3 解答: 解:B、y=﹣x 在(0,+∞)上是减函数,是奇函数,不满足条件, C、y=﹣lg|x|在(0,+∞)上是减函数,是偶函数,不满足条件, x D、y=2 是增函数,不是偶函数,也不是奇函数,不满足条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断,要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶 性的性质. 4.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则( ) A.¬p:?x0∈R,cosx0≥1 B.¬p:?x∈R,cosx≥1 C.¬p:?x∈R,cosx>1 D.¬p:?x0∈R,cosx0>1 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题 p:?x∈R,cosx≤1,¬p:?x0∈R, cosx0>1. 故选:D. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 5.已知 p:|2x﹣3|>1,q:log (x +x﹣5)<0,则¬p 是¬q 的(
2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 根据不等式的解法求出 p,q 的等价条件,然后利用充分条件和必要条件的定义进行 判断. 解答: 解:由|2x﹣3|>1 得 2x﹣3>1 或 2x﹣3<﹣1, ∴x>2 或 x<1, 即 p:x>2 或 x<1, ¬p:1≤x≤2. 由 log
2

(x +x﹣5)<0,

2

得 x +x﹣5>1, 2 即 x +x﹣6>0,∴x>2 或 x<﹣3, 即 q:x>2 或 x<﹣3, ¬q:﹣3≤x≤2, ∴¬p 是¬q 的充分不必要条件. 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的解法求出 p,q 是解决本题 的关键.

6.已知 A.3 B. C.2 D. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 入可得 解答: 解:∵ ∴ 解得 2 则 = =7. = = = = .

,则

=(



,可得

=

,解得 2

=7.代

, ,

=



故选:B. 点评: 本题考查了向量数量积的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.a=log0.20.5,b=log3.70.7,c=2.3 的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 0.7 解答: 解:∵0<a=log0.20.5<log0.20.2=1,b=log3.70.7<0,c=2.3 >1. ∴b<a<c. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.
0.7

8.函数 y=Asin(wx+φ)+k(A>0,|φ|<

的图象如图所示,则函数 y 的表达式是(



A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的最大、最小值,算出 A= 且 k=1.根据函数的周期 T=2( 利用周期公式算出 w=2.再由当 x= 即可得到函数 y 的表达式. 解答: 解:∵函数的最大值为 ,最小值为﹣ , ∴A= [ ﹣(﹣ )]= ,k= [ +(﹣ )]=1. 又∵函数的周期 T=2( ﹣ )=π,∴ =π,得 w=2. ﹣ )=π, ,

时函数有最大值 ,建立关于 φ 的等式解出 φ=

可得函数表达式为 y= sin(2x+φ)+1. ∵当 x= 时,函数有最大值 ,

∴ = sin(2? 可得 +φ=

+φ)+1,得 sin(

+φ)=1, ,取 k=0 得 φ= . .

(k∈Z) ,结合|φ|<

∴函数 y 的表达式是

故选:A 点评: 本题给出正弦型三角函数的图象,求它的解析式.着重考查了三角函数的周期公式、 三角函数的图象的变换与解析式的求法等知识,属于中档题.

9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2014>0,S2015<0,则 是( A. ) B. C. D.



,…

中最大的

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等差数列{an}的公差为 d,由 S2014>0,S2015<0,利用等差数列的前 n 项和公式 可得:d<0,a1>0,a1008<0,a1007>0.于是当 n≤1007 时, >0;当 n>1007 时, <

0.当 n≤1007 时,d<0,a1>0,an>0,Sn 在增大,而 an 在减小, 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵S2014>0,S2015<0, ∴2014a1+ >0,2015a1+ <0,

单调递增,即可得出.

化为 2a1+2013d>0,a1+1007d<0, ∴d<0,a1>0, a1008<0,a1007+a1008>0, ∴a1007>0. ∴当 n≤1007 时, >0;当 n>1007 时, <0.

由于当 n≤1007 时,d<0,a1>0,an>0, ∴Sn 在增大,而 an 在减小. ∴ 单调递增,

因此

最大.

故选:B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式、数列的单调性,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

10.设 f(x)=

,则

=(



A.1 B.sin1 C.sin2 D.2sin4 考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出被积函数的原函数,得到 f(x)的解析式,则 解答: 解:∵f(x)= ∴f( 则 )=sin =1, =sin2. = =sin2x. 可求.

故选:C. 点评: 本题考查定积分的求法,关键是求出被积函数的原函数,是基础题.
x

11.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln 的最小值为( A.2 ) C.e
2

的图象分别与直线 y=m 交于 A,B 两点,则|AB|

B.2+ln2

D.2e﹣ln

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 由题意,A(lnm,m) ,B(2 ,m) ,其中 2 >lnm,且 m>0,表示|AB|,

构造函数,确定函数的单调性,即可求出|AB|的最小值. 解答: 解:由题意,A(lnm,m) ,B(2 ∴|AB|=2 令 y= ∴x= , ∴0<x< 时,y′<0;x> 时,y′>0, ﹣lnm, ﹣lnx(x>0) ,则 y′= ﹣ , ,m) ,其中 2 >lnm,且 m>0,

∴y=

﹣lnx(x>0)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,

∴x= 时,|AB|min=2+ln2. 故选:B. 点评: 本题考查最值问题,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 12.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+1)=f(x﹣1) ,当 x∈[0,1]时,f (x)=2 ﹣1,则函数 g(x)=f(x)﹣lgx 的零点个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+1)=f(x﹣1) ,得 f(x+2)=f(x) ,即函数 y=f(x)的周期为 2,作出函数 y=f(x)和 y=lgx 的图象,利用数形结合法进行求解. 解答: 解:∵f(x+1)=f(x﹣1) , ∴f(x+2)=f(x) , 即函数 y=f(x)的周期为 2, 当 x∈[0,1]时,f(x)=2 ﹣1, 若 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1], 则 f(﹣x)=2 ﹣1, ∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=2 ﹣1=f(x) , ﹣x 即 f(x)=2 ﹣1,x∈[﹣1,0], 作出 f(x)的图象如图, 由 g(x)=f(x)﹣lgx=0, 则 f(x)=lgx, 函数 y=f(x)的周期为 2, 当 x>10 时,y=lgx>1,此时函数 y=lgx 与 f(x)无交点, 由图象可知两个图象的交点个数为 9 个, 即函数 g(x)=f(x)﹣lgx 的零点个数为 9 个, 故选:D.
﹣x ﹣x

x

x

点评: 本题主要考查了周期函数与对数函数的图象,数形结合是高考中常用的方法,考查 数形结合,本题属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若 x+y=2,x>0,y>0, + 的最小值为 .

考点: 基本不等式. 专题: 不等式. 分析: 由 x+y=2,得到 + =1,由 + ≥ +2 解答: 解:若 x+y=2, 则 + =1, x>0,y>0, ∴ + =( + ) ( + ) = + ≥ +2 = + = , = ﹣2,y=4﹣2 . 时“=”成立, + ,求出最小值即可.

当且仅当 即 x=2

故答案为:

点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查转化思想,是一道基础题.

14.已知实数 x,y 满足

,若 z=x+y 的最小值是﹣3,则 z 的最大值为 6 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数求得最小值, 得到 k 值, 再把最大值时最优解的坐标代入目标 函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(k,k) ,

联立

,解得 B(﹣2k,k) ,

由 z=x+y,得 y=﹣x+z, 由图可知,当直线 y=﹣x+z 过 B(﹣2k,k)时,直线在 y 轴上的截距最小为﹣k=﹣3,则 k=3. 当直线 y=﹣x+z 过 A(k,k)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 2k=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 15. 若数列{an}对任意的正整数 n 都有 an+λ =an×an+2λ 成立, 则称数列{an}为“λ 阶梯等比数列”, 的值称为“阶梯比”,若数列{an}是 3 阶等比数列且 a1=1,a4=2,则 a2014= 2
671 2



考点: 数列递推式. 专题: 新定义;等差数列与等比数列. 分析: 由新定义结合数列{an}是 3 阶等比数列,且 a1=1,a4=2 可得数列{an}中的项:a1, a4,a7,…构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,由等差数列的通项公式得到 a2014 是等比数列中的第 672 项,代入等比数列的通项公式得答案. 解答: 解:∵数列{an}是 3 阶等比数列,∴ ,

由 a1=1,a4=2,得



∴数列{an}中的项:a1,a4,a7,…构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 由 2014=1+3(n﹣1) ,解得 n=672. ∴a2014 是等比数列中的第 672 项. 则
671



故答案为:2 . 点评: 本题是新定义题,考查了等比数列的通项公式,关键是对题意的理解,是中档题.

16.已知扇形 AOB,点 C 在弧 AB 上(异于 A,B 两点) ,线段 AB 与 OC 交与点 M,设 , ,则 m= .

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据条件及向量加法、减法,及数乘的几何意义及其运算便可得到 ,从而有 得到 解答: 解:如图, ,解出 m 即可. = = = ; ,由平面向量基本定理便

O,M,C 三点共线; ∴存在实数 k, 又 ∴ 解得 . ; ; = ;

故答案为: . 点评: 考查向量加法、减法,及数乘的几何意义及其运算,平面向量基本定理,以及共面 向量基本定理. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)解不等式 2 (1)﹣2x +x+15<0; 2 2 (2)x ﹣(2a+3)x+a +3a>0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把不等式化为一元二次不等式的一般形式,求出不等式对应方程的实数根,即可写 出不等式的解集. 2 2 解答: 解: (1)不等式﹣2x +x+15<0 可化为 2x ﹣x﹣15>0,

即(2x+5) (x﹣3)>0; 该不等式对应方程的实数解是﹣ 和 3, 所以该不等式的解集为(﹣∞,﹣ )∪(3,+∞) ; (2)∵不等式 x ﹣(2a+3)x+a +3a>0, 可化为(x﹣a)[x﹣(a+3)]>0, ∴该不等式对应方程的两个实数根是 a 和 a+3,且 a<a+3, ∴该不等式的解集为(﹣∞,a)∪(a+3,+∞) . 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 18. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)在△ ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对 边,已知 2acosB=ccosB+bcosC. (1)求 B 的值; (2)当△ ABC 的面积为 4 时,求 b 的最小值. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变 形,由 sinA 不为 0 求出 cosB 的值,即可确定出 B 的度数; (2)利用三角形面积公式列出关系式,把 sinB 与已知面积代入求出 ac 的值,再利用余弦 定理列出关系式,整理后利用基本不等式即可求出 b 的最小值. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,2acosB=ccosB+bcosC, 利用正弦定理化简得:2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA≠0, ∴2cosB=1,即 cosB= , 则 B= ; ,△ ABC 的面积为 4 ,即 ac=16,
2 2 2 2 2 2 2

(2)∵sinB= ∴ acsinB=4



由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac=16, 则 b 的最小值为 4. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握 定理及公式是解本题的关键.

19. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=log2an+3,求数列 的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推公式、等比数列的定义即可证明; (2)利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出. 解答: (1)证明:∵ ∴当 n=1 时, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= , ,解得 a1= ; ﹣ ,化为 an=2an﹣1.

∴数列{an}是等比数列,首项为 ,公比为 2; (2)解:由(1)可得 ∴bn=log2an+3=n﹣2+3=n+1. ∴ ∴数列 Tn= = 的前 n 项和 +…+ = . = , =2
n﹣2



点评: 本题考查了递推公式、等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (12 分) (2010?荔湾区校级模拟)已知函数 (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)求函数 的值域.

考点: 正弦函数的定义域和值域;三角函数的周期性及其求法. 专题: 综合题. 分析: 把 f(x)的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,第二项利用二倍 角的正弦函数公式化简,然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, (I)找出正弦函数中的 λ,根据周期公式 T= 即可求出最小正周期;

(II)由 x 的范围,求出这个角的范围,然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值 域,即可得到 f(x)的值域. 解答: 解: = =

= (I) (II)∴ ∴ ∴ 所以 f(x)的值域为: ,



, ,

点评: 此题考查了正弦函数的图象与性质,三角函数的周期性及其求法,以及正弦函数的 值域.根据三角函数的恒等变形把 f(x)的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键. 21. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)已知数列{an}的通项公式 an=n,其前 n 项和为 Sn, n n+1 * 数列{bn}满足 b1=1,bnbn+1+2 bn+1﹣2 bn=0(n∈N ) (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设 cn=Snbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)两边同除以 bnbn+1,由等差数列的定义和通项公式,计算即可得到; (2)求得 cn,由数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理即可 得到. 解答: 解: (1)bnbn+1+2 bn+1﹣2 即有 1+ ﹣ =0,
n n+1

bn=0,

即为



=1,

即数列{

}为首项为 2,公差为 1 的等差数列,

即有

=2+(n﹣1)=n+1,即有 bn=
n



(2)cn=Snbn= n(n+1)?
2 3

= n?2 ,
n

∴Tn= (1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ) ,① 2Tn= (1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2
2 3 4 n+1

)②

①﹣②,得:﹣Tn= (2+2 +2 +…+2 ﹣n?2
n+1

2

3

n

n+1



= (
n

﹣n?2

) ,

∴Tn=(n﹣1)?2 +1. 点评: 本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考查数列的求和方法:错 位相减法,同时考查等比数列的求和公式的运用,属于中档题.

22. (12 分) (2015 秋?双鸭山校级月考)已知函数 f′(x)=

是函数 f(x)

的导数,且函数 f′(x)图象上一点 P(2,f′(2) )处的切线方程为 5x+2y﹣4=0 (1)求 a,b 的值; (2)若方程 xf′(x)+x +2lnx+m=0 在区间 范围 (3)令 g(x)=f(x)﹣nx(n∈R) ,如果 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2)两点,AB 的中点为 C(x0,0) ,求证:g′(x0)≠0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求得函数 f′(x)的导数,求得切线的斜率,由切线方程,可得切点和斜率, 解方程可得 a,b; 2 2 2 (2)方程 xf′(x)+x +2lnx+m=0 即为 2lnx﹣x +m+2=0,令 g(x)=2lnx﹣x +m+2,求出导 数,求得单调区间和极值、最值,即可得到实数 m 的取值范围; (3) 由函数 g (x) 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A (x1, 0) , B (x2, 0) , 2lnx﹣x ﹣nx+c=0 的两个根为 x1,x2,知 函数 u(t)= ≠0. 解答: 解: (1)函数 f′(x)= 的导数为﹣2b﹣ , ,两式相减,令 t= ,0<t<1,构造
2 2

上有两个不等实数根,求实数 m 的取值

+lnt,证明 u(t)<0 在 0<t<1 上恒成立,由此能够证明 g′(x0)

图象上一点 P(2,f′(2) )处切线的斜率为﹣2b﹣ =﹣ , f′(2)= a﹣4b=﹣3, 解方程可得 a=2,b=1; 2 (2)方程 xf′(x)+x +2lnx+m=0 即为 2 2lnx﹣x +m+2=0, 2 令 g(x)=2lnx﹣x +m+2, 则 g′(x)= ﹣2x= ,

∵x∈[ ,e],∴g′(x)=0 时,x=1. 当 <x<1 时,g′(x)>0; 当 1<x<e 时,g′(x)<0, 故函数 g(x)在 x=1 取得最大值 g(1)=m+1, 又 g( )=m﹣ ,g(e)=m+4﹣e ,
2 2

g(e)﹣g( )=4﹣e + 则 g(e)<g( ) ,

<0,

故函数 g(x)在[ ,e]上的最小值是 g(e) . 方程 xf′(x)+x +2lnx+m=0 在[ ,e]上有两个不相等的实数根,
2

则有



解得﹣1<m≤

, ];

故实数 m 的取值范围是(﹣1,

(3)∵函数 g(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) , 2 2lnx﹣x ﹣nx+c=0 的两个根为 x1,x2, 则 ,

两式相减,得 n=﹣(x1+x2)+ g(x)=2lnx﹣x ﹣nx+c, g′(x)= ﹣2x﹣n,
2



则 g′(x0)=g′( x1+ x2)=

﹣(x1+x2)+(x1+x2)﹣



=





下面证明



<0, (0<x1<x2)

即证明

+ln

<0,

令 t=

,∵0<x1<x2,∴0<t<1,

即证明 u(t)=

+lnt<0 在 0<t<1 上恒成立.

由 u′(t)= ﹣

=

∵0<t<1,∴u′(t)>0, ∴u(t)在(0,1)上是增函数, 则 u(t)<u(1)=0, ∴ +ln <0,

故 g′(x0)<0, 所以 g′(x0)≠0. 点评: 本题考查切线方程的运用,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查不等式的 证明.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.


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