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高中数学必修1函数及其表示题型总结 学生


函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况

①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题

考点二

映射个数公式

Card(A)=m,card(B)=n, m,n ?

N

?

,则从 A 到 B 的映射个数为

n

m

。简单说成“前指后底” 。

方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法 1. (2009 江西卷文)函数 y ? A. [?4,1]

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 ( x B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) (0, 1]
ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4
的定义域为 D. (?1,1] ( (



2. (2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1)

)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

3.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e
x

)

1 C. f ( x) ?| x | x lg( 4 ? x ) 4.(2007 年上海)函数 y ? 的定义域是 . x?3
5.求下列函数的定义域。①y= x ? 2 ?

?x ?1? .③y= x ? 2 .②y=
2

x ?x

x ?1 ? 1 ? x

6.已知函数 f(x)的定义域为 ?1,5? ,求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。

1

方法二 函数概念的考察 1. 下列各组函数中表示同一函数的是( )A.y= 5 C. y ?

x

5

和y?

x

2

B.y=ln

e

x

和y?

e

ln x

?x ? 1??x ? 3? 和y ? ?x ? 3? ?x ? 1?

D. y ?

x 和y ?

0

1

x

0

2.函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 不能确定 3.已知函数 y=

x

2

? 2 定义域为 ?? 1,0.1,2? ,则其值域为

方法三 分段函数的考察 ⅰ求分段函数的定义域和值域 2x+2 x ? ?? 1,0? 1 求函数 f(x)=

?
3

1 x 2

x ? ?0,2? x ? ?2,???

的定义域和值域

2(2010 天津文数)设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , (A) ? ?

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则 f ( x) 的值域是

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ? ? , 0 ? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

ⅱ求分段函数函数值 3. (2010 湖北文数)3.已知函数 f ( x) ? ? A.4 B.

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

1 4

C.-4

D-

1 4

4.(2009 天津卷文)设函数 f ( x) ? ? A. (?3,1) ? (3,??)

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) x ? 6 , x ? 0 ?
C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3)
2

B. (?3,1) ? (2,??)

? x 2 ? 4 x, 5. (2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
的取值范围是 A (??, ?1) ? (2, ??)

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

B (?1, 2)

?1 , x?0 ? ?x 6.(2009 北京理)若函数 f ( x ) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为____________. 3

2

?log 2 x, x ? 0, ? 7。 (2010 天津理数)若函数 f(x)= ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2
(A) (-1,0)∪(0,1) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) ⅳ解分段函数方程 8. (2009 北京文)已知函数 f ( x) ? ? . 方法四 求函数的解析式 1. 求下列函数的解析式 ① 已知 f ? x ? (C) (-1,0)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

?3x , x ? 1, 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,

.

? ?

1? ?? x?

x

3

?

1

x

3

, 求f ( x).

② 已知f ?

?2 ? ? 1? ? lg x,求f ( x). ?x ?

③ 已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).

④ 已知 f(x)满足 2 f ?x ? ? f ? ? ? 3x. 求 f(x).

?1? ? x?

方法五 函数图像的考察 1. (2009 山东卷理)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

).

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A

B

C

2.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速 度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 ( A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面
3



3.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P ( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象 大致为 ( )

y

P ( x, y )

V (t )
A

O

Q( x,0)
D

x

V (t )
B

V (t )
C

V (t )

O

t

O
2

t

O

t O

t

4(2010 山东理数)函数 y=2x - x 的图像大致是

5(2010 安徽文数)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像可能是

方法六 映射概念的考察 1. 设 f : x ? A. ?

x

2

是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B= ? 1,2? ,则 A∩B=( )

1? B. ?

C. ?

或 ?2?

1? D. ? 或 ?

2 集合 M= ?a, b, c?,N= ?? 1,0.1? 映射 f: M ? N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M ? N 的个数是( ) A.4 B.5 C. 6 D. 7 个不同的映射。

3 集合 M= ?a, b, c?到集合 N= ?? 1,0.1? 一共有 方法七 函数值域和最值的求法 1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域 2.分离常数法 3.换元法 4.数形结合法 求函数 y=

求函数 y=

x

2

? 6 x ? 5 的值域

3x ? 1 的值域 x?2

求函数 y= x ? 4 1 ? x 的值域 求函数 y= x ? 1 ? x ? 4 的值域
4

5.判别式法

求函数 y=

2x ? x?2

2

x

2

? x ?1

的值域

方法八 函数奇偶性和周期性的考察 1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数 )

2.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为 A.-1 B. 0

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( )

C.1

D. 2

? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 3.(2009 江西卷文)已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2)
时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 ) A. ?2 ( B. ?1 ) C. 1 D. 2

方法九 函数奇偶性和对称性考察 1.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y ? log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 2. (2010 重庆理数)(5) 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称

2? x 的图像 2? x
(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称





4x ? 1 的图象 2x

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

方法十 函数奇偶性和单调性的考察 1.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) ).

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) ( (D) c ? b ? a
5

2.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b



3.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( (A ) ( ) D.[

1 3

1 2 , ) 3 3

B.[

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

1 2 , ) 2 3

4.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 则 () B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. x2 ? x1

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

5.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有
*

( B. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) D. f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

)

(A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) C. C. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) 6. (2009 江苏卷) 已知 a ?

5 ?1 , 函数 f ( x) ? a x , 若实数 m 、 则m、 n 满足 f (m) ? f (n) , n 的大小关系为 2
3 5
2

.

5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 7. (2010 安徽文数) (7)设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

2 5

3

2 5

2

(A)a>c>b (B)a>b>c 方法十一 抽象函数的解法

(C)c>a>b

(D)b>c>a

1. ( 2009 四 川 卷 理 ) 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 x f ( x? 1) ? (1 ? x ) f (x,则 ) f ( f ( )) 的值是 2 1 A.0 B. 2

( C.1 D.

)

5 2

2.(2009 山东卷理 ) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 [0,2] 上是增函数 , 若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 方法十二 对数函数的考察 3(2010 全国卷 1 文数)(7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

4(2010 全国卷 1 理数) (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是
6

(A) (2 2, ??)

(B) [2 2, ??)

(C) (3, ??)

(D) [3, ??)

方法十三 函数创新题的解法 1.(2009 浙江理)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 .下列结论中正确的是 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 )? f ( x 1 )? ? ( x 2? x 1) A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则 ( )

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 2.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测,对任意的非零实 2a

数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 ( A. ?1, 2? B ?1, 4? ) C ?1,2,3,4? D ?1, 4,16,64?

7


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