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2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1:第一章 章末复习课 Word版含答案

章末复习课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1.有关真假命题的判断方法 (1)是灵活根据题干和选择项进行判断,主要是选出错误的命题,所以可以利用特例法确 定选择项,即只需举出一个反例即可说明命题是假命题. (2)对于较难判断的问题,可以转化为逆否命题来解决. 2.正确理解逻辑联结词的含义 (1)已知命题 p、q,只要有一个命题为假,p∧q 就为假;只要有一个为真,p∨q 就为真, 綈 p 与 p 真假相对. (2)注意命题的否定与命题的否命题的区别,这是两个很容易混淆的概念,要准确把握它 们的基本形式,不能混淆. 3.解决全称量词与存在量词问题需要注意的两个方面 (1)准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式,这两类命题的否定形式有严格 的格式,不要和一般命题的否命题的形式混淆. (2)要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法,即只要找出一个反例就可说明全称 命题为假,只要找到一个正例就可以说明特称命题为真. 专题一 充分条件与必要条件的理解及判定 1.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和 结论之间的关系,解决此类问题的基本步骤是: (1)确定条件是什么,结论是什么; (2)把复杂的条件(结论)化简; (3)尝试从条件推结论,从结论推条件; (4)确定是什么条件. 2.充分条件与必要条件的判定是高考的热点内容,其考查形式主要以选择题或填空题为 主,题目难度不大. [例 1] 已知 p:-2<m<0,0<n<1,q:关于 x 的方程 x +mx+n=0 有两个小于 1 2 的正实根,试判断 p 是 q 的什么条件. 解:若关于 x 的方程 x +mx+n=0 有两个小于 1 的正实根,则Δ =m -4n >0,即 m > 4n. 设方程的两根为 x1,x2,则 0<x1<1,0<x2<1, 有 0<x1+x2<2,且 0<x1x2<1. 根据根与系数的关系,有? ? ?0<-m<2, 解得? ?0<n<1. ? ?x1+x2=-m, ? ?x1x2=n. ? 2 2 2 所以-2<m<0,0<n<1,且 m >4n,即有 q? p. 1 1 反之,取 m=- ,n= , 3 2 1 1 1 1 2 那么方程变为 x - x+ =0,Δ = -4× <0. 3 2 9 2 此时方程 x +mx+n=0 无实根,所以 p 综上所述,p 是 q 的必要不充分条件. 归纳升华 若 p? q,但 p?/q,则 p 是 q 的充分不必要条件;若 p 不充分条件;若 p?q,则 p 是 q 的充要条件;若 p 不必要条件. [变式训练] 下列各题中,p 是 q 的什么条件?说明理由. 2 2 q. q,但 p?q,则 p 是 q 的必要 q,且 p?/q,则 p 是 q 的既不充分也 (1)p:a2+b2=0;q:a+b=0; (2)p:a≤-2 或 a≥2;q:方程 x2+ax+a+3=0 有实根; (3)p:圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切;q:c2=(a2+b2)r2. 解:(1)因为 a2+b2=0? a+b=0,a+b=0? / a2+b2=0, 所以 p 是 q 的充分不必要条件. (2)当 a≤-2 或 a≥2 时,如 a=3,则方程 x2+3x+6=0 无实根,而 x2+ax+a+3=0 有实根时, Δ ≥0, 得 a≤-2 或 a≥6, 可推出 a≤-2 或 a≥2.所以 p 是 q 的必要不充分条件. (3)若圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切, 圆心到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r, 即 r= |c| a2+b2 ,从而 c2=(a2+b2)·r2,反之,也成立.所以 p 是 q 的充要条件. 专题二 四种命题的关系及真假判断 命题“若 p,则 q”的逆命题为“若 q,则 p”,否命题为“若綈 p,则綈 q”,逆否命题 为若“綈 q,则綈 p”.书写这四种命题时应注意:(1)分清命题的条件与结论,注意大前提 不能当作条件来对待;(2)要注意条件和结论的否定形式.在高考试题中,常以选择题的形式 考查命题真假的判断.若以填空题形式出现,则往往要求写出命题的否定或逆否命题等. [例 2] 给出下列命题: ①已知 a=(3,4),b=(0,-1),则 a 在 b 方向上的投影为-4. ②函数 y=tan(x+ π π )的图象关于点( ,0)成中心对称. 3 6 ③命题“如果 a·b=0,则 a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题. ④若 a≠0,则 a·b=a·c 是 b=c 成立的必要不充分条件. 其中正确命题的序号是________. 4 解析:①因为|a|=5,|b|=1,a·b=-4,所以 cos<a,b>=- ,所以 a 在 b 方向上的 5 投影为|a|·cos<a,b>=-4,①正确. ②当 x= π ? π? 时,tan?x+ ?无意义, 3? 6 ? 由正切函数 y=tan x 的图象的性质知,②正确. ③因为原命题的逆命题为“若 a⊥b 则 a·b=0”为真, 所以其否命题也为真. 所以 ③正 确. ④当 a≠0,b=c 时,a·b=a·c 成立. (当 a≠0,a·b=a·c 时不一定有 b=c.) 所以④正确. 答案:①②③④ 归纳升华 要说明一个命题为真命题,应给出理论证明,如本例;而要说明一个命题为假命题,只 需举出一个反例即可. [变式训练] 有下列四种说法:(1)命题“若 x2-x-6>0,则 x>3”的否命题是“若 x2 -x-6<0, 则 x≤3”; (2)命题“等腰三角形的两边相等”的否命题是“等腰三角形的两边不 相等”;(3)命题“若 ab>0,则 a>0,b>0”的逆命题是“若 a>0,b>0,则 ab>0”;(4)命题 “若直线 l 与平面 α 有交点,则 l? α 或 l 与 α 相交”的逆否命题是“若 l?α

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