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2015-2016高考数学总复习:专题研究 三角函数的值域与最值(共27张PPT)(新人教版理科)(精品课件)

专题研究 三角函数的值域与最值 π 例 1 (1)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cosxsin(x+6)-1. ①求 f(x)的最小正周期; π π ②求 f(x)在区间[-6,4]上的最大值和最小值. 【解析】 π ①因为 f(x)=4cosxsin(x+6)-1 3 1 =4cosx( 2 sinx+2cosx)-1 = 3sin2x+2cos2x-1 = 3sin2x+cos2x π =2sin(2x+6), 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π ②因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1. 【答案】 ①π ②2,-1 π π (2)已知函数 f(x)=2asin(2x-3)+b 的定义域为[0,2],函数 的最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值. 【解析】 π π π 2 ∵0≤x≤2,∴-3≤2x-3≤3π. 3 π ∴- 2 ≤sin(2x-3)≤1. 若 ? ?2a+b=1, a>0,则? ? ?- 3a+b=-5, ? ?a=12-6 3, 解得? ? ?b=-23+12 3; 若 ? ?2a+b=-5, a<0,则? ? ?- 3a+b=1, ? ?a=-12+6 3, 解得? ? ?b=19-12 3. 综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3, b=19-12 3. 【答案】 a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3, b=19-12 3 探究 1 化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式求最值时,特别注 意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较闭区 间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值. 思考题 1 1 sin2x-4. π π 1 已知函数 f(x)=cos(3+x) cos(3 -x),g(x)=2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值, 并求使 h(x)取得最大值 的 x 的集合. 【解析】 π π 1 3 1 (1)f(x) =cos(3 + x)cos(3 - x) = (2 cosx- 2 sinx)(2 1+cos2x 3-3cos2x 1 3 1 2 3 2 cosx + 2 sinx) = 4 cos x - 4 sin x = - = 2 cos2x 8 8 1 -4, 2π ∴f(x)的最小正周期为 2 =π. 1 1 2 π (2)h(x)=f(x)-g(x)=2cos2x-2sin2x= 2 cos(2x+4), π 2 当 2x+4=2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值 2 . π h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为{x|x=kπ-8,k∈Z}. 【答案】 (1)π 2 π (2) 2 {x|x=kπ-8,k∈Z} 例 2 求下列函数的值域: sin2xsinx (1)y= ; 1-cosx (2)y=sinx+cosx+sinxcosx. 【解析】 2 2 2sinxcosxsinx 2cosx?1-cos x? (1)∵y= = 1-cosx 1-cosx 12 1 =2cos x+2cosx=2(cosx+2) -2, 于是当且仅当 cosx=1 时,ymax=4. 但 cosx≠1,∴y<4. 1 1 且 ymin=-2,当且仅当 cosx=-2时取得. 1 故函数值域为[-2,4). (2)令 t=sinx+cosx,则有 2 t -1 2 t =1+2sinxcosx,即 sinxcosx= 2 . t2-1 1 ∴y=f(t)=t+ 2 =2(t+1)2-1. π 又 t=sinx+cosx= 2sin(x+4), ∴- 2≤t≤ 2. 1 故 y=f(t)=2(t+1)2-1(- 2≤t≤ 2). 1 从而知 f(-1)≤y≤f( 2),即-1≤y≤ 2+2. 1 则函数的值域为[-1, 2+2]. 1 1 【答案】 (1)[-2,4) (2)[-1, 2+2] 探究 2 可化为 y=f(sinx)型三角函数的值域也可通过换元 法转为其他函数的值域. 思考题 2 6cos4x+5sin2x-4 (1)求函数 y= 的值域. cos2x 【解析】 原函数可化为 6cos4x-5cos2x+1 ?2cos2x-1??3cos2x-1? y= = . cos2x cos2x 1 ∴y=3cos x-1,(cos x≠2). 2 2 1 ∴-1≤y≤2,且 y≠2. 1 1 【答案】 [-1,2)∪(2,2]. (2)求 f(x)=cos2x+asinx 的最小值. 【解析】 f(x)=1-sin2x+asinx, 令 t=sinx,t∈[-1,1], 2 a a ∴y=-t2+at+1=-(t-2)2+1+ 4 . 当 a>0 时,t=-1 时,y 取最小值,ymin=-a. 当 a≤0 时,t=1 时,y 取最小值,ymin=a. 【答案】 当 a>0 时,t=-1 时,y 取最小值,ymin=-a. 当 a≤0 时,t=1 时,y 取最小值,ymin=a. 2-sinx 例 3 (1)求函数 f(x)= 的值域. 2+cosx 1 1 (2)已知 f(x)=2(sinx+cosx)-2|sinx-cosx|,求 f(x)的值域. 【解析】 2-sinx (1)函数 f(x)= , 2+cosx 可看作点(2,2),(-cosx,sinx)两点连线的斜率. 点(-cosx,sinx)的轨迹为 x2+y2=1. 函数值域即为 (2,2) 与单位圆 x2+ y2 = 1 上点连线斜率

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