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2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义:第二章 函数、导数及其应用


第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 1.函数映射的概念 函数 两集合 A,B 对应关 系 f: A→B 设 A,B 是两个非空数集 如果按照某个对应关系 f,对于集 合 A 中的任何一个数 x,在集合 B 中都存在唯一确定的数 f(x)与之对 应 称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应 称对应 f: A→B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几种函数组成. [试一试] 1.(2013· 江西高考)函数 y= x ln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1] ) ? ?1-x>0, 解析:选 B 根据题意得? 解得 0≤x<1,即所求定义域为[0,1). ?x≥0, ? ?x2+1,x≤1, ? 2.若函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ? ?lg x,x>1, ) A.lg 101 C.1 解析:选 B B.2 D.0 f(10)=lg 10=1,故 f(f(10))=f(1)=12+1=2. 求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [练一练] 1.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于( A.-2x+1 C.2x-3 答案:D 2.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(x)=________. 答案:x2-4x+3 ) B.2x-1 D.2x+7 考点一 函数与映射的概念 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 C.y=4lg x 与 y=2lg x2 答案:D ) B.y= x-1与 y= x-1 x-1

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