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高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨反函数问题 新人教A版


七、反函数问题:
典型例题: 例 1.函数 y = x ? 1 ( x ≥-1)的反函数为【 A. y ? x ? 1( x ? 0)
2

】 C. y ? x ? 1( x ? 0)
2

B. y ? x ? 1( x ? 1)
2

D. y ? x ? 1( x ? 1)
2

【答案】A。 【考点】反函数。 【解析】由原函数求出 x 关于 y 的关系式,再 x 、 y 对换,原函数的值域是反函数的定义域。因此, 将 y = x ? 1 两边平方,得 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 。将 x 、 y 对换,得 y ? x ? 1 。
2 2 2

又函数 y = x ? 1 的值域为 y ? 0 ,所以 y ? x ? 1 的定义域为 x ? 0 。故选 A。
2

例 2.设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为【 2
( B)



( A) 1 ? ln 2
【答案】 B 。

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

【考点】反函数的性质,导数的应用。 【解析】∵函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,∴它们的图象关于 y ? x 对称。 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 ∴函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 ? ln 2 1 x 1 。 e ? x ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ,∴ g ( x) min ? 1 ? ln 2 。∴ d min ? 2 2 2

∴由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2d min ?

2(1 ? ln 2) 。故选 B 。

1

例 3.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (6 分) (2) 若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数, 且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数 y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.(8 分) 【答案】 (1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 。 ? x ?1 ? 0

2 ? 2x 2 ? 2x ? 1 得1 ? ? 10 。 x ?1 x ?1 2 1 ∵ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 ,解得 ? ? x ? 。 3 3
由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg

? ?1 ? x ? 1 2 1 ? 由? 2 1 得, ? ? x ? 。 3 3 ? ?x? ? 3 ? 3
(2)当 x ? [1, 2] 时, 2 ? x ? [0,1] , ∴ y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) 。 由单调性可得 y ? [0, lg 2] 。 ∵ x ? 3 ? 10 y ,∴所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2] 。
x

【考点】对数函数的概念、性质,反函数的求法。 【解析】 (1)由 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,结合对数函数的性质,列不等式组求解即可。 (2)根据对数函数与指数函数互为反函数的性质求解。

2


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