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高中数学选修1-1人教A教案导学案:3.4生活中的优化问题举例

第三章第 4 节

生活中的优化问题举例 课前预习学案

一、预习目标
了解解决优化问题的思路和步骤

二、预习内容
1.概念: 优化问题:_______________________________________________________ 2.回顾相关知识: (1)求曲线 y=x2+2 在点 P(1,3)处的切线方程. (2)若曲线 y=x3 上某点切线的斜率为 3,求此点的坐标。 3:生活中的优化问题,如 何用导数来求函数的最小(大)值?

4.解决优化问题的基本思路是什么?

三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变 量 x ,把实际问题转化为数学问题,即列出函数解析式 y ? f ( x) ,根据实际问题确定函数

y ? f ( x) 的定义域;
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤,细心运算,正确合理地做答. 重点:求实际问题的最值时,一定要从问题的实际意义去考察,不符合实际意义的理论值应 予舍去。 难点:在实际问题中,有 f ?( x) ? 0 常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在 x 的 变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。

1

二、学习过程
1. 汽油使用效率最高的问题 阅读例 1,回答以下问题: (1) 是不是汽车速度越快,汽油消耗量越大? (2) “汽车 的汽油使用效率最高”含义是什么? (3) 如何根据图 3.4-1 中的数据信息,解决汽油的使用效率最高的问题?

2. 磁盘最大存储量问题 阅读背景知识,思考下面的问题: 问题:现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 的环形区域。 (1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2)r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?

3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识,思考下面的问题: (1 )请建立利润 y 与瓶子半径 r 的函数关系。 (2)分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 (3)饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的?

三、反思总结
通过上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基本思路是:

2

四、当堂检测
已知某养猪场每年的固定成本是 20000 元,每年最大规模的养殖量是 400 头。每养 1 头猪, 成本增加 100 元, 如果收入函数是 R(q)= (q 是猪的数量), 每年养多少头猪可使总利润最大? 总利润是多少?(可用计算器)

课后练习与提高
1.打印纸型号设计原理 某种打印纸的面积为 623.7cm , 要求上下页边距分别为 2.54cm, 左右页边距分别为 3.17cm, 如果要求纵向打印,长与宽分别为多少时可使其打印面积最大(精确到 0.01cm)?收集一下 各种型号打印纸 的数据资料,并说明其中所蕴含的设计原理。 【资料】打印纸型号数据(单位:厘米) 型号 宽 高 A5 14.8 21 A4 21 29.7 A3 29.7 42 Legal 21.59 35.56 16 开 18.4 26 32 开 13 18.4 大 32 开 14 20.3 B4 25.7 36.4 B5 18.2 25.7
2

2.圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能时所用材料最省? 圆柱形金属饮料罐的表面积一定时,应怎样制作,其容积最大?

3

§3. 4 教学目标:

生活中的优化问题举例

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与 自变量 x ,把实际问题转化为数学问题,即列出函数解析式 y ? f ( x) ,根据实际问题 确定函数 y ? f ( x) 的定义域; 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤,细心运算,正确合理地做答.

重点:求实际问题的最值时,一定要从问题的实际意义去考察,不符合实际意义的理论值
应予舍去。

难点:在实际问题中,有 f ?( x) ? 0 常常仅解到一个根,若能判断函数的最大 (小)值在
x 的变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。

教学方法:尝试性教学 教学过程: 前置测评:
(1)求曲线 y=x2+2 在点 P(1,3)处的切线方程. (2)若曲线 y=x3 上某点切线的斜率为 3,求此点的坐标。

【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大 、用料最省、效率最高等问题,这些问题通
常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这 一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题

例 1.汽油的使用效率何时最高 材料:随着我国经济高速发展,能源短缺的矛盾突现,建设节约性社会是众望所归。现实
生活中,汽车作为代步工具,与我们的生活密切相关。众所周知,汽车的每小时耗油 量与 汽车的速度有一定的关系。 如何使汽车的汽油使用效率最高 (汽油使有效率最高是指每千米 路程的汽油耗油量最少)呢? 通过大量统计分析,得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度 v(km/h)之 间的函数关系 g=f(v) 如图 3.4-1,根据图象中的信息,试说出汽车的速度 v 为多少时,汽 油的使用效率最高? 解:因为 G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样,问题就转化为求 g/v 的最小值,从图象上看,g/v

4

表示经过原点与曲线上点(v,g)的直线的斜率。继续观察图像,我们发现,当直线与曲线 相切时,其斜率最小,在此点处速度约为 90km/h,从树枝上看,每千米的耗油量就是途中 切线的斜率,即 f’(90),约为 0.67L.

例 2.磁盘的最大存储量问题 【背景知识】 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统
将其格式化成磁道和扇区。 磁道是指不同半径所构成的同心轨道, 扇区是指被同心角分割所 成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小于

n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大?

r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外面的磁道

R?r 不存储任何信息,故磁道数最多可达 m 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存

2? r 储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 n 。所以,磁盘总存储量
R?r 2? r 2? ? r(R ? r) f (r ) ? m × n mn
(1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储 量越大.

? (2)为求 f (r ) 的最大值,计算 f (r ) ? 0 .
f ?(r ) ? 2? ? R ? 2r ? mn

? 令 f (r ) ? 0 ,解得

r?

R 2

5

r?


R R r? 2 时, f ?(r ) ? 0 ;当 2 时, f ?(r ) ? 0 .
R 2? R 2 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 mn 4

r?
因此

例 3. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

【背景知识】

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是

0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利
0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮 料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

【引导】

先建立目标函数,转化为函数的最值问题,然后利用导数求最值.

(1)半径为 2 cm 时,利润最小,这 时 成本,此时利润是负值. (2)半径为 6 cm 时,利润最大.

f ? 2? ? 0

,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的

6

【思考】根据以上三个例题,总结用导数 求解优化问题的基本步骤. 【总结】(1)认真分析问题中各个变量之间的关系,正确设定最值变量 y 与自变量 x ,
把实际问题转化为数学问题,列出适当的函数关系式 (2)求

y ? f ? x?

,并确定函数的定义区间; 关键细节 由问题的实际意义来判 断函数最值时, 如果函数在此区间上 只有一个极值点, 那么这个极值就是 所求最值,不必再与端点值比较.

f ' ? x?

,解方程

f ' ? x? ? 0

,得出所有实数根;

(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小, 根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。 作业:P114 习题 3.4 第 2、4 题

7


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