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高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算课后导练新人教B版选修2_1

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3.1.1 空间向量的线性运算

基础达标

1.下列量中是向量的是( )

A.动能

B.磁场速度

答案:B

2.下列命题中,正确的是( )

A.若|a|=|b|,则 a=b

C.若 a=b,则|a|=|b|

答案:C

课后导练

C.功

D.频率

B.若|a|>|b|,则 a>b D.若 a≠b,则|a|≠|b|

3.设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且 OA ? OB = DO + OC ,则四边形 ABCD 是( )

A.空间四边形 C.等腰梯形 答案:B

B.平行四边形 D.矩形

4.点 D 是空间四边形 OABC 的边 BC 的中点,则 AD 等于( )

A. 1 ( OA ? OB )- OC 2
C. 1 ( OB + OC )-OA 2
答案:C

B. 1 ( OC + OA )- OB 2
D. OA + 1 ( OB + OC ) 2

5.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, BD1 等于( )

A. A1A ? AB ? AD

B. A1A ? AB ? AD

C. ? A1A ? AB ? AD

D. ? A1A? AB? AD

答案:B

6.已知空间四边形 ABCD中,G 是 CD 的中点,则 AG - 1 ( AB + AC )=___________. 2

1

答案: 1 BD 2
7.如下图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 A1D1 中点,若 AB =a, AD =b, AD =c,则 BM
用 a,b,c 表示应为______________.
答案:c-a+ 1 b 2
8.已知正方体 ABCD—A′B′C′D′,点 E、F 分别是上底面 A′C′和侧面 CD′的中心,若
BE = AA? +x AB +y AD ,则实数 x=__________,y=_____________.
答案: ? 1 1 22
9.如下图,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,M 为 A′B′中点,化简下列各式:
(1) AB + BC + BB? ; (2) CD + AA? + 1 A?B? ;
2 (3) 1 ( D?A? ? D?B? )+ MB .
2 解析:(1) AB ? BC ? BB? = AB ? BC ? CC? = AC? . (2) CD + AA? + 1 A?B? = BA ? AA? ? A?M ? BM
2 (3) 1 ( D?A? ? D?B? )+ MB = D?M + MB = D?B .
2
2

10.如右图,在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 B′C′的三等分点且 BE? = 1 B?C? ,M 3
为 D′C′的中点.

试求下列各式中 x,y,z 的值.
(1) AE ? x AB? yCC? ? zC?B? ;

(2) ME ? xC?D? ? yC?B?;

(3) BM ? xBB? ? y B?E ? zC?D?.

解析:(1)∵ AE = AB + BB? + B?E

= AB ? CC? ? (? 1 C?B?) , 3
∴x=1,y=1,z= ? 1 . 3

(2)∵ ME ? C?E ? C?M ? 2 C?B? ? 1 C?D? ,

3

2

∴x= ? 1 ,y= 2 . 23

(3) BM = BB? + B?C? + C?M

= BB? ? 3B?E + 1 C?D? 2

∴x=1,y=3,z= 1 . 2
综合运用

11.已知空间四边形 ABCD,连接 AC,BD,设 M,G 分别是 BC,CD 中点,则 AB + 1 ( AD ? BC )的 2
化简结果是( )

A. GA
答案:D

B. MG

C. 1 AD 2

D. AG

12.设 M 是△ABC 的重心,则 AM 等于( )

A. 1 ( GA - AB ) 2

B. 1 ( AB - CA ) 2

3

C. 1 ( GA - AB ) 3
答案:D

D. 1 ( AB - GA ) 3

13.如下图所示,△ABC 在平面 α 内,点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,用向量 CA , CB , OC 表

示向量 OP , OQ .

解析:(1) OP ? OC ? CP = OC ? CB ? BP = OC ? CB ? 2 BA
3 = OC ? CB + 2 ( CA ? CB )
3 = OC + 1 CB + 2 CA .
33 (2) OQ = OC + CQ = OC ? CB ? BQ = OC ? CB + 1 ( BA )
3 = OC ? CB + 1 ( CA ? CB )
3 = OC ? 2 CB + 1 CA .
33
拓展研究 14.已知 ABCD 为正方形,P 是 ABCD 所在平面外一点,P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 的中心 O,Q 是 CD 的中点,求下列各题中 x、y 的值:
(1) OQ = PQ ? xPC ? yPA; (2) PA ? xPO? yPQ? PD.
4

解析:(1) OQ ? PQ ? PO = PQ- 1 ( PA ? PC )
2 = PQ- 1 PA - 1 PC ,
22 ∴x=- 1 ,y=- 1 .
22 (2) PA = PD + DA = PD -2 OQ = PD -2( PQ- PO ) = PD -2 PQ+2 PO ,
∴x=2,y=-2.
5