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《函数的奇偶性》教案


《函数的奇偶性》教案
课 题 函数的奇偶性 课 型 新授课

知识与技能目标:使学生了解奇函数、偶函数的概念,掌握判断函数
奇偶性的方法,培养学生判断、推理的能力。 教学目标

过程与方法目标:通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、
归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想

情感、 态度、 价值观目标: 通过数学的对称美来陶冶学生的情操. 使
学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。 教学重点 教学难点 教学手段 用定义判断函数的奇偶性. 弄清 f (? x)与f ( x) 的关系. 多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)

【教学过程】 :
一、创设情境,引入新课 师:在初中我们学过不少对称图形,大家一起来回忆一下初中主要学习了哪两种对称 图形? 生:1、轴对称图形(提醒学生:轴对称——图形沿轴翻折 180 度) ; 2、中心对称图形(提醒学生:中心对称——图形绕点旋转 180 度) 。 师:观察下面几幅图片,说说它们有什么特征?

(1)

(2) 师:数学中,对称也是函数图象的一个重要特征,观察这些函数的图像,说说它们是 轴对称图形还是中心对称图形或者两者都不是?

y

f ( x) ? x

y O ②
1

y
x
f ( x) ?| x |



O f ( x) ? x 2

x

O

x ③

y
1 O f ( x) ? | x|

f ( x) ? x

3

y O ⑤ x

y

y?

1 x

x

x





生:图像①③⑥是以 y 轴为对称轴的轴对称图形; 图像②⑤⑥是以坐标原点为对称点的中心对称图形。 师:这节课我们就来学习与函数图像对称有关的性质——函数的奇偶性 二、师生互动,探索新知 任务一 偶函数 活动 1:观察函数 f ( x) ? x2 的图象,回答下列问题:

y

f ( x) ? x 2

O

x

(1) 这条抛物线的对称轴是哪条直线? (2) 用垂直于对称轴的直线截抛物线,你有什么发现? (3) 对称轴两侧对应点的坐标有什么关系? 发现:如果函数 y ? f ?x ?图象关于 y 轴对称,那么 ① 其 图 象 上 的 任 意 一 点 A?x0 , f ?x0 ?? ?x ? 定义域D? 关 于 y 轴 对 称 的 点

A??- x0 , f ?x0 ?? 一定也在这个图象上;
② 由于 A? 是函数图象上的点,所以它的坐标也可以写成 ?? x0 , f ?? x0 ?? ,因 此, f ?? x0 ? ? f ?x0 ? ; ③ 由于点 ?x0 , f ?x0 ?? 与 ?? x0 , f ?? x0 ?? 总是同时存在于函数的图象上,所以

x0与 ? x0 也同时存在于定义域 D 内,因此,函数 y ? f ?x ? 的定义域 D 关于
原点 O 对称。 活动 2:给出偶函数的定义 (板书)一般地,如果函数 y ? f ?x ?的定义域关于原点 O 对称,并且对定义域
2

内的任意一个值 x, f ?? x ? ? f ?x ? ,我们就称函数 y ? f ?x ? 为偶函数。 师:在这个定义中,它强调了任意 x,也就是说对于定义域中的任何一个 x 都有这样 的性质。观察下面的函数 f ?x? ? x 2 ? 1, x ? ?? 1,2? 的图象关于 y 轴对称吗?如果一个函数的 图象关于 y 轴对称,它的定义域应该有什么样的特点?

生:如果一个函数的图象关于 y 轴对称,它的定义域应该关于原点对称。 师:这是对于偶函数必须强调的一点 1、定义域关于原点对称 师:在这个前提之下,还必须具备什么条件? 2、对定义域内的任意一个值 x, f ?? x ? ? f ?x ? 活动 3:讨论判断函数为偶函数的方法 (师引导,学生集体讨论归纳) 1、图象法 图象关于 y 轴对称 2、定义法 ⑴定义域关于原点对称 ⑵对定义域内的任意一个值 x, f ?? x ? ? f ?x ? 任务二 活动 1: 奇函数 观察函数 y ? x 3 的图象,回答下列问题: 偶函数

f ( x) ? x 3

y O
3

x

⑴ 边? ⑵

对于图象上任意一点, 与它关于原点对称的点在这个图象上吗?它应该落在哪 现在看看这两点的坐标有什么关系? (横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数)

师: 由这个特例,我们可以分析出函数 y ? f ?x ? 的图象关于坐标原点 O 成中心对称, 那么它的定义域要关于原点对称,且对定义域内的任意一个值 x, f ?? x ? ? ? f ?x ? 活动 2: 给出奇函数的定义 (板书)奇函数定义:一般地,如果函数 y ? f ?x ?的定义域关于原点 O 对称,并且对 定义域内的任意一个值 x, f ?? x ? ? ? f ?x ? ,我们就称函数 y ? f ?x ?为奇函数。 师:现在我们来看看这个函数还是不是奇函数?

f ?x? ? x 3 ?x ? 0? ? ?x ? 1? ? ?x ? 0? ? ?? 1 ? x ? 1? ? ?? 2,?1? ? ?1,2? ?
活动 3:讨论判断函数为奇函数的方法 (师引导,学生集体讨论归纳) 1、图象法 图象关于坐标原点成中心对称 2、定义法 ⑴定义域关于原点对称 ⑵对定义域内的任意一个值 x, f ?? x ? ? ? f ?x ? 任务三 巩固提高,熟练技能 师:刚才我们学习了偶函数、奇函数的概念及判别方法,看下面一题 活动 1:根据下列函数图象判断其奇偶性。 奇函数

偶函数
4

奇函数

师:根据图象来判断函数的奇偶性比较的简单,也是大家首先要想到的方法,运用了 数学中一个很重要的数学思想——“数形结合” 。 师:再看这样一个问题: 活动 2 判断函数 f ?x? ? x 4 的奇偶性

(师示范)解:∵ 函数 f ?x ? 的定义域为 R ∴ 定义域关于原点对称, 对于定义域内的任意一个值 x , 都有 f ?? x? ? ?? x? ? x 4 ? f ?x?
4

∴ 函数 f ?x ? 是偶函数。 变形:

f ?x ? ? x 4

, x ? ?? 1,3?

解:∵ 函数 f ?x ? 的定义域为 ?? 1,3? ∴ 定义域不关于原点对称, ∴ 函数 f ?x ? 是非奇非偶函数。 思考: 将题目哪里改一下就成偶函数呢? 师:从函数的角度看有奇函数、偶函数、非奇非偶函数,那同学们想一想有没有既 是奇函数又是偶函数的函数呢?课后找一找 活动 3 判断下列函数的奇偶性 ⑴ ⑵

f ?x? ? x 3 (学生口述)
f ?x? ? x 3 ? 2x (学生自己动手做做)

强调:前后两个 x 都必须转化为“ ? x ”来计算。 变形: f ?x? ? x 3 ? 2x ? 1 ⑶ ⑷

f ? x ? ? 2 x ? 3x 3
y? 1 x2

三、课堂小结 本节课学习了什么? 四、课后拓展 1、如果定义在区间 ?3 ? a,5? 上的函数 f ?x ? 是奇函数,则 a ? 2、判断函数 f ?x ? ? 0 的奇偶性。 。

5

6

[教学说明:用多媒体展示活动 1、2 的图像,学生通过画图从形的角度认识两种函数 各自的特征:活动 1 的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,活动 2 的图像是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形] 活动 3:活动 1 给出的函数: f ( x) ? x2 ,找出当 x ? ?1与x ? 1 时函数图像上的点,看有什 么规律? 师生共同完成:当 x 取 ?1与1(两个互为相反数)时,则对应的函数值 f (?1)与f (1) 都取 1, 即: f (?1) ? f (1) 。同理得: f (?2) ? f (2) 。教师提问学生:自变量代入两个互为相反的数:
? x与x ,得到的对应函数值 f (? x)与f ( x) 是什么关系?学生: f (? x) ? (? x)2 ? x2 , f ( x) ? x2 ,

f (? x)与f ( x) 的值相等,即: f (? x) ? f ( x) 。
活动 4:活动 2 给出的函数: f ( x) ? x3 ,找出当 x ? ?1与x ? 1 时函数图像上的点,看有什 么规律? 师生共同完成:当 x 取 ?1与1(两个互为相反数)时,则对应的函数值 f (?1)与f (1) 分别都 取 ?1与1即: f (?1) ? ? f (1) 。同理得: f (?2) ? ? f (2) 。教师提问学生:自变量代入两个互 为 相 反 的 数 : ? x与x , 得 到 的 对 应 函 数 值 f (? x)与f ( x) 是 什 么 关 系 ? 学 生 :

f (? x) ? (? x)3 ? ? x3 , f ( x) ? x3 , f (? x)与f ( x) 的值相反,即: f (? x) ? ? f ( x) 。
[活动 3、4 的设计意图:让学生计算相应的函数值,引导学生发现规律,总结规律。然后 学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性。 通过代入特殊值让学生认识两个 函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等的关系, 从而 自然引入奇、偶函数的概念图像性质。] 引入:概念 1:如果对于函数 f ( x) 的定义域(对应的区间关于原点对称)内的任意一个 x , 都有 f (? x) ? f ( x) ,则称这个函数为偶函数。 概念 2:如果对于函数 f ( x) 的定义域(对应的区间关于原点对称)内的任意一个 x ,都有
f (? x) ? ? f ( x) ,则称这个函数为奇函数。

[教学说明:概念 1、2 揭示函数是否是奇、偶函数必须具备两个条件:①定义域对应的区 间必须关于坐标原点对称的;②若 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 为奇函数 , 若 f (? x) ? f ( x) ,则
7

f ( x) 为偶函数。]

从奇函数和偶函数图象的对称性得到性质: 如果函数 y ? f ( x) 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则称函数 y ? f ( x) 是 奇 函数; 反之若函数 y ? f ( x) 是奇函数, 则它的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 2、 如果函数 y ? f ( x) 的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形, 则称函数 y ? f ( x) 是偶函数; 反之若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形. 3、如果函数 y ? f ( x) 的图象既不是以坐标原点为对称中心的中心对称图形也不是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形,则称函数 y ? f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数(即是非奇非偶函 数) ;反之亦然。 [教学说明:职校生的推理能力较弱,从观察具体奇、偶函数的图像推出奇、偶函数的性 质] 三、巩固提高,熟练技能 例:判断下列函数不是是奇、偶函数: (1)f ( x) ? x3 ? 1 ; (2)f ( x) ? x2 ? 2 ; (3)f ( x) ? x2 ? x6 ,
x ?[?2, 4] ,(4) f ( x) ? x ? x2 .

[分析]: 奇、偶函数的性质分别为: f (? x) ? ? f ( x) 、 f (? x) ? f ( x) ,这提示我们验证函 数奇偶性的步骤: (1) 看函数定义域对应的区间是否关于坐标原点对称(2)先求出 f (? x) 的值; (3) 看 f (? x)与f ( x) 间的关系; (4) 判断 : 若 f (? x) ? ? f ( x) , 则 f ( x) 为奇函数 , 若
f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 为偶函数.

解 :( 师生共同完成 )(1) 因为函数 f ( x) ? x3 ? 1的定义域是 R ( 关于原点对称 ) ,又因为

f (? x) ? (? x)3 ? 1 ? ? x3 ? 1,
f (? x) ? ? f ( x), f (? x) ? f ( x) ,所以 f ( x) ? x3 ? 1 不是奇函数也不是偶函数.

( 学 生 尝 试完成 ) ( 2 )因为函数 f ( x) ? x2 ? 2 的定义域 是 R( 关于原点对 称 ), 又 因 为
2 f (? x) ? (? x ) ? 2? x 2 ? 2 ,

f (? x) ? f ( x) ,所以 f ( x) ? x2 ? 2 是偶函数.

( 师生共同完成 )(3) 因为函数 f ( x) ? x2 ? x6 的定义域是 [? 2, 4]( 关于原点不对称 ) ,所以
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f ( x) ? x2 ? x6 , x ?[?2, 4] 是非奇非偶函数.
(学生完成)(4) [教学说明: ( 1) 、 (2) 、 (4)题让学生先求出 f (? x) 的值,养成学习的良好习惯:解题尝 试一步一步去做, (3)用说明的方法,点到即止。] 学生继续完成书本 P100:练习 A3(1) 、 (2) ,4(1) 、 (2) 四、拓展延伸 [设计意图:让学生尝试灵活运用两种方法判断函数的奇偶性,反过来知道函数的奇偶性, 让学生画出对称的另一部分图像] 问题 1:函数 y ? x2 ? 1 的图象如下图,①判断函数的对称性;②判断函数 y ? x2 ? 1 是偶函 数还是奇函数.

解:①函数 y ? x ? 1 的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;②函数 y ? x ? 1 是偶函数.
2 2

问题 2:函数 y ? x ? 1 , x ? [?1, ??) 的图象如下图,①判断函数的对称性;②判断函数 y ? x ? 1 是
2 2

偶函数还是奇函数.

2 2 解:①函数 y ? x ? 1 , x ? [?1, ??) 的图象不是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;②函数 y ? x ? 1 ,

x ?[?1, ??) 不是偶函数。

问题 3: 函数 f ( x) ? 2 x 的图象如下图所示, ①判断函数图像的对称性;②判断函数 f ( x) ? 2 x 的
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奇偶性。

① 像的对称性: 函数 f ( x) ? 2 x 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; ② 函数的奇偶性: 函数 f ( x) ? 2 x 是奇函数. 问题 4:判断函数 f ( x) ? x2 的奇偶性,函数 f ( x) ? x2 在 y 轴右边部分的图象如下图 ,用描点 法画出函数另一部分的图象

[教学说明:问题 3 函数的图像是一条直线,本来只需要描两个点,要求多描一个点,对称性的 效果更加直观,如果学生难以判断对称性时,就可以提醒学生把图形绕原点旋转 180 度,看 是否重叠就可以,另外为下一步的知识的拓展延伸作准备。通过四个例子,结合直观的图 形,充分发挥数形结合思想的功能,使学生的感性认识提高到理性认识] 五、方法、规律总结 判断或证明函数奇偶性的常用方法 1、 “定义域”条件法:若函数定义域不是关于坐标原点对称的,则函数是非奇非偶函数; 若函数的定义域是关于坐标原点对称的,再用图像法或验证法.2、图像法.3、验证法:(1) 若 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数为奇函数;(2)若 f (? x) ? f ( x) ,则函数为偶函数. 六、作业:课本 P122:二、填空题 1(3) 、 (4) 、 (5) ;课本 P123:三、解答题 1,4。 七、教学反思
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一、这节课成功的经验和感受:
(1) 探究式学习让学生学会学习。 学习是一个动态过程, 认识是一种积极主动的建构过程,

学习是内部的建构活动,让学生亲自画图像,增强感性认识,让学生求函数值,让学生体 会函数的对称性,比教师直接讲给学生听,效果会好得多。 (2)处理好学生、教师之间的关系,建立新型师生关系,形成良好的课堂教学气氛,以 取得良好的课堂教学效果。 (3)探讨小组合作学习教学方法。小组合作学习有助于约束学生,调动每个学生的学习 积极性。 二、不足和今后在教学中应注意的方面: (1)小组合作学习这种学习方式虽然很好,但一个班的学生人数太多,容易乱,如果这 节课不是公开课,如果没有很多老师、领导坐在教室后面,课堂教学能井然有序吗? (2)适当给学生压力。有压力才有动力,没有压力的课堂是一盘散沙。每节课有教学任 务,学生当然也有学习任务。教师在课前要向学生明确这节课一定要完成的任务,学生之 间相互监督,完成任务者给予奖励,没完成者给予适度处罚,遵循公平公开的原则,当节 课公布完成任务的情况。 (3)灵活处理教材,多给学生练习讨论的时间。课本有些例题可作为练习题让学生去做, 并鼓励学生创新,作出与例题不同的解法。课前五分钟可留给学生发挥,让学生轮流出题 (不限定课本知识)考大家,让学生体会做课堂的主人。 (4)适当利用多媒体教学课件让枯燥的数学知识“活”起来。

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