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河北省石家庄2014届高三第一次教学质量检测(期末)数学文试题 Word版含答案


石家庄 2014 届高三第一次教学质量检测(期末) 数学(文)试题
(时间 102 分钟 满分 150 分) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题))和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 5.考虑到各校的复习进度,本试卷考试内容不包含选修系列 4.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 z=(1+i)·i3 的共轭复数是 A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i 2 2、集合 A={-1,0,1},B={y|y=x +1,x ? A},则 A ? B= A、{0} B、{1} C.{0,1} D.{-1,0,1} 3.设 a,b 表示直线,α,β,γ 表示不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α B.若 γ⊥α 且 γ⊥β,则 α∥β C.若 a∥α 且 a∥β,则 α∥β D.若 γ∥α 且 γ∥β,则 α∥β 2 4.若抛物线 y =2px 上一点 P (2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为 A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 A.4 B.5 C.6 D.7

6.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC,得到三棱锥 C-ABD,其正视图、 俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示) ,则其俯视图的面积为 3 A. 2 1 B. 2 C.1 2 D. 2
正视图

? ?y≥x, 7.设变量 x,y 满足约束条件:?x+2y≤2,则 z=x-3y 的最小值为 ? ?x≥-2,
A.-2
2 2

俯视图

B.-4

C.-6

D.-8

x y 8.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,过其左焦点 F 作 x 轴的垂线交双曲线 于 M,N 两点,且 MA?NA >0,则该双曲线离心率的取值范围为

???? ??? ?

9.函数 f (x)=sin x·ln|x|的部分图象为

10.已知球 O,过其球面上 A,B,C 三点作截面,若 O 点到该截面的距离等于球半径的一 半,且 AB=BC=2,∠B=120?,则球 O 的表面积为 64? A. 3 8? B. 3 C.4? 16? D. 9

11.已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的值 为 A.16 12.已知函数 B.8 C.2 2 D.4

则方程 f (x)=ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值

范围是(注:e 为自然对数的底数)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某学校共有师生 3200 人,先用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本.已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是__________. 14.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若(a+b+c) (a+b-c)=ab, 则角 C 的大小为为__________. 15.边长为 1 的菱形 ABCD 中, ,则 __________.

16.如右图,一个类似杨辉三角的数阵,则第 n(n≥2)的第 3 个数为__________. 1 3 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 ?? 5 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) ? ? 已知函数 f (x)=sin 4x+ 4 +cos 4x- 4 .

(

)

(

)

(Ⅰ)求函数 f (x)的最大值; (Ⅱ)若直线 x=m 是曲线 y=f (x)的对称轴,求实数 m 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3=a4+6, 且 a1, a4, a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=2an+1,求数列{bn}的前 n 项和.

19. (本小题满分 12 分) 2013 年 12 月 21 日上午 10 时,省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应,正式实施机动 车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查 情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) 频数 赞成人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ)若从年龄在[55,65),[65,75)的被调查者中各随机选取 1 人进行进行追踪调查, 求两人中至少有一人赞成“车辆限行”的概率.
频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

15

25

35

45

55

65

75 年龄

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,CD⊥平面 PAD,PA⊥AD, PA=2,E 分别 PC 的中点,点 P 在棱 PA 上. (Ⅰ)求证:AC⊥DE; (Ⅱ)求三棱锥 E-BDF 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 .

(Ⅰ)当 a=2 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (II)当 a>0 时,函数 y=f(x)在闭区间 范围。 上的最大值为 ,求 a 的取值

22. (本小题满分 12 分) 2 3 已知 F1(-1,0),F2(1,0)为椭圆 C 的左、右焦点,且点 P 1, 3 在椭圆 C 上.

(

)

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,问△F2AB 的内切圆的面积是否存在最大 值?若存在求其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

石家庄 2014 届高三第一次教学质量检测(期末)
数学(文科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1-5 DBDCB 6-10 BDBAA 11-12 BB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . 200 __ 14.

2? 3
2

15.

13 12

16. n ? 2n ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17 .解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin(4 x ? ) ? cos( ? 4 x) 4 4 ? sin(4 x ? ) ? sin( ? 4 x) 4 4

?

?

?

?

? 2sin(4 x ? ) ,………………………3 分 4
所以

?

f ( x) 的最大值是 2.………………………5 分

(Ⅰ)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z) ,…………………7 分

则x?

k? ? ? (k ? z) ,………………9 分 4 16
y ? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

而直线 x ? m 是函 18.

k? ? ? (k ? Z) ………10 分 4 16

解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 . 2

① ② ??2 分

2 因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d ) .

由①,②可得: a1 = 3, d = 2 .

??????????????4 分

所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由题意 bn ? 2
2 n ?1

??????????????6 分

? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2 n ?1 ,

c n ?1 2 2( n ?1) ?1 ? 2 n ?1 ? 4 (n ? N * ) ,所以数列 {c n } 为以 8 为首项,以 4 为公比的等比数列?? cn 2
9分

8(1 ? 4n ) 4n ?1 ? 8 所以 Tn ? ?n? ? n. ??????????????12 分 1? 4 3
19. 答案: (1)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01

频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

????????5 分 (2)设 A 表示事件:年龄在 ? 55, 65 ? ? 65, 75 ? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查, 两人中至少有一人赞成“车辆限行”. 则 A 表示事件:年龄在 ? 55, 65 ? ? 65, 75 ? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查,两人 都不赞成“车辆限行” 。 从年龄在 ? 55, 65 ? ? 65, 75 ? 的被调查者中各随机选取 1 人,所有可能的结果数为 25 ???????7 分 记年龄在 ? 55, 65 ? 内的不赞成的人为 a,b,年龄在 ? 65, 75 ? 内的不赞成的人为 c. 两人都不赞成“车辆限行”的所有可能结果为:ac,bc. ??????10 分

\ P( A) = 1 - P( A) = 1 20.

2 23 = ?????12 分 25 25

P

F E

解: (Ⅰ)连接 EO , E 为 PC 的中点, EO / / AP , 因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD , 所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 且平面 ABCD ? 平面 PAD ? AD , PA ? AD , PA ? 平面 ABCD 所以 EO ? 平面 ABCD ,??????4 分 EO ? AC ,又 AC ? BD , AC ? 平面 BED , ED ? 平面 BED , 所以 AC ? DE .???????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EO / / AP , EO ? 平面 BED ,所以 AP / / 平面 BED , 又 AC ? 平 面 BED , 所 以 AO 即 为 点 F 与 平 面 BED 的 距 离 , AO ?

2 ,而 2

S?BDE ?

1 2 BD ? EO ? ,??????10 分 2 2

1 2 2 1 VE ? BDF ? VF ? EDB ? ? ? ? ??????12 分 3 2 2 6
解法二 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EO / / AP , EO ? 平面 BED ,所以 AP / / 平面 BED , 所以 AO 即为点 F 与平面 BED 的距离

1 1 1 VE ? BDF ? VF ? EDB ? VA? EDB ? VE ? ADB ? ? ? 1 ? . 3 2 6
21. 解:f/(x)=6x2-6(a+1)x+6a =6(x-1)(x-a)?????2 分 (1)当 a=2 时,f/(x)=6(x-1)(x-a)= 6(x-1)(x-2) 当 x<1 或 x>2 时,f/(x)>0, 当 1<x<2,f/(x)<0, 所以 f(x)的单调增区间分别为(-∞,1), (2,+∞),??????5 分 f(x)的单调减区间为(1,2) (2) (Ⅰ)当 a=1 时,f/(x)=6(x-1)2≥0,f(x)在 [0,a+1]上单调递增,最大值为 f(a+1) (Ⅱ)当 0<a<1 时,列表如下: x 0 (0,a) a (a,1) 1 (1,1+a) a+1 f/(x) f(x) + 增 0 极大值 f(a) 减 0 + 增

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(a)或 f(a+1) 所以只需 f(a+1) -f(a)=(-a3+3a2+3a-1)-(-a3+3a2)=3a-1≥0 解得 a≥

1 1 ,此时 ≤a<1 3 3
(1 ,a) 减 a 0 (a,1+a) + 增 a+1

(Ⅲ)当 a>1 时,列表如下: x 0 (0,1) 1 f (x) f(x)
/

+ 增

0 极大值 f(1)

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(1)或 f(a+1) 所以只需 f(a+1) -f(1)=(-a3+3a2+3a-1)-(3a-1)=- a 3+3a2=-a2(a-3)≥0 解得 a≤3,此时 1<a≤3.??????11 分 由(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)得

1 ≤a≤3 3 1 ,3]. ??????12 分 3
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

所以满足条件的 a 的取值范围是[

22.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆 C 的方程为

因为 | PF1 | ? | PF2 |?

(1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? 2 3 ? 2a ,所以 3 3

a 2 ? 3 , b2 ? 2 ,
x 2 y2 ? ?1 所以,椭圆 C 的方程为 3 2
(也可用待定系数法 ??????4 分

b2 a2 ?1 2 3 1 12 ? ? ? ? 1 ,或用 ) a a 3 a 2 9(a 2 ? 1)

? x2 y 2 ?1 ? ? ( 2 ) 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l : y ? k ( x ? 1) , 由 ? 3 得 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 x2 ?

3k 2 ? 6 ?6k 2 x ? x ? , ?????6 分 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
4 3( k 2 ? 1) , 2 ? 3k 2

所以 | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

设内切圆半径为 r ,因为 ?ABF2 的周长为 4a ? 4 3 (定值) , S? ABF2 ?

1 ? 4a ? r ? 2 3r , 2

所以当 ?ABF2 的面积最大时,内切圆面积最大,又

S# ABF2

4 3k 2 (k 2 ? 1) 1 ,????8 分 ? | F1 F2 || y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | ?| k || x1 ? x2 | ? 2 ? 3k 2 2
2

令 t ? 2 ? 3k ? 2 ,则 k 2 ?

t ?2 ,所以 3

S? ABF2 ?

4 3k 2 (k 2 ? 1) (t ? 2)(t ? 1) 4 2 1 4 ?4 ? ? 2 ? ?1 ? ????10 分 2 2 2 ? 3k 3t t t 3 3

又当 k 不存在时, | y1 ? y2 | ?

4 S 2 4 ,此时 r ? ? , S圆 = ? 9 3 2 3 3

故当 k 不存在时圆面积最大, S圆 = ? ,此时直线方程为 x ? ?1 . ………………12 分

4 9


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