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江苏省徐州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


2016~2017 学年度第一学期期末抽测

高二年级数学试题(理)
参考公式:柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是柱体的底面面积, h 是高.
1 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3

圆柱的侧面积公式: S ? cl ,其中 c 是圆柱的底面周长, l 是母线长. 球体的表面积公式: S ? 4?R2 ,其中 R 为球体的半径. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.命题 p : ?x ? R , sin x ? 1 的否定是 2.准线方程为 x ? ?1 的抛物线的标准方程为 3.底面半径为 1 高为 3 的圆锥的体积为 4.双曲线 . . . . .

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则实数 m 的值为 m 6

5.若直线 l1 : x ? 4 y ? 1 ? 0 与 l2 : kx ? y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k 的值为 6.函数 y ? x3 ? 3x 的单调减区间是 . 条.

7.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,与 AB 异面且垂直的棱共有

? 8.已知函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x ,则 f ?( ) 的值为 3
9.“ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”成立的



条件.(填“充分不必要”、“必

要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”) 10.若圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? t )2 ? y 2 ? 1 外切,则实 数 t 的值为 .

11.如图,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在点 (4, f (4)) 处的 切线,则 f (4) ? f ?(4) 的值等于 .

x2 y2 12.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,若椭圆上存在点 P , a b

满足 ?F1PF2 ? 120? ,则该椭圆的离心率的取值范围是



-1-

13.已知 A(3,1) , B(?4,0) , P 是椭圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 上的一点,则 PA ? PB 的最大值 25 9

14.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? 恒成立,则整数 k 最大值为

1 2 x ? 2 x ,当 x ? 2 时 k ( x ? 2) ? xf ( x) ? 2 g?( x) ? 3 2



二、解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本小题满分 14 分)在三棱锥 P ? ABC 中, AP ? AB ,平面 PAB ? 平面 ABC ,
?ABC ? 90? , D, E 分别为 PB, BC 的中点.

(1) 求证: DE ∥平面 PAC ; (2) 求证: DE ? AD .

16.(本小题满分 14 分)已知圆 C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分 别为 P(1,?2) , Q(3,4) .(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 y ? 2 x ? b 被圆 C 截得 的弦长为 2 5 ,求 b 的值.

-2-

17.(本小题满分 14 分)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? AC ? 2 ,

A1 A ? 4 ,点 D 是 BC 的中点.
(1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求直线 AB1 与平面 C1 AD 所成角的正弦值.

18.(本小题满分 16 分)某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子,瓶子是按 照统一规格设计的,瓶体上部为半球体,下部为圆柱体,并保持圆柱体的容 积为 3? .设圆柱体的底面半径为 x ,圆柱体的高为 h ,瓶体的表面积为 S . (1)写出 S 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度), 可以使表面积 S 最小,并求出最小值.

-3-

19.(本小题满分 16 分)已知二次函数 h( x) ? ax2 ? bx ? c(c ? 4) ,其导函数 y ? h?( x) 的图象如图所示,函数 f ( x) ? 8 ln x ? h( x) .(1)求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x)
1 在区间 ( m, m ? ) 上是单调增函数,求实数 m 的取 2

值范围; (3)若对任意 k ?[?1,1] , x ? (0,8] ,不等 式 (k ? 1) x ? f ( x) 恒成立,求实数 c 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)把半椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1( x ? 0) 与圆弧 ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 ( x ? 0) 2 a b

合成的曲线称作“曲圆”,其中 F (c,0) 为半椭圆的右焦点.如图, A1 , A2 , B1 , B2 分别是“曲圆”与 x 轴、 y 轴的交点,已知 ?B1 FB2 ? 积为
2? ,扇形 FB1 A1B2 的面 3

4? . (1)求 a , c 的值; (2)过点 F 且倾斜角为 ? 的直线交“曲圆”于 P, Q 3

两点,试将 ?A1PQ 的周长 L 表示为 ? 的函数; (3)在(2)的条件下,当 ?A1PQ 的周长 L 取得 最大值时,试探究 ?A1PQ 的面积是否为定值? 若是,请求出该定值;若不是,请求出面积 的取值范围.

-4-

2016~2017 学年度第一学期期末抽测 高二数学(理)参考答案与评分标准
一、填空题 1. $ x ? R,sin x 8. 0

1

2. y 2 = 4 x 10. ± 3

3. π 11.

4. 6

5. - 4

6. (- 1,1) 13. 10 +

7. 4

9.充分不必要

11 2

12. [

3 ,1) 2

2

14. 5

二、解答题 15.(1)因为 D, E 分别为 PB , BC 的中点,所以 DE∥PC ,??????????2 分 又 DE ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC ,故 DE∥平面 PAC .?????5 分 (2)因为 AP = AB, PD = DB ,所以 AD ^ PB , ????????????7 分 因为平面 PAB ^ 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC = AB , 又 BC ^ AB , BC ? 平面 ABC ,所以 BC ^ 平面 PAB ,???????10 分 因为 AD ? 平面 PAB ,所以 AD ^ BC ,??????????????11 分 又 PB ? BC = B , PB , BC ? 平面 ABC ,故 AD ^ 平面 PBC ,???13 分 因为 DE ? 平面 PBC ,所以 DE ^ AD .??????????????14 分 16.(1)由已知可知 PQ 为圆 C 的直径,故圆心 C 的坐标为 (2,1) ,???????2 分

1 PQ = 10 ,???????????????????4 分 2 所以圆 C 的方程是: ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 10 .????????????6 分
圆 C 的半径 r = (2)设圆心 C 到直线 y = 2 x + b 的距离是 d =

2? 2 1 + b 5

=

b+ 3 5

,????9 分

据题意得: d 2 + ( 5)2 = 10 ,???????????????????12 分

(b + 3) 2 + 5 = 10 ,解之得, b = 2 或 b = - 8 .??14 分 5 ??? ? ??? ? ???? 17.(1)以 {AB, AC, AA1} 为正交基底,建立空间直角坐标 B1
即 系 A - xyz ,则 B(2,0,0) , A1 (0,0, 4) , C1 (0, 2, 4) ,

A1

z C1

???? ???? ? D(1,1,0) ,所以 A1B = (2,0, - 4) , AC1 = (0,2,4) ,?3 分 ???? ???? ? ???? ???? ? A1 B ×AC1 - 16 4 cos < A1 B, AC1 > = ???? ???? =- , ? = 5 20 ? 20 A1 B AC1

4 所以异面直线 A1 B, AC1 所成角的余弦值为 .?7 分 B 5 ???? ? ???? x (2)由(1)可知 AC1 = (0,2,4) , AD = (1,1,0) , 设平面 C1 AD 的法向量为 n = ( x, y, z ) , ???? ? ì ? ì 2 y + 4z = 0 n ? AC1 0 ? ? 则可得 í ???? ,即 ? ,???9 分 í ? ? x + y = 0 n ? AD 0 ? ? ? ?
-5-

A D (第 17 题图)

C

y

取 x = 2 ,可得 y = - 2 , z = 1, 故 n = (2, - 2,1) 是平面 C1 AD 的一个法向量,?????????????11 分 而 AB1 = (2,0,4) ,设直线 AB1 与平面 C1 AD 所成的角为 q ,

???? ?

???? ? ???? ? AB1 ×n 4 5 ,??????????????13 分 sin q = cos < AB1 , n > = ???? = ? 15 AB1 n
所以直线 AB1 与平面 C1 AD 所成角的正弦值为 18.(1)据题意,可知 p x h = 3p ,得 h =
2

4 5 .?????????14 分 15

S=

1 2 ?4p x 2
'

p

3 2 x + 2 p ? x2 x

3 ,???????????????2 分 x2 p6 2 p3 + x ,> ( x ????????? 0 ) 6分 x

(注:未写出定义域的扣 1 分) (2) S = 6p x -

6p ,?????????????????????????8 分 x2

' 令 S = 0 ,得 x = ? 1 ,舍负???????????????????10 分

x
S ?( x)
S ( x)

(0,1)


1
0 极大值 9p

(1, + ? )


?

?

当 x = 1 时, S 取得极小值,且是最小值??????????????15 分 答: 当圆柱的底面半径为 1 时,可使表面积 S 取得最小值 9p .????16 分 19.(1)据题意,扇形的半径即为 a ,所以 πa 2 =

1 3

4 π, 3

B2

y

cos60 = 1 .?2 分 解得 a = 2 , c = OF = B1F 装

Q O F A2 x

π (2)不妨取 Q 在 x 轴上方,当 q ? (0, ) 时,取 3
A1 P 的中点 M ,连结 MF , A1 (- 1,0) 为
椭圆的左焦点, L = A1Q + FQ + FP + A1P

A1

M P

q q B1 = ( A1Q + FQ) + FP + 2 A1M = 2a + a + 2a sin = 6 + 4sin ,?????4 分 2 2 (第 19 题图) π 2π 当 q ? [ , ] 时, L = A1Q + FQ + FP + A1P = 2a + 2a = 8 ,??????6 分 3 3 2π π- q 当 q ? ( , π) 时, L = A1Q + FQ + FP + A1P = 2a + a + 2a sin 3 2 q = 6 + 4cos ,???????????????8 分 2

-6-

ì q π ? ? 6 + 4sin , q ? (0, ), ? ? 2 3 ? ? ? π 2π 所以 L(q) = ? ???????????????9 分 í 8, q ? [ , ], ? 3 3 ? ? ? q 2π ? 6 + 4cos , q ? ( , π). ? ? 2 3 ? ?
(3) △A1PQ 的面积不是定值. 由(2)可知,当且仅当 q ? [ , 此时 P, Q 均在半椭圆

π 2π ] 时, L 取得最大值 8 , 3 3

x2 y 2 + = 1( x ≥ 0) 上, 4 3 3 3 ≤m≤ ) , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 设 PQ 的方程为 x = my + 1(3 3 ì x = my + 1, ? ? ? 联立 í x 2 ,消去 x 并整理得, (4 + 3m2 ) y 2 + 6my - 9 = 0 ,???11 分 y2 ? + =1 ? ? 3 ? ? 4 6m - 9 , y1 y2 = , D = 36m2 + 36(4 + 3m2 ) > 0 , y1 + y2 = 2 4 + 3m 4 + 3m 2 36(4m2 + 4) 144(m2 + 1) 2 y1 - y2 = ( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 = = (4 + 3m2 ) 2 9(m2 + 1) 2 + 6(m2 + 1) + 1
,???????????????13 分 1 9(m + 1) + 2 +6 m +1 1 4 4 令 m2 + 1 = t ,则 t ? [1, ] ,记 g (t ) = 9t + , t ? [1, ] , t 3 3 1 4 ' g (t ) = 9 - 2 > 0 ,所以 g (t ) 在 t ? [1, ] 上单调增且恒正, t 3 12 144 2 故 m 2 = 0 时, y1 - y2 取得最大值 ,所以 y1 - y2 max = = 3, 4 16 8 3 1 576 2 当 m2 = 时, y1 - y2 取得最小值 ,所以 y1 - y2 min = , 5 3 75 1 8 3 | A1 F | | y1 - y2 |? [ ,3] .?????????????16 分 故 SD A1PQ = 鬃 2 5 20.(1) h '( x) = 2ax + b ,由 h '(5) = 0, h '(0) = - 10 , 解得 a = 1, b = - 10 .???????????????????????2 分 8 2( x - 1)( x - 4) (2) f ( x) = 8ln x + x2 - 10 x + c ,则 f '( x) = + 2 x - 10 = , x x 令 f '( x) = 0 ,得 x = 1 或 x = 4 ,列表如下:?????????????3 分 (0,1) 1 (1, 4) 4 (4, + ? ) x f '( x ) + + 0 0 f ( x) ↗ ↘ ↗
2

=

144

????????????????????????????????5 分 因 f ( x) 在区间 (m, m +

1 ) 是单调增函数, 2

-7-

所以 (m, m +

ì 0 ≤ m, ? ? 所以 ? 或 m≥ 4 , í 1 ? m + ≤1 ? ? 2 ?

1 1 ) ? (0,1) 或 (m, m + ) ? (4, ? ) ,???????????6 分 2 2

1 2 (3)由 (k + 1) x ≥ f ( x) 在 x ? (0,8] 恒成立, 8ln x c 整理得 k ≥ + x - 11 + 对任意 k ? [ 1,1] 恒成立, x x 8ln x c 所以应有 - 1≥ + x - 11 + 恒成立, x x 即 c ≤ - 8ln x - x 2 + 10 x 对 x ? (0,8] 恒成立.????????????10 分
所以实数 m 的取值范围为 [0, ] ? [4, + ? ) .?????????????8 分 设 g ( x) = - 8ln x - x2 + 10x, x ? (0,8] , 则 g '( x) = -

8 2( x - 1)( x - 4) , - 2x + 10 = x 4

令 g '( x) = 0 ,得 x = 1 或 x = 4 ,列表如下:

x g '( x ) g ( x)

(0,1)

1
0 极小值 g (1)

(1, 4)

4
0 极大值 g (4)

(4,8)

8 0 16 - 8ln 8

-



+ ↗

-



???????????????????????????????12 分

g (1) - g (8) = 9 - 16 + 8ln8 = 8ln8 - 7 > 8ln8 - 8 = 8(ln8 - 1) > 0 ,
所以 g ( x) 在 x ? (0,8] 的最小值为 g (8) = 16 - 8ln8 ,又 c < 4 ,

16 - 8ln8 - 4 = 12 - 8ln8 < 12 - 8ln e2 = 12 - 16 < 0 ,
所以实数 c 的取值范围是 (- ? ,16

8ln8] .?????????????16 分

-8-


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