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内蒙古包头三十三中2014届高三数学上学期期中试题2 理 新人教B版


包头市第三十三中学 2013-2014 学年度第一学期试卷 高三年级期中(Ⅱ)理科数学

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确
答案的序号填涂在答题卡上) 1.复数 z 满足 z(1? ? 所对应的点在( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

i)? ? 1? ?

2i ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内

2.设全集 U=R, A ? {x |2x (x -2) <1},B={x|y=ln(1-x)}, 则右图中阴影部分 .. 表示的集合为 ( A. {x|x ? 1} ) B. {x|1 ? x ? 2} C. {x|0<x ? 1} D. {x|x ? 1}

3. 已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3
?( x )

D.4 的图象如图所示,

4. 定义在 R 上的可导函数 f ( x ) ,已知 y ? e f 则 y ? f ( x) 的增区间是( ) A. (??,1) B. (??, 2) C. (0,1)

D. (1, 2) )

5. 已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ?
?10 A. ?6 1 ? 3

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于( 3

?

?

B。

1 ?1 ? 3?10 ? 9

?10 C. 3 1 ? 3

?

?

?10 D. 3 1+3

?

?
( )

6. 若等差数列 ?an ? 满足 a2 ? S3 ? 4 , a3 ? S5 ? 12 ,则 a4 ? S7 的值是 A.20 B.24 C. 36 D.72

7. △ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | , 则 CA ? CB 等于 ( )

??? ??? ???? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

1

A.

3 2

B. 3

C.

3

D. 2 3

8. 若函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x, x ? R, 又 f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0, 且 | ? ? ? | 的最 小值为

3? , 则正数 ? 的值为( ) 4
B.

A.

1 3

2 3

C.

4 3

D.

3 2


9.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( A. 2 5 B. 29 C. 4 2 D. 13

10.已知各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2 a5,若存在两项 am , an 使得

am an ? 4a1 , 则
A.

3 2

1 4 ? 的最小值为 ( ) m n 5 9 B. C. 3 4

D.9

?x ? 0 y ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( ) x ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ? 2,6? C. ?3,10? D. ?3,11?

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 12. 已知函数 f ( x) ? ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( ) ?ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0]

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的横线上) 13.已知向量 a ? (2,1), a ? b ? 10, a ? b ? 5 2 ,则 b ? _
x

?

? ?

?

?

?

_. .

14.曲线 f ( x) ? e 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点 P(1,0) ,则 x0 ?

3 15.已知函数 f ( x) ? x ? 3x 对任意的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立,则

x?

.

16. 下列几个命题: 不等式 ①

3 ? x ? 1 的解集为 {x | x ? ?2, 或x ? 2}; 已知 a, b ② x ?1

2

均为正数,且

1 4 ? ? 1 ,则 a ? b 的最小值为 9;③ 已知 m 2 ? n 2 ? 4, x 2 ? y 2 ? 9 , a b 13 x y ; 已知 x, y 均为正数, x ? 3 y ? 2 ? 0 , 3 ? 27 ? 1 ④ 且 则 2
. (以序号作答)

则 mx ? ny 的最大值为

的最小值为 7;其中正确的有 三.解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)

17. (本题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a2 2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比 数列,求 ?an ? 的通项式.

18. (本题满分 12 分) 已知 A、B 分别在射线 CM 、CN(不含端点 C ) 上运动, ?MCN ?

M A

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 3
θ N B C

a、b 、c.
(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值.

19. (本题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 .. 入成本为 C (x) ,当年产量不足 80 千件时, C ( x ) ? 80 千件时, C ( x) ? 51x ?

1 2 x ? 10 x (万元).当年产量不小于 3

10000 ? 1450 (万元).每件商品售价为 500 元.通过市场分析,该 .. x

厂生产的商品能全 部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

20. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1

E CC 中, A1 B1 ? A1C1 , D , 分别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同于点

3

C ),且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点. F
求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

21. (本题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和1 的等差中项,等差数 列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? . 3 2 bn bn ?1

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln x(a ? 1) (1)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (2)若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的 取值范围. 包头市第三十三中学 2013-2014 学年度第一学期试卷 高三年级期中(Ⅱ)理科数学参考答案 BCBBA AD 14:2; 15: (?2, )

一、CBBAC 二、13 :5 三、 17.

2 3

16: ②④

18. 解(Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

4

2 1 ? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又? ?MCN ? ? , cos C ? ? , 3 2

a 2 ? b2 ? c2 1 ?? , ? 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2 2

1 ?? , 2
…………6

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 , 解得 c ? 7 或 c ? 2 .又? c ? 4 , c ? 7 . ? 分 ( Ⅱ ) 在

?ABC





A C ? s ?A n B i

C?

B C ? s iB n A ?

C



A s

B iA n C

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2? ? ? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ,………10 分 2 3? ? ?2 ?
又? ?? ? 0,

? ?

? ? 2? ?? ? ,? 3 ? ? ? 3 ? 3 , 3?
?
2
即? ?

?当 ? ?
19.

?
3

?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . ……………………12 分 6

5

为 1000 万元.

--------------------12 分

20. 证明:(1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC . 又∵ AD? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD .

CC 又∵ AD ? DE , 1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平面 BCC1 B1 .
又∵ AD? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 . (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 . 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F .

B 又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 .
由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD . 又∵ AD? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE

21. (1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn ? 2an ? 1

6

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , ∴ an ? 2an?1 ,即

an ?2 an ?1

3分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 (2) cn ? ∴ Tn ? 6分 5分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

7分

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
*

9分

∵ n ? N ,∴ Tn ?

1? 1 ? 1 ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2

10 分

Tn ? Tn?1 ?

n n ?1 1 ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
∴ Tn ? T1 ?

∴数列 {Tn } 是一个递增数列 综上所述,

1 . 3

1 1 ? Tn ? 3 2

22. 解:⑴ f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a .

f '' ( x) ? 2 ? a x ? ln 2 a ? 0 ,所以 f ' ( x) 在 R 上是增函数, …………………………2 分
又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .………………………………………………6 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.
7

又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)

0 0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

极小值

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上 是增函数,解得 a ≥ e ; 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。12 分

1 a

8


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