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河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学文试题(解析PDF版)


2016 年郑州市高三第二 次质量检测(文科)
-----郑州新东方严心 一.选择题: 1.已知集合 A ? {x | x ? 4}, B ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 0} ,则 CR A A. (4, ??) B. [0, ]

B=
1 2
D. (1, 4]

1 2

C. ( , 4]

解析:本题考察集合的运算,温馨提示注意集合的运算顺序,答案:B 2.命题 " ?x0 ? 0, 使得 x0 ? 0" 的否定是
2

A. ?x ? 0, x 2 ? 0

B. ?x ? 0, x 2 ? 0

C. ?x0 ? 0, x0 ? 0
2

D. ?x0 ? 0, x0 ? 0
2

解析: 本题考察简易逻辑中命题的否定形式, 这里大家要注意, 在涉及全称量词和存在量词的时候, 做它们的否定, 需要把它们互换,然后否定结论,答案 A. 3.定义运算

a, b c, d

? ad ? bc ,则符合条件

z,1 ? i 2,1

? 0 的复数 z 对应的点在
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

B.第二象限

解析:本题考察复数的运算,以及复数相等的概念:

z,1 ? i 2,1

? 0 即 z ? 2(1 ? i) ? 0

所以 z ? 2 ? 2i ,点为 (2, 2) ,所以在第一象限,答案:A 4.设 ? 为第四象限的角, cos ? ? A.

7 25

4 , 则 sin 2? ? 5 24 B. 25

C. ?

7 25

D. ?

24 25

解析:本题考察三角函数的符号判断,同角的三角函数关系以及二倍角公式 ,

4 3 , cos ? ? , 且 ? 为 第 四 象 限 的 角 , 所 以 sin ? ? ? 5 5 24 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? ,答案 D 25
5.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.2014 C.2016 B.2015 D.2017

解析:程序框图属于常考题型,答案:D 6.经过点 (2,1) ,且渐近线与圆 x ? ( y ? 2) ? 1 相切的双曲线的标准方程为
2 2

A.

解 析 : 本题考 察圆锥曲线的基本知识,由于题目中并没有给双曲线的焦点位置,所以此题如果用常规解法必然会浪费很多时间, 所以选择带值法:首先带点验证只有 A,B 满足过点 (2,1) ,然后画图做出切线,发现切线斜率为 k ? 答案:A

x2 y 2 ? ?1 11 11 3

B.

x2 ? y2 ? 1 2

C.

y 2 x2 ? ?1 11 11 3

D.

y 2 x2 ? ?1 11 11 3

3 ,故排除 B. 3

? y ? 1, ? 7.平面内满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, 的点 ( x, y) 形成的区域为 M,区域 M 关于直线 2 x ? y ? 0 的对称区域为 M ' ,则 ? x ? y ? 8, ?
区域 M 与区域 M ' 内最近的两点的距离为 A.

3 5 5

B.

4 5 5

C.

5 5 5

D.

6 5 5

解析:此题考察线性规划的知识,如图可知,阴影区域中点(1,1)距离直线最近,由点到直线的距离公式解得距 离为

3 5 ,由于对称关系所以答案 D. 5

8.将函数 f ( x) ? ? cos 2 x 的图像向右平移 函数 g ( x) 具有性质: A.最大值为 1,图像关于直线 x ? B.在 (0,

? 个单位后得到函数 g ( x) , 则 4

?
2

对称

) 上单调递减,为奇函数 4 3? ? C.在 (? , ) 上单调递增,为偶函数 8 8
D.周期为 ? ,图像关于点 (

?

?

8

, 0) 对称

解析:本题考察三角函数的平移变换以及三角函数性质:平移后的函数为

g ( x) ? ? cos 2( x ? ) ? ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x .答案:B 4 2
9.如图是正三棱锥 V-ABC 的正视图,侧视图和俯视图,则其侧视图的面积是 A.4 C.6 B.5 D.7

?

?

解 析 : 此 题 直 观 图 如 右 图 所 示 , 其 中 AC ? AB ? AD ? 4 ,

DE ? BC ? CD ? 2 3 ,作 BD 中点 E,连接 CE,作 A 点关于平面 BCD 的
垂线交 CE 于 F,由于是正三棱锥,所以 F 点为重心,所以 CF ? 2FE , 求 得 CF ? 2 , 由 勾 股 定 理 知 高 为 2 3 , 所 以 侧 面 面 积 为

1 ?2 3?2 3 ? 6 2
答案 C

10. 已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? log 1 x ,则方程
2

f ( x) ? 1 ? 0 在 (0, 6) 内的零点之和为
A.8 B.10 C.12 D.16

解析;题目条件可以画出函数图像,如图所示: 答案:C 11.设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 3, 且 2nan ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ,则 a20 的值是

A. 4

1 5

B. 4

2 5

C. 4

3 5

D4

4 5

解 析 : 本 题 考 察 学 生 的 观 察 推 理 能 力 : 由 2nan ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 , 变 形 可 得

nan ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ,设数列 bn ? nan ,则数列 bn 是以 b1 ? a1 ? 1 为首项, 2a2 ? a1 ? 5 ? d 为公差
的等差数列,所以 b20 ? b1 ? 19d ? 20a20 ,解得 a20 ? 答案:D 12.对 ?a ? R, n ?[0, 2], 向量 c ? (2n ? 3cos a, n ? 3sin a) 的长度不超过 6 的概率为

24 5

5 2 5 3 5 2 5 10 10 10 5
A.

5 10

B.

2 5 10

C.

3 5 10

D

2 5 5

解 析 : 该 向 量 的 模 为

c ? (2n ? 3cos a)2 ? (n ? 3sin a) 2

=

5n2 ? 6(2cos a ? sin a)n ? 9 =

5n2 ? 6 5n sin(a ? ? ) ? 9 ? 6 , 分 别 取 6 5n sin(a ? ? ) 的 最 大 值 6 5n 和 最 小 值 ?6 5n sin , 有 解 得

3 5 3 5 3 5 答案:C n ? [0, ] ,所以概率 p ? 5 ? 2 10 5
二.填空题 13.曲线 f ( x) ? x 3 ? x ? 3 在点 P(1,3) 处的切线方程是________. 解析:函数 f ( x) 求导可得 f '( x) ? 3x 2 ? 1 ,所以 k ? f (1) ? 2 ,由点斜式化简可得该切线方程为: y ? 2 x ? 1. 14.已知 ?an ? 为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,则 a1 =________. 解析:设 an ? a1 ? (n ? 1)d ,所以 a5 ? a3 a11 即 (a1 ? 4) ? (a1 ? 2)(a1 ? 10) ,解得 a1 =-1
2
2

15.已知正数 x, y 满足 x 2 ? 2 xy ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最小值是________. 解析:因为 x 2 ? 2 xy ? 3 ? 0, 所以 y ?

3 ? x2 3x 2 ? 3 3 3 ? x? ,所以 2 x ? y = 2x 2x 2 2x

?2

3 3 x? ?3. 2 2x

16.在正三棱锥 P-ABC 内,有一个半球,其底面与三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的 半径为 2,则正三棱锥的体积最小时,其高等于________. 解析: 如图: O 是正三棱锥底面中心, 也是半球球心, CD 是正三棱柱底面的高, 侧面 PAB 与半球相切于点 E, OE⊥PD, OE=2 , VO=h , 设 ∠PDO ? ? (? ? (0,90 )) , 所 以 h ?

2 : 设正三棱锥底面三角形的边长为 a,则 cos ?

OD ?

3 2 a? 6 sin ?

, 即 a?

4 3 sin ?

, 所 以 正 三 棱 锥 的 体 积 为 V ?

8 3 sin ? cos ?
2

, 由

1 sin 4 ? cos 2 ? ? [sin 2 ? sin 2 ? (2cos 2 ? )] ? 2

1 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? 4 2 3 2 ( )? ,所以 sin ? cos ? ? ,那么 2 3 27 9
V? 8 3 3 即 cos ? ? ,上 ? 36 ,当且仅当 sin 2 ? ? 2cos2 ?, sin ? cos ? 3
2

式取等号,即体积取最小值,相应的 h ?

2 ?2 3. cos ?

三.解答题: 17.在 ?ABC 中,角 ABC 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2C ? cos 2 A ? 2sin( (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 且 b ? a, 求 2b ? c 的取值范围;

?

? C )sin( ? C ) . 3 3

?

3 1 2 ? 2 2 2 解: (1)由已知得 2sin A ? 2sin C ? 2 ? ? cos C ? sin C ? ,………2 分 4 ?4 ?
化简得 sin A ? (2)由正弦定理

? 2? 3 ,故 A ? 或 .………………………………5 分 3 3 2

b c a ? ? ? 2 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,…7 分 sin B sin C sin A ? 2? ? ? ? 因为 b ? a ,所以 ? B ? , ? B ? ? ,………9 分 3 3 6 6 2 2? 故 2b ? c ? 4sin B ? 2sin C ? 4sin B ? 2sin( ? B) = 3sin B ? 3 cos B 3 ? 2 3 sin( B ? ). 6
所以 2b ? c ? 2 3 sin( B ?

?

……………………………11 分

?
6

) ?[ 3, 2 3) . ………12 分

18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了 50 人,他们年龄的 频数分布及支持“生育二胎”人数如下表; 年龄 频数 支持“生育二胎” [5,15) 5 4 [15,25) 10 5 [25,35) 15 12 [35,45) 10 8 [45,55) 5 2 [55,65) 5 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策 的支持度有差异:

年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合计 a= b=

年龄低于 45 岁的人数 c= d=

合计

(Ⅱ)若对年龄在 [5,15) 被调查人中随机选取两人进行调查,恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少? 参考数据: 解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计 年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50 ……………………………2 分

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 K ? ? 6.27 < 6.635 ………………4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11?? 3 ? 29 ?? 7 ? 11?
2

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ………………5 分 (Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的 4 人分别为 a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为 M, ………………6 分 则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (a, M), (b,c),

(b,d),(b, M), (c, d), (c, M),(d, M).…………8 分 设“恰好这两人都支持“生育二胎” ”为事件 A,………………9 分 则事件 A 所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c, d), ∴ P ? A? ?

6 3 ? . ………………11 分 10 5

所以对年龄在 [5,15) 的被调查人中随机选取两人进行调查时 , 恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为

3 .………………12 分 5

19.如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD,AD=DC=CB=1, ?BCD ? 120 ,四边形 BFED 为矩形,平面 BFED⊥平面 ABCD,BF=1. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 BFED; (Ⅱ)已知点 P 在线段 EF 上,且 解:(1)在梯形 ABCD 中, ∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1, ?BCD ? 120o , ∴ AB ? 2. ∴

EP ? 2 ,求三棱锥 E-APD 的体积. PF

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60o ? 3. …………………2 分
∴ AB 2 ? AD2 ? BD2 , ∴ AD ? BD. ∵平面 BFED ? 平面 ABCD,

平面 BFED ? 平面 ABCD ? BD, DE ? 平面BEFD , DE ? DB, ∴ DE ? 平面ABCD, …………………4 分 …………………6 分

∴ DE ? AD, 又 DE ? BD ? D, ∴ AD ? 平面BFED. (2) VE ? APD ? VA? DEP ?

1 3 AD S? EPD ? 3 9
EP ? 2 ,所以 S? EPD:S?PDB ? 2 :1 PF

由(1)知 AD⊥ 面 BFED,所以 AD 为棱锥 A-PED 的高,又 且 S? EPD +S?PDB ? 所以 S? EPD ?

1 2 2 2 S ,由余弦定理 BD ? DC ? CB ? 2DC CB cos ?DCB ,所以 BD ? 3 , 2 矩形BFED

3 1 3 ,则 VE ? APD ? VA? DEP ? AD S? EPD ? . 3 9 3

20.已知曲线 C 的方程是 mx 2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0), 且曲线过 A( (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

2 2 6 3 , ) , B( , ) 两点,O 为坐标原点. 4 2 6 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是曲线 C 上两点,向量 p ? ( mx1 , n y1 ), q ? ( mx2 , n y2 ), 且 p q ? 0 ,若直线 MN 过 ? 0,

? ? ?

3? ? ,求直线 MN 的斜率. 2 ? ?

1 ?1 m ? n ?1 ? ?8 2 解: (1)由题可得: ? ,解得 m ? 4, n ? 1. 1 1 ? m ? n ?1 ? 3 ?6
所以曲线 C 方程为 y2 ? 4x 2 ? 1. (2)设直线 MN 的方程为 y ? kx ? ........4 分

3 ,代入椭圆方程为 y 2 ? 4 x 2 ? 1 得: 2

(k 2 ? 4) x 2 ? 3kx ?

∴ p ? q ? (2 x1 , y1 ) ? (2 x2 , y2 ) = 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

u r r

1 1 ? ? 3k ? 0. ∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 4 , …………6 分 4 k ?4 k ?4
…………8 分

1 3 ? k2 k ? (? 3k ) ?1 3 4 2 ∴ 2 ? 2 ? ? ?0 2 k ?4 k ?4 k ?4 4
即 k ? 2 ? 0, k ? ? 2 ................12 分
2

…………10 分

ex 21.已知函数 f ( x) ? , x?m
(Ⅰ)讨论函数 y ? f ( x) 在 x ? (m, ??) 上的单调性; (Ⅱ)若 m ? (0, ) ,则当 x ?[m, m ? 1] 时,函数 y ? f ( x) 的图像总在函数 g ( x) ? x ? x 图像上方?请写出判断
2

1 2

过程.

e x ( x ? m) ? e x e x ( x ? m ? 1) ? , 解: (1) f ( x) ? ( x ? m)2 ( x ? m) 2
'

当x ? (m, m ? 1)时,f ' ( x) ? 0 , 当x ? (m ? 1, ??)时,f ' ( x) ? 0 ,
所以 f ( x)在(m,m+1)上单调递减,在(m+1,+?)上单调递增..…………4 分
m?1 (2)由(1)知 f ( x)在(m,m+1)上单调递减, 所以其最小值为 f (m ? 1) ? e .

因为 m ? (0, ] , g ( x) 在 x ?[m, m ? 1] 最大值为 (m ? 1) ? m ? 1.
2

1 2

…………6 分

所以下面判断 f (m ? 1) 与 (m ? 1)2 ? m ? 1 的大小,即判断 e 与 (1 ? x) x 的大小,其中 x ? m ? 1? ?1, ? . 2
x

? 3? ? ?

令 m( x) ? e x ? (1 ? x) x , m ' ( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,令 h( x) ? m' ( x) ,则 h' ( x) ? e x ? 2, 因 x ? m ? 1? ?1, ? 所以 h' ( x) ? e x ? 2 ? 0 , m ' ( x) 单调递增;…………8 分 2

? 3? ? ?

3 13 所以 m (1) ? e ? 3 ? 0 , m ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 故存在 x≥ ? . 2 2
'

3

'

使得 m ( x0 ) ? e
'

x0

? 2 x0 ? 1 ? 0
? ? 3? 2?

所以 m( x) 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ? 单调递增 …………10 分 所以 m( x) ? m( x0 ) ? e
x0 2 2 ? x0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 1 2

所以 x0 ? ?1, ? 时, m( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 0 2
2

? 3? ? ?

即 e x ? (1 ? x) x 也即 f (m ? 1) ? (m ? 1)2 ? m ? 1 所以函数 y ? f ( x) 的图象总在函数 g ( x) ? x 2 ? x 图象上方.……………..12 分

选修 4-1 22.如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 A 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径 的半圆 O 交于点 F,连接 BF 并延长交 CD 与点 E. (Ⅰ)求证:E 为 CD 的中点 (Ⅱ)求 EF FB 的值. ? 解: (Ⅰ)由题可知 BD 是以为 A 圆心, DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴ ED 为圆 A 的切线. 依据切割线定理得 ED2 ? EF ? EB . ………………………………2 分 ∵圆 O 以 BC 为直径,∴ EC 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EC 2 ? EF ? EB .……………………………4 分 故 EC ? ED . ∴ E 为 CD 的中点. ……………………………5 分 (Ⅱ)连结 CF ,∵ BC 为圆 O 的直径, ∴ CF ? BF ………………………………6 分

1 1 1 1 BC ? BE ? CE ? BF S?BCE ? BC ? CE ? BE ? CF 2 2 2 2 1? 2 2 5 …………………………8 分 得 CF ? ? 5 5 4 2 又在 Rt ?BCE 中,由射影定理得 EF ? FB ? CF ? . ……………………10 分 5
由 S?BCE ? 选修 4-4

23.平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1. 直线 l 经过点 P(m,0), 且倾斜角为 正半轴为极轴,建立即坐标系. (Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程 (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 PA PB ? 1, 求实数 m 的值. 23.解:(1)曲线C的普通方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,即x2 ? y 2 ? 2 x, 即 ? 2 ? 2? cos ? ,

? ,以 O 为极点,以 x 轴 6

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos? .

…………2 分

? 3 x ? m? t ? ? 2 (t为参数). 直线l的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2

…………5 分

(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x 2 ? y 2 ? 2 x中,

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m , …………8 分 由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2
…………10 分

选修 4-5 24.已知函数 f ( x) ? x ? 6 ? m ? x (m ? R) (Ⅰ)当 m ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 24.解: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? 5 即 | x ? 6 | ? | x ? 3|? 5 , ①当 x ? ?6 时,得 ?9 ? 5 ,所以 x ? ? ; ②当 ?6 ? x ? 3 时,得 x ? 6 ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? 1,所以 1 ? x ? 3 ; ③当 x ? 3 时,得 9 ? 5 ,成立,所以 x ? 3 .…………………………………4 分[来源:

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ? x | x ? 1? .…………………………………5 分[来源:学|科|网] (Ⅱ)因为 | x ? 6 | ? | m ? x |?| x ? 6 ? m ? x | = | m ? 6 | 由题 意得 m ? 6 ? 7 ,则 ?7 ? m ? 6 ? 7 ,…………8 分[ 解得 ?13 ? m ? 1 , 故 m 的取值范围是 [?13,1] .……………………………………………10 分


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