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2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学(文科)试卷及答案


2015 年辽宁重点中学协作体高考模拟考试 数学(文科)试卷
命题学校:大连第二十四中学 命题人:孙允禄 校对人:徐艳娟

第I卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) A. {x | 0 ? x ? 2} 2. 如果复数 B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2}

B=

(

)

D. {x | 0 ? x ? 2} )

A. 0 3.已知平面 α 及空间中的任意一条直线 l,那么在平面 α 内一定存在直线 b 使得( A. l //b B. l 与 b 相交 C. l 与 b 是异面直线 D. l⊥b 4. 函数 f ( x) ? sin(2x ? 的对称轴方程为( A. x ?

2 ? bi (b? R , 的实部和虚部互为相反数, 则 b 的值等于 ( i 为虚数单位) 1? i B. 1 C. 2 D. 3



?
3

) 所对应的图象向左平移

? 个单位后的图象与 y 轴距离最近 4

) B. x ? ?

?
3

?
6

C. x ? ?

?
24

D. x ?

11? 24


5.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 120° , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b ? ( A. 2 B.2 3 C.4
2

D.12

6.若对任意正数 x ,不等式 则实数 a 的最小值为( A. 1 B. 2 C. )

1 a ? 恒成立, x ?1 x

3 4

1 2

D.

2 2

主视图

侧视图

7.某几何体的三视图如图所示,此几何体 的表面积为( ) A.

2 4 2

140 ? +4 13? 3

B. 36? +2 13? D. 44? +2 13?
俯视图

C. 32? +2 13?

视图

第 7 题图

高三年级数学(文科)试卷 第 1 页 共 10 页

8.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 且 an ? an?1 ? an an?1 (n ? N ? ) ,则 a2015 ? ( A.



1 2014

B.

2014 2015

C.

2014 2015

D.

1 2015

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x ? ), f (2015) ? 2, 则 f (?2) ? f (?3) = ( ) A. ?1 C. ?2

3 2

B. 1

D. 2

10.下列四个命题: ① 样本相关系数 r 满足: r ? 1 ,而且 r 越接近于 1 ,线性相关关系越强; ② 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线; ③ 命题“已知 x, y ? R, 若x ? y ? 3, 则x ? 2或y ? 1 ”是真命题; ④ 已知点 A(?1,0), B(1,0), 若 PA ? PB ? 2 ,则动点 P 的轨迹为双曲线的一支。 其中正确命题的个数为( A.1 B. 2 ) C. 3 D. 4

11. 已知椭圆 抛物线 y ?
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c(c ? 0) ,左焦点为 F ,右顶点为 A , a 2 b2

15 (a ? c ) x 与椭圆交于 B, C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心 8
) B.

率是( A.

8 15

4 15

C.

1 2

D.

2 3
*

2 12. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2(2a ?1) x ? 4a ? 7 其中 a ? N ,设 x0 为 f ( x) 的一个零点,若

x0 ? Z ,则符合条件的 a 的值有 (
A.1 个 B.2 个

) D.无数个

C.3 个

高三年级数学(文科)试卷 第 2 页 共 10 页

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
3 2 13. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 在

x?

时取得极小值

14. 设数列 {an } 为等比数列,其中 a4 ? 2 , a5 ? 5 ,阅读如图所示的程序框图,运行相应 的程序,则输出结果 s 为
开始



s ? 0, n ? 1

s ? s ? lg an

n ? n ?1

n?9




输出 s

结束

?3 x ? 4 y ? 19 ? 15.将一个质点随机投放在关于 x, y 的不等式组 ? x ? 1 所构成的三角形区域内,则 ?y ?1 ?
该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是_________.

P
16.如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形, 平面 PAD ? 平面 ABCD .若 ?BPC ? 90 , PB ?

2,

D

PC ? 2 ,则四棱锥 P ? ABCD 的体积最大值为_______.
A B

C

第 16 题图

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,点 (

5? ,0) 为函数 24

f ( x) 图象的一个对称中心.
(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

A (2)在△ ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对应边,若 f ( ? ) ? 2, a ? 3 ,求 b ? c 的 2 最大值.
高三年级数学(文科)试卷 第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 12 分) 为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入 学时数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学(勤奋程度和自觉性都一 样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩. 甲 0 7732 842210 98776 8877 乙 01568 01256689 135 5789

9 8 7 6 5

(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 87 分的同学 中至少有一名被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请填写下面的 2? 2 列联表,并判断是否有

99% 把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班 优秀 不优秀 合计 乙班 合计

下面临界值表仅供参考:

P( x 2 ? k )
k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

参考公式: ? ?

n(n11n22 ? n12 n21 )2 n1? n2? n?1n?2

高三年级数学(文科)试卷 第 4 页 共 10 页

19. (本小题满分 12 分) 如图,在等腰梯形 PDCB 中, DC

PB , PB ? 3DC ? 3, PD ? 2 , DA ? PB ,垂

足为 A ,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PA ? AB ,得到四棱锥 P ? ABCD 。 (1)证明:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2)点 M 在棱 PB 上,平面 AMC 把四棱锥 P ? ABCD 分成两个几何体,当这两个几 何体的体积之比

VPM ? ACD ? 2 时,求点 B 到平面 AMC 的距离。 VM ? ABC P
M

P

A

B
A

B

D

C

D

C

20.(本小题满分 12 分) 如图所示, 曲线 C 由上半圆 C1 : ( y ? 0) 和部分抛物线 C2: ( y ? 0) y ? x2 ? 1 x2 ? y 2 ? 1 连接而成,A,B 为 C1 与 C2 的公共点 (B 在原点右侧),过 C1 上的点 D (异于点 A,B) 的切线 l 与 C2 分别相交于 M , N 两点. (1)若切线 l 与抛物线 y ? x2 ?1 在点 B 处的切线平行, 求点 D 的坐标。 (2)若点 D ( x0 , y0 ) 为动点时,求证 ?MON 恒为钝角。

y

N
D M A

O

B

x

21、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? me , e 为自然对数的底数。
x ?x

(1)若 f ( x ) 在 x ? ln 2 处的切线的斜率为 1,求实数 m 的值; (2)当 m ? 1 时,若正数 a 满足:存在 x0 ?[1, ??) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) 成立。 试比较 a e ?1 与 e a ?1 的大小,并说明理由。

高三年级数学(文科)试卷 第 5 页 共 10 页

考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应 的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不 涂,按本选考题的首题进行评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 AB 为 O 的直径, CE ? AB 于点 H ,与 O 交于点 C、D, 且AB ? 10,

CD ? 8, DE ? 4, EF与 O 切于点 F , BF与HD交于点G.
(1)证明: EF ? EG (2)求 GH 的长 A F O C H G B 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ? E

D

?x ? 2 ? t (t为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? y ? ?1 ? mt

?
4 sin ?

? 1.

(1)写出曲线 C1、C2 的直角坐标方程; (2)若曲线 C1 和 C2 有且只有一个交点,求实数 m 的值

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3 (1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (2)设 a ? ?1, 且当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围。 ? 2 2?

高三年级数学(文科)试卷 第 6 页 共 10 页

2015 年辽宁重点中学协作体高考模拟考试 数学(文科)试卷参考答案
一、选择题: BADB ACDD CBCB 二.填空题: 13. 2 14. 4 15.

1?

?
12

16.

2 6 9
( 5? , 0为 ) f(x) 的对称点 24

三、解答题: 17.解: (Ⅰ )

f ( x)的最小正周期T ? ? ?? ? 2

?2 ? ?? ?

5? ? ? ? ? ? k? ? 且0 ? ? ? 24 2 2

?

12

? f ( x) ? 2cos(2 x ?

?
12

) -------------4 分

令2k? ? ? ? 2 x ?

?
12

? 2k?

k? ?

13? ? ? x ? k? ? 24 24

13? ? ? ? k? ? ,k? ? ? k ? Z ………………………6 分 故 f(x)单调递增区间为: ? 24 24 ? ?
(Ⅱ )

A ? ? 2 f ( ? ) ? 2cos( A ? ) ? 2 ? cos( A ? ) ? 2 12 12 2 ? ? 11? ? ? ? ? ? A? ? ? A ? ? ? A ? ………………………………9 分 12 12 12 12 4 3 b?c 2 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc ?(b ? c)2 ? 9 ? 3bc ? 9 ? 3( ) 2
?b ? c ? 6

当且仅当 b ? c ? 3 时取等号

故 b ? c 的最大值为 6……………………………………12 分

18.解:18. 解: (1)记成绩为 87 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C、D、 E,“从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成 的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共 10 个, “抽到至少有一个 87 分的同学”所组成的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)一共 7 个,
高三年级数学(文科)试卷 第 7 页 共 10 页

………2 分

…………………4 分

所以所求事件的概率是 P= (2) 甲班 优秀 不优秀 合计 6 14 20

7 . 10
合计 20 20 40

…………5 分

乙班 14 6 20

…………………………7 分

?2 ?

40? (6 ? 6 ? 14?14) = 6.400 ? 6.635 20? 20? 20? 20
2

………………………………10 分 …………………12 分

因此,我们没有 99%的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 19. 解 :( 1 )

在等腰梯形 PDCB 中 , DA ? PB , ? 在 四 棱 锥 P ? A B C D

中, DA ? AB , DA ? PA , 又 PA ? AB , DC

AB ? DC ? PA, DC ? DA , ? DC ? 平面 PAD

DC ? 平面

PC D ? 平面 PAD ? 平面 PCD

……………………4 分 DA ? PA 且 PA ? AB , (2) 又 PA ? 平面 PAB ? 平面 PAB ? ? PA ? 平面 ABCD , 平面 ABCD ,过 M 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? 平面 ABCD . 依 据 题 意 , VM ? ABC ? VP ? ABCD

1 3

, 而 VP?

A

B

? C

D

1 1 S ABCD PA ? 3 2



? VM ? ABC ?

1 1 S ?ABC MN ? 3 6
2 2 ? A C2 ? B C ? AB 即 AC ? BC

又易知 AC ? BC ? 2 , AB ? 2

? S?ABC ? 1? MN ?

1 1 ,故 MN ? PA ,所以 M 是 PB 的中点. …………8 分 2 2 由 AC ? BC ,PA ? BC 得 BC ? 平面 PAC , ? BC ? PC .在直角三角形 PAB 、PBC

1 5 6 PB ? , 又 AC ? 2 , 故可求得 S?MAC ? .设 B 到平面 MAC 的 2 2 4 1 1 1 6 距离为 d ,则由 S ?MAC d ? S?ABC MN ? 得: d ? ....................12 分 3 3 6 3
中 CM ? AM ?

高三年级数学(文科)试卷 第 8 页 共 10 页

20.解: 解: (1) 设点 D 的坐标 ( a, b) , 由已知 B(1, 0) , 又 y ?= 2 x , 所以切线 l 的斜率 k = 2 ,

b 1 2 5 5 2 2 =,且 a + b = 1 ,解得 a= ,于是点 D 的坐标为 ,b = a 2 5 5 2 5 5 。 ……………………4 分 (, ) 5 5 (2)证明设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 由点 D ( x0 , y0 ) 知 切线 l 方程为 x0 x + y0 y = 1 , ì ? x0 x + y0 y = 1 由 ? ? y0 x2 x0 x - y0 - 1 = 0 , 显 然 D > 0 , 有 í 2 ? ? ? y= x - 1 x 1 x1 + x =2 - 0 , x x = 1 - 1- 2 , y0 y0

2 2 2 2 所以 x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( x1 - 1)( x2 - 1) = x1x2 + x12 x2 - ( x12 + x2 ) + 1=

x1x2 + ( x1x2 )2 - [( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] + 1 =
- 1- + (1+
-

x2 x 1 2 2 ) - ( 0 + 2 + ) + 1 = - 0 , x1 x2 = 2 y0 y0 y0 y0
0 ,从而 ?MON 为钝角。
………………12 分

1 < 0 ,由此可知 OM ?ON y0

21.解:(1) f ?( x) ? e x ? me? x ,由题意得, f ?(ln 2) ? 2 ? 则 m ? ?2 . ……………3 分 x ?x (2)当 m ? 1 时, f ?( x) ? e + e , 设 h( x) ? f ( x) ? ax3 ? 3ax ,则 h?( x) ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3a ,

m ? 1, 2

当 x ≥ 1 时 f ?( x) ? 0 ,且 3ax 2 ? 3a ? 0 ,∴h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,
3 ? 3x0 ) , ∵ 存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0

∴ 即存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 h( x0 ) ? 0 ,
1 ∴h(1) ? e ? ? 2a ? 0 ,即 a ? e
1? 1? ?e ? ? . 2? e?

……………………………………7 分

ae?1 ? ln ae?1 ? ln ea ?1 ? (e ? 1)ln a ? a ? 1, ea ?1 e ?1 e ?1? a 1? 1? ?1 ? , a ? ?e ? ? 设 m(a) ? (e ? 1) ln a ? a ? 1 ,则 m?(a) ? a a 2? e? 1? 1? 当 ? e ? ? ? a ? e ? 1 时, m?(a) ? 0 , m(a) 单调递增, 2? e? 当 a ? e ? 1 时, m?(a) ? 0 , m(a) 单调递减,
∵ln
1? 1? 1? 1? 因此 m(a) 在 a ? ? e ? ? 时至多有两个零点,而 m(1) ? m(e) ? 0 ,且 ? e ? ? ? 1 , 2? e? 2? e? 1? 1? 所以,当 ? e ? ? ? a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 ; 2? e?
高三年级数学(文科)试卷 第 9 页 共 10 页

当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 ; 当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 .……………………………………………12 分 22.解: (1)连接 AF、OE、OF 则A 、F、G、H 四点共圆 EF 是切线知 OF ? EF ?? F G E ? ?B A F ? ? E F G ……………5 分 ? E F? E G (2) OE 2 ? OH 2 ? HE 2 ? OF 2 ? EF 2 ? EF 2 ? OH 2 ? HE 2 ? OF 2 ? 32 ? 82 ? 52 ? 48 A F O C H G B E

? EF ? EG ? 4 3 ? GH ? EH ? EG ? 8 ? 4 3
23.解: (1) C1:y ? mx ? 2m ? 1

……10 分

D

C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0( y ? 0)
(2)当直线与圆相切时

……5 分

?d ?

?2 ? 2 m? 1 5 ? 2 ?m ? ? 12 m2 ? 1

当直线过(0,0)点时 ??2m ? 1 ? m ? ? 综上: m ? ?

1 2

5 1 或m ? ? 12 2

……………………10 分

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? 24.解: (1)设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ?? x ? 2, ? x ? 1 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ? 由图象可知, F ( x) ? 0 的解集 x ? (0, 2) ……………………5 分
? a 1? , ? 时, f ( x) ? 1 ? a 不等式f ( x) ? g ( x) 可化为1 ? a ? x ? 3 ? 2 2? ? a 1? ? x ? a ? 2 对 x ? ? ? , ? 恒成立, ? 2 2? a 4 ?? ? a ? 2 故 ? 1 ? a ? ……………………10 分 2 3
(2)当 x ? ? ?
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