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2011届高考数学易错点与应试技巧总结5—三角函数


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方 法: 五点法: 先取横坐标分别为 0, , ? ,

?

2

3? , 2? 的五点, 再用光滑的曲线把这五点连接起来, 2

就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 (2)值域:都是 ??1,1? ,对 y ? sin x ,当 x ? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? 时, y 取最大值

1;当

x ? 2k? ?

3? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最大 2

值 1,当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。如 (1)若函数 y ? a ? b sin(3 x ?

?
6

) 的最大值为

(2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ?

? ?

3 1 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _ 2 2 1 (答: a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; 2

, ] )的值域是____ 2 2
(答:[-1, 2]) ;

(3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____ (答:7;-5) ; (4) 函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? __________ (答:2; k? ? (5)己知 sin ? cos ? ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____, 此时 x =

?
12

(k ? Z ) ) ;

1 ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围 2
(答: [0, ] ) ;

1 2

(6)若 sin

2

? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值
(答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 )

特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?

(3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? (1)若 f ( x ) ? sin

2? 。如 |? |
? f (2003) =___
(答:0) ;

?x
3

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

4 (2) 函数 f ( x) ? cos 4 x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____

(答: ? ) ; (3) 设函数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

), 若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, 则

| x1 ? x2 | 的最小值为____
(答:2) (4) 奇偶性与对称性: 正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数, 对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? , 对 称 轴 是 直 线 x ? k? ?

?
2

? k ? Z? ; 余 弦 函 数 y ? c o s x (x?

R) 是偶函数,对称中心是

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点 2 ? ?
或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如 (1)函数 y ? sin ?

? 5? ? ? 2 x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ?
(答:偶函数) ;

3 (2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______

(答:-5) ; (3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ (答: (

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) ; 2 8 2 8

(4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。 (答: ? ? k? ? ( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x在 ? 2k? ?

?
6

( k ?Z ))

? ?

?

?? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 增 , 在 2 2?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 单调递减; y ? cos x 在 ?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减, ? 2 2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,别忘了 k ? Z ! 16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f ?

1 ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? ―相位;? ―初相; T

(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定;? 由周期确定;? 由图象上 的特殊点确定, 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 ,| ? |? _____(答: f ( x) ? 2sin(

?
2

) 的图象如图所示,则 f ( x) =

15 ? x? )) ; 2 3

(3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”——设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这 2

是作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的 图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图 象;②函数 y ?sin ? x ?? ? 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

?

,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A
倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐 标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。要特别注意,若由

y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 |
(1)函数 y ? 2sin(2 x ?

?
4

? | 个单位,如 ?

) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象?

(答: y ? 2sin(2 x ?

?

? 个单位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵坐 8 1 标缩小到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ; 2 x ? x (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 的图象向___平移____个 2 4 2
单位 (答:左; (3)将函数 y ? 2sin(2 x ?

) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 4 4

?

? ) ; 2

7? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称, 3

这样的向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量 (答:存在但不唯一,模最小的向量 a ? (?

?
6

, ?1) ) ;

(4)若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x x ? ? 0, 2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的 交点,则 k 的取值范围是 (答: [1, 2) ) ( 5 )研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将

?

?

y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间
时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。如 (1)函数 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的递减区间是______
(答: [ k? ?

5 ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ; 12 12

(2) y ? log 1 cos(
2

x ? ? ) 的递减区间是_______ 3 4
(答: [ 6k? ?

3 3? ? , 6k? ? ]( k ? Z ) ) ; 4 4
2? 对称, 3

(3)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 它的周期是 ? ,则 A、 f ( x)的图象过点 (0, )

?
2

?? ?

?
2

) 的图象关于直线 x ?

1 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3
12

C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0) D、 f ( x ) 的最大值是 A (答:C) ; (4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 x ?

? ?

??

? 给出下列结论: 3?

?
12

成轴对称;

③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 ④图像向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 12
(答:②④) ;

? 个单位得到; 3

其中正确结论是_______

(5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的 距离为

? ,那么此函数的周期是_______ 3
(答: ? )

17、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域:{x | x ? 定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一 个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对 值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值, 其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x

?
2

? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的

? cos x 的周期为
不变;

? ? 1 ? ,而 y ?| 2 sin(3x ? ) ? |, y ? | 2 sin(3x ? )? 2 |, y ?| tan x | 的周期 6 2 6 2

(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ?

? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余)切 ? 2 ?

型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对 称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? 在整个定义域上不具有单调性。如下图:

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注意 2 ? 2 ?

18. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能 忘记! 任意两角和与第三个角总互补, 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于 第三边的平方.

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定 sin A sin B sin C a b ,sin B ? ,sin C 理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2R 2R c ? ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三角 2R
(2)正弦定理: 形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三
2 2 2

2bc

角形的形状. (4)面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c)(其中 r 为三角形内切圆半径).

2

2

2

如 ? ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ? ABC 的形状(答:直角三
2 2 2 2 2

角形) 。 特别提醒: ( 1 ) 求解 三角 形 中的 问题 时, 一 定要 注 意 A ? B ? C ? ? 这 个特 殊性 :

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin

A? B C ? cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关系 2 2

的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如 (1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的

?ABC

A、 有一个解

B、有两个解 C、无解

D、不能确定 (答:C) ;

(2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答:充要) ; (3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____ (答: ?

1 ) ; 2

, c别 是 角 (4) 在 ?ABC 中 , a , b 分

A 、 B 、 C

所 对 的 边 , 若

( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =____
(答: 60 ) ; (5)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?C =____ 4 3
(答: 30 ) ;

(6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径 是_______ (答: (7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ?

2 39 ) ; 3


1 B?C 3, cos A ? , 则 cos 2 = 3 2

b 2 ? c 2 的最大值为
(答: ; (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 ? C ?

1 9 ) ; 3 2

?
6

) ;

(9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足 关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A ( 答: 45 ) . 20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其 标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。 如 (1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值
2

______ (答:

3? ) ; 4


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