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4.2.1 直线与圆的位置关系2


4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系

1.理解直线与圆的位置关系.
2.掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较,以及通过方程

组解的个数来判断直线与圆的位置关系的方法.
3.通过两种方法判断直线与圆的位置关系,进一步理解解析法 在解决几何问题时的作用.

直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离 几何特征 有两个 公共点 方程特征 方程组有两组 实数解 几何法 d<r ____ d=r ____ d>r ____ 代数法 Δ >0 Δ =0 Δ <0

有且只有
一个公共点 没有公共点

方程组有一组
实数解

方程组无
实数解

1.直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的位置关系是(

)

A.相交

B.相切

C.相离
42 ? 32

D.无法确定

【解析】选A.因为d= | 4 ? 0 ? 3 ? 0 ? 40 | =8<10=r,

所以直线与圆相交.

2.直线x-y+5=0被圆(x-1)2+(y-2)2=9所截得的弦长为( A.1 B.2 C.3 D.4
2

)

【解析】选B.因为圆心到直线的距离为d= 1 ? 2 ? 5 ? 2 2, 所以弦长l= 2 9 ? 8 =2.

3.直线x=1与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是________.

【解析】因为圆心(-1,0)到直线x=1的距离d=2>1,所以直线x=1
与圆(x+1)2+y2=1相离.

答案:相离

4.直线与圆相交,圆的半径为r,且直线到圆心的距离为5,则r与 5的大小关系为________. 【解析】因为直线与圆相交,所以d<r,即5<r. 答案:r>5

5.过圆x2+y2=1上一点P ( 1 , 3 ) 的圆的切线方程是_______. 【解析】因为kOP= 3 ,所以切线的斜率k= ? 1 ? ? 3 , 所以切线方程为 y ? 3 ? ? 3 (x ? 1 ),
2 3 2
k OP 3

2 2

即x+ 3 y-2=0. 答案:x+ 3 y-2=0

一、直线与圆的位置关系 探究1:在我们的生活中到处都蕴含着数学知识,请根据美丽的 海上日出图片,探究下列问题:

(1)从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图 形呢? 提示:直线,圆. (2)请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景. 提示:

(3)在再现过程中,你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类 ? 分类的依据是什么?

提示:直线与圆的位置关系分为相交,相切,相离.分类的依据是
直线与圆的公共点的个数.

探究2:我们已经知道直线与圆的位置关系有三种——相交、相 切、相离,请同学们观察下列图形,思考下列问题:

(1)如图①,②写出直线l与圆O的位置关系,并指出d与r的大小
关系.

提示:图①直线l与圆O相交,此时d<r.
图②直线l与圆O相切,此时d=r. (2)如图③,直线l与圆O无公共点,则d与r的关系如何? 直线l与圆O的位置关系如何? 提示:d>r,直线l与圆O相离.

(3)直线l与圆O的位置关系除了用d与r的关系来判断外还有其 他判断方法吗?
? ?Ax ? By ? C ? 0, 提示:也可用方程组 ? 解的个数来判断. 2 2 2 ? ?? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r

【探究总结】对直线与圆位置关系判断的三点说明 (1)判断直线与圆的位置关系的方法:代数法和几何法. (2)几何法比代数法要简便,一般选择几何法. (3)当已知位置关系,求参数的值时,选择代数法就是转化成方 程的根的问题;选择几何法就是解不等式的问题.

二、直线与圆的相切与相交问题 探究1:如图,在圆O上任取一点A,连接OA,过点A作直线l⊥OA,思 考以下问题:

(1)圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么关系?
提示:相等.

(2)直线l和圆O的位置有什么关系?依据是什么?
提示:相切,依据是d=r.

(3)过圆上一点P可作几条圆的切线?过圆外一点P呢?
提示:过圆上一点P可作1条圆的切线,过圆外一点P可作2条圆的 切线.

探究2:如图,直线l与圆O相交于A,B两点,结合图形思考下列问 题:

(1)若弦AB的长记为L,结合图形请写出L,d,r之间的关系式.

提示:L= 2 r 2 ? d2 .
(2)直线l与圆O相交于A,B两点,当直线l满足什么条件时,截得的

弦长|AB|最长?
提示:当直线l过圆O的圆心时,截得的弦长|AB|最长,且最长为 2r.

(3)设直线y=kx+b与圆相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).则 |AB|的长为多少? 提示:|AB|=
?
2

? x1 ? x 2 ? ? ? y1 ? y 2 ?
2

2

? x1 ? x 2 ? ? ? kx1 ? kx 2 ?
2

2

? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 | ? 1? k2

? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 .

【探究总结】 1.求圆的切线方程的两点说明 (1)过一点求圆的切线方程,首先应明确点与圆的位置关系,从 而确定切线的条数. (2)求解的方法可用代数法或几何法,一般采取几何法.

2.对直线与圆相交截得的弦长问题的三点说明 (1)当直线与圆相交时,要特别注意半径、弦心距、弦长一半构 成的直角三角形. (2)掌握弦长公式:|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|. (3)要会利用数形结合的方法解决弦的最长、最短问题.

类型一

直线与圆位置关系的判断 )

1.直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是( A.相交 B.相离 C.相切

D.不能确定

2.(2013·长沙高一检测)当m为何值时,直线y=x+m与圆x2+y2=1, (1)相交. (2)相切. (3)相离.

【解题指南】1.先求圆心到直线的距离d,然后比较d与r的大小 关系即可. 2.可先将直线y=x+m代入圆的方程,整理为关于x的一元二次方 程,然后利用判别式与0的大小关系分别求m的范围.另外,本题 也可采用几何法求解.

【自主解答】1.选C.因为圆心(1,0)到直线x+y+1=0的距离 d= 1 ? 1 ? 2,
2

又因为r= 2 ,所以d=r,所以直线与圆相切.

2.方法一:将y=x+m代入圆的方程整理得

2x2+2mx+m2-1=0,
因为Δ=4m2-8(m2-1)=-4m2+8,

所以(1)当Δ>0,即- 2 <m< 2 时,直线与圆相交.
(2)当Δ=0,即m=〒 2 时,直线与圆相切.

(3)当Δ<0,即m> 2 或m<- 2 时,直线与圆相离.

方法二:因为圆心(0,0)到直线y=x+m的距离为 d=
m 2

,半径r=1.所以(1)当d<r,即

m 2

<1,亦即- 2 <m

< 2 时,直线与圆相交. (2)当d=r,即 m =1,亦即m=〒 2 时,直线与圆相切.
2 (3)当d>r,即 m >1,m> 2 或m<- 2 时,直线与圆相离. 2

【规律总结】直线与圆的位置关系判断的两种基本方法

(1)几何法:
①把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径;

②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,并将此距离
与圆的半径作比较; ③作判断:当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当 d<r时,直线与圆相交.

(2)代数法: ①把直线方程与圆的方程联立成方程组; ②利用消元法,得到一元二次方程; ③求出其Δ的值,比较Δ与0的大小,得出结论.

【变式训练】
对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是 ( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 )

【解析】选C.对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率 存在.因为(0,1)在圆x2+y2=2内,所以对任意的实数k,直线 y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心,故 选C.

类型二

直线与圆相切问题 ) D.无解

1.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m为( A.0或2 B.2 C. 2

2.求与直线y=x+2平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方 程.

【解题指南】1.利用圆心C到直线x+y+m=0的距离等于半径,即
可求出m的值.

2.可根据切线与直线y=x+2平行,先设出切线方程,然后根据圆
心到切线的距离等于半径,求出切线的截距.

【自主解答】1.选B.由题意得 m ? m, 即m=2.
2

2.设直线的方程为y=x+m,即x-y+m=0. (x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2,3),半径为2 2 . 由 2 ? 3 ? m ? 2 2, 得m=5或m=-3,
2

所以直线的方程为y=x+5或y=x-3.

【延伸探究】若将题2中条件“与直线y=x+2平行”换为“与直

线y=x+2垂直”,其他条件不变,结论又如何呢?
【解析】设所求切线的方程为y=-x+m,即x+y-m=0,

由 2 ? 3 ? m ? 2 2, 得m=1或m=9,
所以切线方程为y=-x+1或y=-x+9.
2

【规律总结】圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法:设出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径 ,

求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独
验证,若符合题意则直接写出切线方程.

(2)代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0
求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的 两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出切线的方程.

提醒:过一点求圆的切线方程,一定要判断该点是在圆上还是在

圆外,在圆上只有一条切线方程,在圆外有两条切线方程.

【拓展延伸】过圆上一点P(x0,y0)的切线方程 (1)当点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,切线方程为x0x+y0y=r2. (2)若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

类型三

直线与圆相交截得的弦长问题

1.(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被 圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________. 2.如果直线x+y+2a=0和圆x2+y2=4相交于A,B两点,且弦长|AB| =2 2 ,则a=________.

3.(2013·长春高一检测)设△ABC顶点坐标A(0,1),B(C( 3 ,0),圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的标准方程.

,0), 3

(2)直线l过点(1,3)且与圆M相交于P,Q,弦PQ长为2 3 ,求直线l 的方程.

【解题指南】1.通过弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角

形,即用几何法求解.
2.直接利用弦长公式l=2 r 2 ? d 2 ,即可求出a的值.

3.(1)可先设圆的一般方程,然后利用待定系数法求出圆的一般
方程,再化为标准方程. (2)讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况,分别求直线l的方 程.

【自主解答】1.圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心坐标为(2,-1),半 径为r=2, 圆心到直线x+2y-3=0的距离 d ?
5
2 ? 2 ? ?- 1?-3 5 ? 3 , 5

所求弦长为 2 r 2-d 2 ? 2 4-9 ? 2 55 .
5

答案:2 55
5

2.因为圆心(0,0)到直线x+y+2a=0的距离为
d? 2a 2 ? 2 a , 又因为r=2,L= 2 2,

所以L= 2 r 2 ? d2 ,即 2 2 ? 2? 4 ? 2a 2 , 所以a=〒1.
答案:〒1

3.(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

因为圆M过点A(0,1),B(- 3 ,0),C( 3 ,0),
?1 ? E ? F ? 0, 所以 ? ?3 ? 3D ? F ? 0, ? ?3 ? 3D ? F ? 0,

?D ? 0, 解得 ?E ? 2, ? ?F ? ?3, ?

所以圆M的方程为x2+y2+2y-3=0即x2+(y+1)2=4.

(2)若直线l与x轴垂直,则l:x=1.
? x ? 1, ? x ? 1, 由? 2 2 得 ? ? y ? ?1 ? 3, ? x ? y ? 2y ? 3 ? 0 所以|PQ|= 2 3 ,符合题意.

若直线l与x轴不垂直,设l:y=k(x-1)+3即kx-y-k+3=0, 点M(0,-1)到l的距离 d ?
2 2

4?k k ?1
2

,

(4 ? k) 2 PQ ? 2 r ? d ? 2 4 ? 2 ? 2 3, k ?1 15 9 解得k= 15 .此时l的方程为 y ? x ? . 8 8 8 综上所述,直线l的方程是x=1或 y ? 15 x ? 9 . 8 8

【规律总结】求圆的弦长的两种方法
(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l ,弦心距d和圆的半径r
2

构成直角三角形,即 r 2 ? ( l ) 2 ? d 2 .
2

所以弦长l=2 r 2 ? d2 .
?ax ? by ? c ? 0, (2)代数法:解方程组 ? 2 2 2 (x ? x ) ? (y ? y ) ? r , 0 0 ?

消元后可得关于x1+x2,x1x2,或y1+y2,y1y2的关系式. 则|AB|= (1 ? k 2[ ) (x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2]
? (1 ? 1 2 [ ) y ? y ? 4y1y 2] . ? ? 1 2 2 k

【变式训练】 (2014·淮北高一检测)已知圆C的方程:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)求m的取值范围. (2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|= 4 5 ,
5

求m的值. (3)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON (O为坐标原点),求m的值.

【解析】(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m, 因为此方程表示圆, 所以5-m>0,即m<5.

(2)圆的方程化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,圆心C(1,2), 半径r=
5?m ,

则圆心C(1,2)到直线l:x+2y-4=0的距离为
1 , 2 2 5 1 ?2 1 由于|MN|= 4 ,则 1 |MN|= 2 ,有r2=d2+( |MN|)2, 2 2 5 5 所以 5 ? m ? ( 1 )2 ? ( 2 )2,得m=4. 5 5

d=

1? 2? 2 ? 4

?

? x 2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? m ? 0, (3) ? ? x ? 2y ? 4 ? 0

消去x得(4-2y)2+y2-2〓(4-2y)-4y+m=0, 化简得5y2-16y+m+8=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则
16 ? y ? y ? ,① 1 2 ? ? 5 ? ? y y ? m ? 8 ,② 1 2 ? 5 ?

由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0, 即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, 所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得 16-8〓 16 +5〓 m ? 8 =0, 解之得m= 8 .
5 5 5

【拓展类型】与弦长有关的最值问题 1.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4 =0(m∈R). (1)证明不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点. (2)求直线被圆C截得的弦长最短时l的方程. 2.已知直线l:kx-y-3k=0;圆M:x2+y2-8x-2y+9=0 (1)求证:直线l与圆M必相交;

(2)当圆M截l所得弦最长时,求k的值.
(3)当圆M截l所得弦最短时,求k的值.

【解题指南】1.(1)求出直线所过的定点,然后判断. (2)分析弦长最短时直线l的位置,然后求解. 2.在(1)问中直接利用几何法判定,也可利用直线恒过定点来解 决;在(2)(3)问中,关键是分析出何时弦最长与最短.

【解析】1.(1)l的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,因为
2x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, m∈R,所以 ? 解得 即l恒过定点A(3,1). ? ? ? x ? y ? 4 ? 0, ? y ? 1,

因为圆心C(1,2),AC= 恒与圆C相交于两点.

5 <5,所以点A在圆C内,从而直线l

(2)弦长最短时,l⊥AC,由于kAC=所以l的方程为2x-y-5=0.

1 , 2

2.(1)方法一:将圆M的方程化为(x-4)2+(y-1)2=8. 所以圆M的圆心M(4,1),半径rM=2 2 . 又直线l的方程可化为k(x-3)-y=0,即无论k为何值,直线恒过点 P(3,0). 所以|PM|= 2 <rM,即点P在圆M的内部, 所以直线l必与圆M相交.

方法二:将圆M的方程化为 (x-4)2+(y-1)2=8, 圆心M点到直线l的距离为d=
k ?1
2

k ?1 2 2 2 7k ? 7 ? 2k (k ? 1) ? 6k ?6 2 2 故 rM ? d ? ? ? 0. k2 ?1 k2 ?1

,

所以d<rM,直线l与圆必相交.

(2)因为在圆中,直径是最长的弦. 所以当圆M截l所得的弦最长时,直线必过圆心M(4,1), 把M(4,1)代入直线l的方程可得k-1=0, 即k=1. (3)由(1)知直线恒过点P(3,0),该点在圆内,当圆M截l所得弦最

短时,则点P(3,0)应为弦的中点,又kMP= 1 ? 0 =1,
4?3

故所求斜率k=-1.

【规律总结】过圆内定点的直线与圆的关系及弦长最值问题的

解题策略
(1)直线过圆内一点时,直线与圆一定相交,这是证明直线与圆

相交的基本方法,这时直线与圆相交的弦长是不确定的.
(2)当直线过圆心时,所得弦长最长,当直线与过定点的直径垂 直时所得弦长最短.


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