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函数的概念、定义域、值域


1 对 1 个性化教案
学生 教师 课题 重点 难点 艺考生 学 校 年 级 授课日期 函数的概念、定义域、值域 授课时段

教学步骤及教学内容

导入—【知识点回顾】 【错题再练】 【知识梳理】 一、函数的概念
函数概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 考点:由函数的概念判断是否构成函数: (1)A、B 必须是非空的数集; (2)函数中的变量 x,y 的对应关系 是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多” 例题 1、下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) ① A={x ② A={x x∈Z},B={y y∈Z},对应法则 f:x→y=

x ; 3
2

x>0,x∈R}, B={y

y∈R},对应法则 f:x→ y =3x;
2

③ A=R,B=R, 对应法则 f:x→y= x ;

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2 、 下列图像中,是函数图像的是(
y
O

) y
O

y
O

y
O

X

X

X

X









课堂练习
1、下列式子能确定 y 是 x 的函数的有( ① x 2 ? y 2 =2 ② x ?1 ? )

y ?1 ? 1

③y= x ? 2 ? 1 ? x

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 2、已知函数 y=f(x) ,则对于直线 x=a(a 为常数) ,以下说法正确的是( ) A. y=f(x)图像与直线 x=a 必有一个交点 B.y=f(x)图像与直线 x=a 没有交点 C.y=f(x)图像与直线 x=a 最少有一个交点 D.y=f(x)图像与直线 x=a 最多有一个交点 3、对于函数 y=f(x),以下说法正确的有?( ) ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x,y 的值也不同 ③f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关 系的有( )

A.①②③④

B.①②③

C.②③

D.②

二、函数相等
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。

考 点 :同一函数的判定:一看定义域(看定义域是否相同) ;二看对应关系(看对应关系是否相同) ;三
下结论 例题 下列哪个函数与 y=x 相同( ①. y= x ②. y ?

) ③. y ?

x2 ???

? x?

2

④.y=t

⑤. y ? 3 x 3 ;⑥. y ?

x2

课堂练习 1.下列函数中哪个与函数 y ?
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?2x3 相同(


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A. y ? x ?2x

B. y ? ? x ?2x

C. y ? ? x ?2x3 ) B. y ?

D. y ? x

2

?2 x

2. 下列各组函数表示相等函数的是(

x2 ? 9 A. y ? 与 y ? x?3 x ?3
C. y ? x0 (x≠0) 与 y ? 1 (x≠0) 3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? (1) y1 ? (2) y1 ?

x2 ?1 与 y ? x ? 1

D. y ? 2 x ? 1 ,x∈Z 与 y ? 2 x ? 1 ,x∈Z

( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5

x ?1 x ?1

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)
f 2 ( x) ? 2 x ? 5

(3) f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2

三、函数的定义域与值域 1、函数的定义域问题:函数的定义域是自变量 x 的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,如果没有标 明定义域,则认为定义域是使函数解析式有意义的 x 的取值范围,但要注意,在实际问题中,定义域要受 到实际意义的制约 2、函数求值问题:已知 f(x)的表达式时,只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f(a)的值。用来替换表达式中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值,否则函数无意义 考点一:已知函数解析式求定义域的类型及求解策略 (1)当 f(x)是整式时,定义域为 R; (2)当 f(x)是分式时,定义域是使分母不为 0 的 x 取值集合; (3)当 f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的 x 取值集合; (4)几部分组成:若 y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式,定义域是使各部分都有 意义的集合的交集; (5)实际问题:若 y=f(x)是由实际问题确定的,其定义域要受实际问题的约束 (6)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值集合; (7)当 f(x)是对数式时,定义域是使真数大于 0 且底数为不等于 1 的正数的 x 取值集合; 已学函数的定义域和值域 1.一次函数 y ? ax ? b (a ? 0) :定义域 R, 值域 R; 2.反比例函 y ?

k (k ? 0) :定义域 ?x | x ? 0?, 值域 ? y | y ? 0? ; x

2 3.二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) :定义域 R

值域:当 a ? 0 时, ? y | y ?

? ?

? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ? ;当 a ? 0 时, ? y | y ? ? 4a ? 4a ? ?

例题
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①函数 y ? 1 ? x2 ? x2 ?1 的定义域是( A.

) D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ )

??1,1?
0

B. ( -1 , 1 )

C. [ -1 , 1 ]

? x ? 1? ②y?

x ?x

课堂练习 求下列函数的定义域 (1) f ( x) ? 3x ? 2 ; (2) f ( x) ?

x ?1 ?

1 . 2? x

(2)y=

1 ; |x|-2

(4)y= x2+x+1+(x-1)0.

考点二:求抽象函数(复合函数)的定义域 求抽象函数的定义域是学习中的一个难点,常见的题型有如下两种: (1)已知 f(x)的定义域,求 f(g(x)) 的定义域: 方法: 已知函数 f(x)的定义域为[a,b], 则函数 f(g(x))的定义域是指满足不等式 a ? g ( x) ? b 的 x 的取值集合 (2)已知 f(g(x))的定义域,求 f(x)的定义域:函数 f(g(x))的定义域为[a,b]指的是 x ? [a,b],要求 f(x)的定义域,就是求 x ? [a,b]时 g(x)的值域 例题
2 已经函数 f(x)定义域为[ 0 , 4], 求 f x 的定义域

? ?

课堂练习

f (x)的定义域为 [1,2],求函数 y ? f (2x ?1)的定义域 1、 已知函数
f (x)的定义域为 [?2,1],求 g(x) ? f (x) ? f (?x)的定义域 2、 若函数

例题 已知函数 f( 2 x ? 1 )定义域为 ? ?1,3? , 求 f(x)的定义域 课堂练习

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1、已知函数 f( x ? 1 )的定义域为[ 0,3 ],求 f(x)的定义域

2 2、 已知函数 f ( x ? 1)的定义域为 [0,1],求 f ( x ? 1)的定义域

考点三:求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法: 原则: (1)先确定相应的定义域; (2)再根据函数的具体形式及运算确定其值域 常用方法: (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到 (2)配方法:求“二次函数”类值域的基本方法(形如 y ? ax2 ? bx ? c ) (3)换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域,对 于 f ( x) ? ax ? b ? cx ? d (其中 a, b, c, d为常数,且 a ? 0)型的函数常用换元法 (4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式, 便于求值域(形如 y ?

cx ? d ) ax ? b

(5)判别式法: (形如 y ? 求其值域:

a1 x 2 ? b1 x ? c1 )函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法 a2 x 2 ? b2 x ? c2

1)分子分母的最高次为二次的分式函数; 2)分子分母无公约数; (当函数为分子、分母的最高次为 2 次的分式函数,但 分子分母有公因式可约分时,此时不能用用判别式法做,应先约分,再用反函数法求其值域。特别值得注 意的是约分后的函数的定义域) 3)未限定自变量的取值范围。 最后需要说明的是用判别式求值域时, 第一步将函数变为整式的形式, 第二步一定要看变形后的二次项 (x2 项)系数是否含有 y,若含有 y,则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论 例题 求下列函数的值域

( 1 )y ? 2 x ? 3 (2) y ? 1 x ?1

(3) y ? ? x2 ? 2 x ? 3 (4) y ? 2 x ? 1 ? 7 ? 4 x 2x (5) y ? 5x ? 1

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(6) y ?

x2 ? x x2 ? 1

课堂练习 求下列函数的值域 (1) y ? 3x ? 1 , x∈{1,2 ,3,4,5 } (2) y ? x2 ? 4x ? 6 x∈ ?1,5? (3) y ? x2 ? 4x ? 6 , y ? 2x ? x ?1 (4) y ?

2x x ?1

2 x2 ? 4 x ? 7 (5) y ? 2 x ? 2x ? 3
x2 ? 4 x ? 3 2 x2 ? x ? 1

(6)

y?

课堂总练习:见打印

作业布置 教学总结

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