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【高考领航】2014届高考一轮复习(数学文)习题: 第八章 平面解析几何8-4 Word版含解析


【A 级】

基础训练 )

1.(2013· 随州模拟)过坐标原点且与圆 x2-4x+y2+2=0 相切的直线方程为( A.x+y=0 C.x-y=0 B.x+y=0 或 x-y=0 D.x+ 3y=0 或 x- 3y=0

解析:当斜率 k 不存在时,过原点的直线方程为 x=0,因为圆心(2,0)到此直线的距离 2 > 2(圆的半径),此时不合题意;当斜率 k 存在时,过原点的直线方程为 kx-y=0,要 使该直线与圆相切,则有 |2k| = 2,解得 k=± 1, k2+1

所以,切线方程为 x+y=0 或 x-y=0. 答案:B 2.(2012· 高考湖北卷)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2|≤4}分为两部分,使得这 两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 )

B.y-1=0 D.x+3y-4=0

解析:设过 P 点的直线为 l,当 OP⊥l 时,过 P 点的弦最短,所对的劣弧最短,此时, 得到的两部分面积之差最大.易求得直线的方程为 x+y-2=0,故选 A. 答案:A → → 3.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足OM· =0, CM y 则 =( x A. 3 3 ) B. 3 3 或- 3 3

C. 3 → → 解析:∵OM· =0, CM ∴OM⊥CM, ∴OM 是圆的切线. 设 OM 的方程为 y=kx, 由

D. 3或- 3

|2k| y = 3,得 k=± 3,即x=± 3. 2 k +1

答案:D 4.已知点 A 是圆 C:x2+y2+ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+2y-1=0 的对称 点也在圆 C 上,则实数 a=________.

a 解析:依题意知直线 x+2y-1=0 过圆心 C?-2,-2?, ? ? a ∴- -4-1=0,即 a=-10. 2 答案:-10 5.(2013· 宜兴模拟)圆:x2+y2-4x+2y-k=0 与 y 轴交于 A、B 两点,其圆心为 P,若∠APB =90° ,则实数 k 的值是________. 解析:圆 x2+y2-4x+2y-k=0 的圆心坐标为(2,-1),半径 r= k+5, 又∵∠APB=90° , ∴圆心到 y 轴的距离 d=2= 即:2= 答案:3 6.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的方程为________. 2 k+5,∴k=3. 2 2 r, 2

?|a-1|?2 解析:设所求直线的方程为 x+y+m=0,圆心(a,0),由题意知:? ? +2=(a-1)2, ? 2 ?
解得 a=3 或 a=-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,∴a=3,故圆心坐标为(3,0),而直 线 x+y+m=0 过圆心(3,0),∴3+0+m=0,即 m=-3,故所求直线的方程为 x+y-3= 0. 答案:x+y-3=0 2 7.以点 C?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆经过坐标原点 O,且与直线 y=-2x+4 交于点 M, ? ? N.若|OM|=|ON|,判断直线 OC 与直线 MN 的位置关系,并求圆 C 的方程. 解:∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN. 1 1 ∵kNM=-2,∴kOC= ,∴直线 OC 的方程是 y= x, 2 2 2 1 ∴ t = t,解得 t=2 或 t=-2. 2 (1)当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),半径|OC|= 5, 此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 d= |4+1-4| 1 = < 5,直线与圆 C 相交,符合题意. 5 5

(2)当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),半径|OC|= 5,此时圆心 C 到直线 y=- 2x+4 的距离 d= |-4-1-4| 9 = > 5,直线与圆 C 相离,不符合题意. 5 5

综合(1)(2)得,圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 8.(2013· 如皋模拟)已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点 A、B; (2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线? → → (3)若定点 P(1,1)分弦 AB 为PB=2AP,求直线 l 的方程. 解:(1)证明:圆心 C(0,1),半径 r= 5,则圆心到直线 l 的距离 d= |-m| <1, 1+m2

∴d<r,∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(或此直线恒过一个定点,且这 个定点在圆内). (2)设中点 M(x,y),因为 l:m(x-1)-(y-1)=0 恒过定点 P(1,1), → → ∴CM· =0, MP ∴(x,y-1)· (1-x,1-y)=0, 整理得:x2+y2-x-2y+1=0, 1 1 1 1 即:?x-2?2+(y-1)2= ,表示圆心坐标是?2,1?,半径是 的圆, ? ? ? ? 4 2 (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
?mx-y+1-m=0 ? 解方程组? 2 2 ?x +?y-1? =5 ?

得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, ∴x1+x2= 2m2 ① 1+m2

→ → 又PB=2AP, ∴(x2-1,y2-1)=2(1-x1,1-y1), 即:2x1+x2=3② 联立①②解得:x1= 3+m2 ?m+1?2 ,则 y1= , 1+m2 1+m2

2 2 ?3+m ,?m+1? ?. 即 A? 2 2 ? ?1+m 1+m ?

将 A 点的坐标代入圆的方程得:m=± 1, ∴直线 l 的方程为 x-y=0,x+y-2=0. 【B 级】 能力提升

1.(2013· 大庆模拟)已知圆(x-3)2+(y+5)2=36 和点 A(2,2),B(-1,-2),若点 C 在圆上且 5 △ABC 的面积为 ,则满足条件的点 C 的个数是( 2 A.1 B.2 )

C.3

D.4

解析:∵A(2,2),B(-1,-2),∴|AB|=5, 5 ∵S△ABC= , 2 ∴此题转化为求圆上的点到直线 AB 的距离为 1 的点的个数, ∵直线 AB 的方程为:4x-3y-2=0, 而圆心(3,-5)到直线 AB 的距离 d= |4×3-3×?-5?-2| =5,半径 r=6. 5

∴圆上的点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1 的点有 3 个. 答案:C 2.(2011· 高考江西卷)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交 点,则实数 m 的取值范围是( A. - C. - ) B. -

? ? ? ?

3 3? , 3 3? 3 3? , 3 3?

? ?

3 3? ? ? ,0 ∪ 0, 3 3? ? ? 3? ? 3 ? ∪ ,+∞ 3? ?3 ?

D. -∞,-

? ?

解析:如图 C1:(x-1)2+y2=1. C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+1). 当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点, 当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1 与直线 y=m(x+1) 3 3 有两交点,当圆与直线相切时,m=± ,即直线处于两切线之间时满足题意,则- < 3 3 m<0 或 0<m< 答案:B 3.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是( A.[1-2 2,1+2 2] C.[-1,1+2 2] 解析:y=3- 4x-x2
?y≤3 ? ?? . 2 2 ? ??x-2? +?y-3? =4

3 . 3

)

B.[1- 2,3] D.[1-2 2,3]

由图可知当直线 y=x+b 过点(0,3)时 b 取最大值 3;当直线 y=x+ b 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相切且切点在圆的下半部分时对应的 b 取最小值.

?y=x+b ? 由? 消去 y 可得 2x2+(2b-10)x+(b-3)2=0, Δ=0 得 b=1-2 2或 由 2 2 ? ??x-2? +?y-3? =4

b=1+2 2(舍去).即 b 的取值范围为[1-2 2,3]. 答案:D 4.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-2y=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为________. 解析:设圆心 C(a,b),借助图形可知 a=3, b-1 又 CB 与切线垂直,∴ =-2, 3-2 即 b=-1,r=CB= 5, ∴圆 C 的方程为(x-3)2+(y+1)2=5. 答案:(x-3)2+(y+1)2=5 5.(2012· 高考广东卷改编)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交 于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于________. 解析: 圆的半径 r=2, 圆心 O 到直线 3x+4y-5=0 的距离 d= =2 r2-d2=2 3. 答案:2 3 6.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b<0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 ab 的 最大值是________. 解析:圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的圆心为(-1,2),半径 r=2,若直线截得的弦长为 4,则 圆心在直线上, 所以-2a-2b+2=0,即 a+b=1. a+b?2 1 所以 ab≤? ? 2 ? =4, 1 当且仅当 a=b= 时取等号. 2 1 故(ab)max= . 4 答案: 1 4 |-5| =1, 所以弦长|AB| 32+42

7.(创新题)已知过点 A(-1,0)的动直线 l 与圆 C:x2+(y-3)2=4 相 交于 P,Q 两点,M 是 PQ 中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交 于 N. (1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C; (2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → → (3)探索AM· 是否与直线 l 的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. AN

1 解:(1)证明:∵l 与 m 垂直,且 km=- ,∴kl=3, 3 故直线 l 的方程为 y=3(x+1)即 3x-y+3=0 ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 的方程, ∴当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意, ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, ∵PQ=2 3,∴CM= 4-3=1, 则由 CM= |-3+k| 4 ,得 k= ,∴直线 l:4x-3y+4=0, 2 3 k +1

故直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. → → → → → (3)∵CM⊥MN,∴AM· =(AC+CM)· AN AN → → → → → → =AC· +CM· =AC· . AN AN AN 5 ①当 l 与 x 轴垂直时,易得 N?-1,-3?, ? ? 5 → 则AN=?0,-3?, ? ? → → → → → 又AC=(1,3),∴AM· =AC· =-5. AN AN ②当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),
? ?y=k?x+1?, ?-3k-6, -5k ?, 则由? 得 N? ? ? 1+3k 1+3k? ? ?x+3y+6=0,

-5k ? → ? -5 , 则AN=? ?, ?1+3k 1+3k? -5 -15k → → → → ∴AM· =AC· = AN AN + =-5. 1+3k 1+3k → → → → 综上所述,AM· 与直线 l 的倾斜角无关,且AM· =-5. AN AN


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