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直线、平面平行与垂直的判定及其性质,高考历年真题


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【考点 24】直线、平面平行与垂直的判定及其性质
2009 年考题 1.(2009 福建高考)设 m,n 是平面 ? 内的两条不同直线, l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线, 则 ? // ? 的一个充分而不必要条件是( A.m// ? 且 n// ? C. m// ? 且 n// ? B. m//l1 ) 且 n//l 2

D. m// ? 且 n //l 2

【解析】选 B.若 m / /l1, n / /l2 , m,n ? ?, l1, l2 ? ? ,则可得 ? // ? .若 ? // ? 则不一定存在

l1 ? l2使得m / /l2 , n / /l1 .
2.(2009 广东高考)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( A.①和② ) C.③和④ D.②和④

B.②和③

【解析】选 D.① 错, ② 正确, ③ 错, ④ 正确.故选 D. 3.(2009 浙江高考)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? )

【解析】选 C.对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,而对于 C 是正确的.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4. (2009 山东高考)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是 “ m ? ? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选 B.由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? ,反过来则 不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件. 5.(2009 四川高考)如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是(
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45°



【解析】选 D.∵ AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直,∴A 不成立;又平面 PAB⊥ 平面 PAE,∴

平面PAB ? 平面PBC 也不成立;BC∥ AD∥ 平面 PAD, ∴ 直线 BC ∥平面PAE 也不成立。在 Rt ?PAD
中,PA=AD=2AB,∴ ∠ PDA=45° .∴ D 正确. 6.(2009 江苏高考)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题 的序号 ... 答案:(1)(2) 7.(2009 山东高考)如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D1 (1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 【解析】 (1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, 所以 CDA1F1 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, A1 E1 E A D1 F C1 B1 D E A F B C B D A1 F1 C C1 B1 (写出所有真命题的序号). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题 的序号是(1)(2) ...

E1

所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥ 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥ AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△ BCF 为正三角形,

?BCF ? 60? ,△ ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?
所以 AC⊥ BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥ 平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥ 平面 BB1C1C.

PD ? 平面ABCD , 8. (2009 天津高考) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,

AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC ,
E 为 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 (Ⅰ)证明 PA // 平面BDE (Ⅱ)证明 AC ? 平面PBD (Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值 【解析】 (Ⅰ)设 AC ? BD ? H ,连结 EH,在 ?ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 ?ADC ,所以 H 为 AC 的中点,又由题设,E 为 PC 的中点,故 EH // PA ,又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

HE ? 平面BDE, PA ? 平面BDE ,所以 PA // 平面BDE
(Ⅱ)因为 PD ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD ,所以 PD ? AC 由(Ⅰ)知, BD ? AC , PD

BD ? D, 故 AC ? 平面PBD

(Ⅲ)由 AC ? 平面PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以 ?CBH 为直线与平面 PBD 所 成的角。 由 AD ? CD , AD ? CD ? 1, DB ? 2 2 , 可得DH ? CH ? 在 Rt ?BHC 中, tan ?CBH ?

2 3 2 , BH ? 2 2

1 CH 1 ? ,所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 。 3 BH 3

9.(2009 海南宁夏高考)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面 是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧

棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 【解析】方法一: (Ⅰ )连 BD,设 AC 交 BD 于 O, 由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD . (Ⅱ )设正方形边长 a ,则 SD ?

2a 。又 OD ?

2 a, 2

0 所以 ?SDO ? 60 , 连 OP ,由(Ⅰ )知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD ,所以 ?POD 是

二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 ,即二面角 P ? AC ? D
0

的大小为 30 。 (Ⅲ )在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 。由(Ⅱ )可得 PD ?

0

2 a ,故可在 SP 上取一点 N , 4

使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 BDN 中知 BN // PO ,又由于

NE // PC ,故平面 BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2: 1 ,故 SE:EC ? 2: 1.

, OC, OS 方法二: (Ⅰ ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐标原点,OB
分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是

S (0,0,

6 2 2 a), D(? a,0,0) C ( 0 , a , 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ) 2 2 2 SD ? (? 2 6 a, 0, ? a) 2 2

OC ? (0,

2 a, 0) 2

O C? S D ?0
O

E

故 OC ? SD 从而 AC ? SD (Ⅱ )由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

2 6 a, 0, a) ,平面 DAC 的一个法向量 2 2

OS ? (0, 0,

OS DS 3 6 ,所求二面角的大小为 30 0 ? a) ,设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? 2 2 OS DS

(Ⅲ )在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ )知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,



D S? (

2 6 a , 0, a) , C ? S 2 2

(? 0,

2 2

6 a , 2

a ) 2 2 6 a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2

设 CE=tCS , w 则 BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (? 而

1 ? 2 : 时, 1 B E? D S w.w.w.k.s.5.u.c.o.m BE DS ? 0 ? t ? 即当 S E: E C 3

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC 10.(2009 福建高考)如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将
?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD
(I)求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)求三棱锥 E ? A B D 的侧面积。 【解析】 (I)在 ?ABD 中,

AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60?

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? BD
又 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 A B D ? 平面 ABD B ,D A ? B

平面 EBD

? AB ? 平面 EBD
DE ? 平面 E B D ,? A ? B

DE

(Ⅱ )由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD, 从而 DE ? DB 在 R t? D B E 中,

D B? 2 3 , D E ? DC ?

A? B2

? S?B D E?


1 DB ? DE ? 2 3 2
BE

AB ? 平面 E B D , BE ? 平面 E B D ,? A ? B

BE ? BC ? AD ? 4 ? , S ?ABE ?

1 AB ? BE ? 4 2

D E? B D , 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? 平面 ABD

,? E D ? 而 AD ? 平面 A B D

1 A, D ? ?A D SE ? 2

A?D D ? 4 E

综上,三棱锥 E ? A B D 的侧面积 S ? 8 ? 2 3 .

2008 年考题 1、 (2008 海南宁夏高考)已知平面 α⊥平面 β,α∩β= l,点 A∈α,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β ) D. AC⊥β

【解析】选 D.容易判断A、B、C三个答案都是正确的,对于D,虽然 AC ? l ,但AC不一定在平面 ? 内,故它可以与平面 ? 相交,故不一定垂直. 2、 (2008 辽宁高考)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 AA1 , CC1 的中点,则在空间中与三条直线

A1 D1 , EF , CD 都相交的直线(
A.不存在 C.有且只有三条

)

B.有且只有两条 D.有无数条 A1 E D1 C1 B1 D A B F C

【解析】选 D.在 EF 上任意取一点 M,直线 A1 D1 与 M 确定一个平面, 这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置就确定不 同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直 线都有交点的.如右图.

3、 (2008 江苏高考)在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ? BD ,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点,求证 (I)直线 EF 面ACD ; (II) 面EFC ? 面BCD 。
F

B

【解析】 (I)E,F 分别为 AB,BD 的中点 ? EF

AD
D E

EF AD ? ? ? AD ? 面ACD ? ? EF 面ACD 。 EF ? 面ACD ? ?

C

A

? ? ? ? CD ? CB ? ? (II) ? ? CF ? BD ? ? BD ? 面EFC F为BD的中点? ? ? EF CF ? F ? ? ? EF AD ? ? ? EF ? BD AD ? BD ?
又 BD ? 面BCD , 所以面 EFC ? 面BCD 4、 (2008 山东高考)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是 等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 【解析】 (Ⅰ )在 △ ABD 中, 由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB .
2 2 2

P M D A C B

故 AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,

BD ? 平面 ABCD ,
所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ )过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O ,由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ?

3 ?4 ? 2 3. 2

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为

4?8 8 5 , ? 5 4 5

此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S ?

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

故 VP ? ABCD ?

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

2007 年考题 1.(2007广东高考)若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中 为真命题的是( ) B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ?

A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m 【解析】选 D.逐一判除,易得答案 D.

2.(2007 北京高考)平面 ? ∥ 平面 ? 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a ∥?,a ∥ ? B.存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ? C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,a ∥ ?,b ∥?



【解析】选D.平面 ? ∥ 平面 ? 的一个充分条件是存在两条异面直线 a,b,a ? ?,a ∥ ?,b ∥? . 3.(2007 江苏高考)已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是( A.①③ ) B.②④ C.①④ D.②③ ②? / / ? m , ? ?n , ? ?? m / / n ④? / / ? m , /n / m ,? ? ? n? ?

【解析】选 C.用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断① ④ 正确,② 中 m,n 可以平行或异面,③ 中 n 可以 在 ? 内. 4.(2007 天津高考) 设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a , b 与 ? 所成的角相等,则 a∥b C.若 a ? ? , b ? ? , a∥b,则 ? ∥? B.若 a ∥ ? , b ∥ ? , ?∥ ? ,则 a∥b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? , 则 a ? b
∥?∥?

)

【解析】选 D.对于 A 当 a , b 与 ? 均成 0? 时就不一定;对于 B 只需找个 ? 题设但 a , b 不一定平行;对于 C 可参考直三棱柱模型排除,故选 D.

,且 a ? ? , b ? ? 即可满足

5.(2007 浙江高考)若 P 是两条异面直线 l, m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都异面 【解析】选B.设过点P的直线为 n ,若 n 与l、m都平行, 则l、m平行,与已知矛盾,故选项A错误。 由于l、m只有惟一的公垂线,而过点P与 公垂线平行的直线只有一条,故B正确。 对于选项C、D可参考右图的正方体,设AD为直线l, A B 为直线m; 若点P在P1点,则显然无法作出直线与两直线都相交,故选项C错误。
' '



P2

1

若P在P2点,则由图中可知直线 CC '及D' P 2 均与l、m异面,故选项D错误。 6.( 2007 安徽高考)设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 ? 内,“l ? (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

? ”是“l ? m 且 l ? n”的(



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】选 A。设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 ? 内,“l ? “l ? m 且 l ? n”,当 m//n 时,推不出“l ?

? ”,则“l ? m 且 l ? n”,反之若

? ”,∴“l ? ? ”是“l ? m 且 l ? n”的充分不必要条件.

7.(2007湖南高考)如图1,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F分别是 AB1、BC1 的中点,则以下结 论中不成立的是( ) B. EF 与BD垂直 D. EF与A1C1异面
A1 B1 D1

A. EF与BB1垂直 C. EF与CD异面

【解析】选 D.连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,三角形 B1AC 中

1 AC ,所以 EF∥ 平面 ABCD,而 B1B⊥ 面 ABCD,所以 EF与BB1垂直 ; 2 1 又 AC⊥ BD,所以 EF 与BD垂直 , EF与CD异面 。由 EF // AC ,AC∥ A1C1 2
EF // 得 EF∥ A1C1 8.(2007 福建高考)已知 m、n 为两条不同的直线,错误!未找到引用源。为两个不同的平面,则下列命 题中正确的是( )

A. m ? ?, n ? ?, m ∥ ? ,n∥ ? ?

?∥?

B. ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? , ? m∥n C.m⊥ ? ,m⊥n ? n∥ ? D.n∥m,n⊥ ? ? m⊥ ? 【解析】选 D. A 中 m、n 少相交条件,不正确;B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行,不正 确;C 中 n 可以在 ? 内,不正确,选 D. 9.(2007 重庆高考)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三 个平面把空间分成( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分
a

【解析】 选 C.可用三线 a, b, c 表示三个平面, 如图, 将空间分成 7 个部分。
b c

10.(2007 辽宁高考)若 m ,n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个 不同的平面,则下列命题中的真命题是( A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? B.若 ? )

? ? m ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ?

C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ? 【解析】选 C.由有关性质排除 A、B、D. 11. (2007 山东高考) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知

D1 A1 B1

C1

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ⊥ DC,AB ∥ DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置, 使 D1E ∥平面 A 1BD ,并说明理由. 【解析】 (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 连结 C1D ,

D A B

C

DC ? DD1 , ? 四边形 DCC1D1 是正方形. A1 DD1 ? D ,

D1 B1

C1

? DC1 ⊥ D1C .
又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC

? AD ⊥ 平面 DCC1D1 ,
C B

D A

D1C ? 平面 DCC1D1 , ? AD ⊥ D1C . AD,DC1 ? 平面 ADC1 , 且 AD DC1 ? D , ? D1C ⊥平面 ADC1 ,
又 AC1 ? 平面 ADC1 , (2)连结 AD1 ,连结 AE ,

D1 ? D1C ⊥ AC1 .
设 AD1

C1 B1

A1

A1D ? M ,

M

BD

AE ? N ,连结 MN ,
平面 A1BD ? MN , A D
NE

平面 AD1E

C

要使 D1E ∥平面 A 1BD , 须使 MN ∥ D 1E , 又 M 是 AD1 的中点.? N 是 AE 的中点. 又易知 △ ABN ≌△EDN ,

B

? AB ? DE .

即 E 是 DC 的中点.

综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E ∥平面 A 1BD .


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