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第1讲 不等关系与不等式


第七章
第1讲
一、选择题

不等式

不等关系与不等式

1.已知 a ? log 2 3.6, b ? log4 3.2, c ? log4 3.6, 则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b

) D. c ? a ? b

C. b ? a ? c

解析 因为 a ? 1 , b, c 都小于 1 且大于 0,故排除 C,D;又因为 b, c 都是以 4 为底 的对数,真数大,函数值也大,所以 b ? c ,故选 B. 答案 B ) B. log 1 b< log 1 a<0
2 2

2.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b2<1 C.2b<2a<2 解析 答案 1 1 取 a= ,b= 验证可得. 2 3 C

D.a2<ab<1

1 1 3.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出a<b成 立的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ( ). D.4 个

1 1 解析 运用倒数性质,由 a>b,ab>0 可得a<b,②、④正确.又正数大于负数, ①正确,③错误,故选 C. 答案 C 4. 如果 a, b, c 满足 c<b<a, 且 ac<0, 那么下列选项中不一定成立的是 A.ab>ac C.cb2<ab2 B.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0 ( ).

解析 由题意知 c<0,a>0,则 A 一定正确;B 一定正确;D 一定正确;当 b

=0 时 C 不正确. 答案 C 1 5.若 a>0,b>0,则不等式-b< <a 等价于(

x

). 1 1 B.- <x<

1 1 A.- <x<0 或 0<x<

b

a

a

b a

1 1 C.x<- 或 x>

a

b

1 1 D.x<- 或 x>

b

解析

由题意知 a>0,b>0,x≠0,

1 1 (1)当 x>0 时,-b< <a?x> ;

x x

a

1 1 (2)当 x<0 时,-b< <a?x<- .

b

1 1 1 综上所述,不等式-b< <a?x<- 或 x> .

x

b

a

答案

D

6.若 a、b 均为不等于零的实数,给出下列两个条件.条件甲:对于区间[-1,0] 上的一切 x 值,ax+b>0 恒成立;条件乙:2b-a>0,则甲是乙的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

解析 当 x∈[-1,0]时,恒有 ax+b>0 成立, ∴当 a>0 时,ax+b≥b-a>0, 当 a<0 时,ax+b≥b>0,∴b-a>0,b>0,∴2b-a>0, 3 ∴甲?乙,乙推不出甲,例如:a=2b,b>0 时, 1 则 2b-a=2b>0, 3 1 但是,当 x=-1 时,a· (-1)+b=-2b+b=-2b<0, ∴甲是乙的充分不必要条件. 答案 A

二、填空题 7.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析 (a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0. 答案 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 3? ? 8. 现给出三个不等式: ①a2+1>2a; ②a2+b2>2?a-b-2?; ③ 7+ 10> 3+ 14. ? ? 其中恒成立的不等式共有________个. 解析 因为 a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②,a2+b2-2a

+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,因为( 7+ 10)2 - ( 3 + 14)2 = 2 70 - 2 42>0 ,且 7 + 10>0 , 3 + 14>0 ,所以 7 + 10> 3+ 14,即③恒成立. 答案 2 9. 已知-1≤x+y≤4, 且 2≤x-y≤3, 则 z=2x-3y 的取值范围是________(用 区间表示). 解析 1 5 ∵z=- (x+y)+ (x-y), 2 2

1 5 ∴3≤- (x+y)+ (x-y)≤8, 2 2 ∴z∈[3,8]. 答案 [3,8]

10.给出下列四个命题: 1 1 ①若 a>b>0,则a>b; 1 1 ②若 a>b>0,则 a-a>b-b; ③若 a>b>0,则 2a+b a > ; a+2b b 1 ≥2. a-b

④设 a,b 是互不相等的正数,则|a-b|+

其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上). b-a 1 1 b-a 解析 ①作差可得a-b= ab ,而 a>b>0,则 ab <0,此式错误.②a>b>0,

2a+b a 1 1 1 1 1 1 则 a < b ,进而可得- a > - b , 所以可得 a - a >b - b 正确. ③ - = a+2b b b?2a+b?-a?a+2b? b2-a2 ?b-a??b+a? = = <0,错误.④当 a-b<0 时此式 ?a+2b?b ?a+2b?b ?a+2b?b 不成立,错误. 答案 ② 三、解答题 11.已知 a∈R,试比较 解析 1 与 1+a 的大小. 1-a

1 a2 -(1+a)= . 1-a 1-a

①当 a=0 时,

a2
1-a

=0,∴

1 =1+a. 1-a >0,∴ 1 >1+a. 1-a

②当 a<1 且 a≠0 时, ③当 a>1 时,

a2
1-a

a2
1-a

<0,∴

1 <1+a. 1-a

综上所述,当 a=0 时, 当 a<1 且 a≠0 时, 当 a>1 时,

1 =1+a; 1-a

1 >1+a; 1-a

1 <1+a. 1-a

12.已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. ?a-c=f?1?, 解 由题意,得? ?4a-c=f?2?, 1 a = ? ? 3[f?2?-f?1?], 解得? 4 1 c =- f ? 1 ? + f?2?. ? ? 3 3

5 8 所以 f(3)=9a-c=-3f(1)+3f(2). 5 5 20 因为-4≤f(1)≤-1,所以3≤-3f(1)≤ 3 , 8 8 40 因为-1≤f(2)≤5,所以-3≤3f(2)≤ 3 . 两式相加,得-1≤f(3)≤20,故 f(3)的取值范围是[-1,20].

13. (1)设 x≥1,y≥1,证明 1 1 1 x+y+xy≤ x+ y+xy; (2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明 (1)由于 x≥1,y≥1,所以 1 1 1 x+y+xy≤ x+ y+xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1) -(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca=xy,logba= x,logcb=y,logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 1 1 1 x+y+xy≤ x+ y+xy 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立. 14. 已知 f(x)是定义在(-∞, 4]上的减函数, 是否存在实数 m, 使得 f(m-sin x)≤ 7 ? ? f? 1+2m-4+cos2x?对定义域内的一切实数 x 均成立?若存在,求出实数 m ? ? 的取值范围;若不存在,请说明理由. 思维启迪:不等式和函数的结合,往往要利用函数的单调性和函数的值域. 解 假设实数 m 存在,依题意, m-sin x≤4, ? ? 可得? 7 m-sin x≥ 1+2m-4+cos2x, ? ? m-4≤sin x, ? ? 即? 1? 1 ? m- 1+2m+2≥-?sin x-2?2. ? ? ? ?

1 因为 sin x 的最小值为-1,且-(sin x-2)2 的最大值为 0,要满足题意,必须 m-4≤-1, ? ? 有? 1 m- 1+2m+2≥0, ? ? 1 3 解得 m=-2或2≤m≤3. ?3 ? ? 1? 所以实数 m 的取值范围是?2,3?∪?-2?. ? ? ? ? 探究提高 m≤f(x)min. 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需


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