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山东省广饶一中2013-2014学年高二上学期期末质量检测数学(文)


高二上学期期末数学试题(文 B)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

C. a 3 ? b3 , ab ? 0 ?

1 1 ? a b

D. a 2 ? b 2 , ab ? 0 ?

1 1 ? a b
( )

9.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0 .若 S2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围是 A. (?1,0)

1 1.抛物线 y ? x 2 的焦点坐标为( 8
A.(0,



1 1 1 1 (0, ) B. (? ,0) (0,1) C. (??, ?1) ( , ??) D. (??, ? ) (1, ??) 2 2 2 2
0 0

1 ) 16

B.(

1 ,0) 16

x ' x

10.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40 ,灯塔 B 在观察站 C C.(0, 4) D.(0, 2) 的南偏东 60 ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A. 北偏东 10
0

) C. 南偏东 10
0

2. 下列求导运算正确的是( A. (2 ) ? x ? 2
x ' x ?1

B. 北偏西 10

0

D. 南偏西 10
2

0

B. (3e ) ? 3e

1 ' 1 C. ( x ? ) ? 2 x ? 2 x x
2

x ' cos x ? x sin x D. ( ) ? cos x (cos x) 2


11.已知不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 2} ,则不等式 bx ? 5 x ? a ? 0 的解集为(
2
学#科#网 Z#X#X#K]

)

[来源:

3.己知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? c ,其导数 f ' ( x) 的图象如图所示,则函数 f ( x ) 的极大值是(

1 1 ?x? } 3 2 C. {x | ?3 ? x ? 2}
A. {x | ?

B. {x | x ? ? 或x ? }

1 1 3 2 D. {x | x ? ?3或x ? 2}

A. a ? b ? c

B. 8a ? 4b ? c

C. 3a ? 2b

D. c

12.已知 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? ln x ? ax (a ? 为 1,则 a 的值等于( ) B.

1 ) ,当 x ? (?2, 0) 时, f ( x) 的最小值 2
D. 1

4.已知 命题: P : ?x ? R, cos x ? 1,则 ? P 为( A.

) C.

A.

1 4

1 3

C.

1 2

?x ? R, cos x ? 1

B.

?x ? R, cos x ? 1

二、填空题:共 4 小题,每小题 4 分, 共 16 分. 13.已知双曲线 x ?
2

?x ? R, cos x ? 1 D. ?x ? R,cos x ? 1
5.命题“若 ?C ? 90 ,则 ?ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,
0

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线的方程为 y ? 2 x ,则 b =_____ b2

__.

x 14.设函数 f ( x) 的导数为 f ?( x ) ,且 f ( x) ? 2 ? f ?(1) ln x ,则 f ?(1) 的值是

. 米.

真命题的个数是( A. 0

) B . 3 C . 2 D. 1

15. 右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米, 水位下降 1 米后, 水面宽 16.给出下列命题: )

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 6.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 则目标函数 g ? y ? 2 x 的最小值是( ?y ? 3 ? 0 ?
A.-7 7.如果方程 B.-4 C.1 D.2 )

(1)导数 f ?( x0 ) ? 0 是 y ? f ( x) 在 x 0 处取得极值的既不充分也不必要条件;
n (2)若等比数列的前 n 项和 sn ? 2 ? k ,则必有 k ? ?1 ;

x2 y2 ? ? 1 表示双曲 线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
B. ? 1 ? m ? 1 或 m ? 2 C. ? 1 ? m ? 2 ) B.

A. m ? 2

D. m ? 1 或 m ? 2

(3)若 x ? R , 则2 ? 2
x

?

?x

的最小值为 2;

8.已知 a, b, c ? R ,则下列推证中正确的是( A. a ? b ? am 2 ? bm 2

(4)函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上必定有最大值、最小值; (5)平面内到定点 (3, ?1) 的距离等于到定直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离的点的轨迹是抛物线. 其中正确命题的序号是 .

a b ? ?a?b c c

(2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元,那么月产量为多少时,可获最大利润; (3)当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元?

三、解答题:共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 17.(本题满分 12 分) 命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q :实数 x 满足

21.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ( x ? 0) ,若函数 f ( x) 在 x ? 1处与直线 y ? ? (1)求实数 a , b 的值;(2)求函数 f ( x)在[ , e] 上的最大值.

1 相切, 2

x 2 ? x ? 6 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

1 e

[来源:Zxxk.Com]

cos B b 18. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 . ?? cos C 2a ? c
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ?

13,a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
22. (本题满分 14 分)如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为 a2 b2

两个顶点,该椭圆的离心率为

5 , ?ABO 的面积为 5 . 5

(1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; 19.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的各项均满足 a1 ? 3 , a2 ? 9 , an?1 ? an?1 ? an 2 (n ? 2, n ? N ) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的通项公式是 bn ? (2)作与 AB 平行的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点, PQ ?

9 5 ,求直线 l 的方程. 5

1 ,前 n 项和为 Tn , log3 a n ? log3 a n ?1

求证:对于任意的正数 n ,总有 Tn ? 1 .

[来源:Zxxk.Com]

20. (本题满分 12 分)据市场分析,广饶县驰中集团某蔬菜加工点,当月产量在 10 吨至 25 吨时,月生产总成 本 y (万元)可以看成月产量 x (吨)的二次函数.当月产量为 10 吨时,月总成本为 20 万元;当月产量为 15 吨时,月总成本最低为 17.5 万元. (1)写出月总成本 y (万元)关于月产量 x (吨)的函数关系;

高二上学期期末数学试题(文 B) 评分标准
选择题答案:DBBCC 填空题答案:13.2 解答题评分标准: 17.解:设 A ={x|x -4ax+3a <0(a<0)}={x|3a<x<a},??????????2 分
2 2

因为 a1=3, a2 ? 9 ∴an=3 .
n

??????????5 分 ??????????7 分

(2)证明

∵bn=

ABCBB 14. ln 2

BD 15. 2 6 16.(1) (2)

1 1 1 = - . n(n+1) n n+1
[来 源:学 _科_网 ]

∴Tn=b1+b2+?+bn

1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 =?1- ?+? - ?+?+? - ?=1-n+1<1. 2 2 3 n n + 1 ? ? ? ? ? ? 20.解: (Ⅰ) y ? a?x ? 15? ? 17.5
2

??????????12 分 ??????????2 分

( a ? R, a ? 0 )

B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8<0}
={x|x -x-6<0}∪{ x|x +2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. ????????4 分 因为 所以
2 2

将 x=10,y=20 代入上式得,20=25a+17.5,解得 a ?

1 10

???????3 分

?y ?

1 ?x ? 15 ?2 ? 17.5 10

( 10 ? x ? 25 )

??????????4 分

q 是 p 的必要不充分条件,
P ? q, q 推不出 p ,由 A ? B 得
??????????6 分

(Ⅱ)设最大利润为 Q?x ? 则 Q?x ? ? 1.6 x ? y ? 1.6 x ? ?

?1 2 ? x ? 3x ? 40? ? 10 ?

???6 分

? 3a ≥ ?2 ? a ≤ ?4 或? ? ?a < 0 ?a < 0
2 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3 18.解: (1)法一:由正弦定理

??
??????????10 分

1 ?x ? 23?2 ? 12.9 10

?10 ? x ? 25?

因为 x ? 23? ?10,25? ,所以月产量为 23 吨时,可获最大利润 12.9 万元??8 分

??????????12 分

a b c ? ? ? 2 R 得?????????2 分 sin A sin B sin C a ? 2 R sin A,b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin C
? ????4 分

1 2 x ? 3 x ? 40 y 10 1 40 x 40 ? x? ?3? 2 ? ? 3 ? 1 ????????10 分 (Ⅲ) ? x x 10 x 10 x
当且仅当

cos B b cos B sin B ?? 得 ?? cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C 即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0
将上式代入已知? 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0

x 40 ,即 x ? 20 ? ?10,25? 时上式“ =”成立. ?????????11 分 ? 10 x
??????12 分

故当月产量为 20 吨时,每吨平均成本最低,最低成本为 1 万元. 21. 解: (1) f '( x) ?

a ? 2bx x

函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切 2

∵ A ? B ? C ? ?,∴ sin( B ? C ) ? sin A,∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0

1 2 ∵ sin A≠ 0,∴ cos B ? ? , ∵B 为三角形的内角,∴ B ? ? .?????6 分 2 3
法二:由余弦定理相应得分

? f '(1) ? a ? 2b ? 0 ?a ? 1 ? ? ?? 1 , 解得 ? 1 f (1) ? ?b ? ? b? ? ? ? 2 ? 2

??????????5 分

2 2 2 2 (2)将 b ? 13,a ? c ? 4 ,B ? ? 代入定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 ?8 分 3

1 2 1 1 ? x2 (2) f ( x) ? ln x ? x , f '( x) ? ? x ? 2 x x


??????????7 分

b ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B ,
2 2

??????????9 分

1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ;令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e; e e

∴ 13 ? 16 ? 2ac(1 ? ∴ S △ABC ? 19.(1)解

1 ) ,∴ac ? 3 2

[来源:学科网]

1 ?1 ? ? f ( x)在 ? ,1? 上单调递增,在(1,e)上单调递减,? f ( x)max ? f (1) ? ? ??12 分 2 ?e ?
??????????12 分 ??????????2 分

1 3 ac sin B ? 3. 2 4
由已知得 数列 {an } 是等比数列.

?c 5 ? ? 5 2 5 ?a 2 2 2 5 22. 解:由题设知: ? ,又 a ? b ? c ,将 c ? 代入, a, b ? 5 a 1 ? ab ? 5 ? ?2
得到:

a 2 20 ? ? a 2 ,即 a4 ? 25 ,所以 a 2 ? 5 , b2 ? 4 5 a2
x2 y 2 ? ? 1, 5 4
??????????4 分 ??????????5 分

故椭圆方程为

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) , (2)由(1)知 A(? 5,0), B(0, 2) ,

? k PQ ? k AB ?

2 , 5
??????????7 分

∴设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? b , 5

2 ? y? x?b ? 5 由? ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 4 ?5
得 8x ? 4 5bx ? 5b ? 20 ? 0 ,
2 2

??????????9 分

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则

x1 ? x 2 ? ?
? y1 ? y2 ?

5b 5 b2 ? 2 0 , ,x ? x ? 1 2 2 8

??????????10 分 ,?????????? 11 分 x (1 ? x 2 )

2 2 2 ( x1 ? 1 ) ? ( x2 ?1 ) ? 5 5 5

?| PQ | ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

2 ? ? ? ?1 ? ( ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 5 ? ?

?

3 3 5b2 5b2 ? 20 9 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? 4? ? 8 5 5 4 5

解之, b ?
2

4 (验证判别式为正) ,所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ??????14 分 5 5 5


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