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2014创新设计高中数学(苏教版)第四章 第6讲 二倍角、简单的三角恒等变换


第6讲 二倍角、简单的三角恒等变换

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揭秘3年高考

考点梳理

1.二倍角公式 2sin αcos α S2α:sin 2α=_________________.

2cos2α-1 C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=_________________=1-
2sin2α.
2tan α 1-tan2α T2α:tan 2α=__________.

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2.升幂、降幂公式 2α 2cos 2α 2 1+cos α=_________,1-cos α=2sin . 2 1-cos 2α 1+cos 2α 2 cos2α= ,sin2α=__________. 2

3.半角公式
α α α (1)用 cos α 表示 sin ,cos ,tan .(半角公式不要求记忆) 2 2 2 1-cos α 1+cos α α α sin =± ;cos =± ; 2 2 2 2 1-cos α α tan =± . 2 1+cos α α (2)用 sin α,cos α 表示 tan .(半角化单角) 2 1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α
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【助学· 微博】 一个关系 在公式 S(α+β),C(α+β),T(α+β)中,令 α=β,则可得公式 S2α,
C2α,T2α.在公式 S2α,C2α 中角 α 没有限制,在 T2α 中,只 kπ π π 有当 α≠ + 且 α≠kπ+ (k∈Z)时,公式才成立. 2 4 2 一个命题趋势

本讲在高考中主要考查三角公式的灵活运用,利用公式进 行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象与 性质解题.在主、客观题中出现的可能均有,难度以容易 和中档题为主,主要考查基本技能和基本方法.

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考点自测
?π ? 4 cos?2+θ?= , 则 ? ? 5

1. (2013· 扬州调研)已知
解析

cos 2θ=________.

?π ? 4 4 ? +θ?=-sin θ,即 sin θ=- ,所以 cos 2θ =cos 2 5 5 ? ?
2

=1-2sin
答案

? 4?2 7 ?- ? =- . θ=1-2 5 25 ? ?

7 - 25

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? π? 5 2. (2013· 菏泽模拟)已知 sin 2α= , α∈?0,4 ?, sin4α 且 则 5 ? ?

-cos4α 的值为________.
解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=-cos 2α
2

2 5 =- 1-sin 2α=- . 5
答案 2 5 - 5

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1 3.已知 sin(π+α)=- ,且 α 是第二象限角,那么 sin 2α 3 =________.

解析

1 sin α= ,α 为第二象限角,∴cos α=- 1-sin2α 3

2 2 4 2 =- ,所以 sin 2α=2sin αcos α=- . 3 9
答案 4 2 - 9

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1 3 4.(2012· 苏州调研)已知 tan x- = ,则 tan 2x= tan x 2 ________.

解析

1 3 tan x 2 由 tan x- = ,可得 2 =- ,所以 tan x 2 3 1-tan x

2tan x 4 tan 2x= =- . 3 1-tan2x
答案 4 - 3

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π 5.(2012· 苏州第一次调研)已知 <α<π,3sin 2α=2cos α, 2 则 cos(α-π)=________.

解析

π 由 3sin 2α=2cos α,得 6sin αcos α=2cos α.由 2

1 <α<π,得 cos α≠0,sin α= ,cos(α-π)=-cos α= 3 -
?1?2 2 2 ? ? =- 1- 3 . 3 ? ?

答案

2 2 - 3

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考向一

应用二倍角公式解决化简问题

sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° 【例 1】 (1)化简: ; 2 cos 80° 2?1-cos 10° ?

3 1 10 (2)已知 π<α<π,tan α+ =- . 4 tan α 3 α α 2α 5sin +8sin cos +11cos -8 2 2 2 2 求 的值. ? π? 2sin?α-2? ? ?


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cos 10° 3sin 10° + (1)∵sin 50° (1+ 3tan 10° )=sin 50° · cos 10°

sin 50°2sin 40° 2sin 40° 40° sin 80° cos 10° · cos = = = = =1 cos 10° cos 10° cos 10° cos 10° cos 80° 2?1-cos210° ?=sin 10° 2sin210° 2sin210° · = 1-cos 20° 2sin210° ∴原式= = = 2. 2sin210° 2sin210°

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1 10 =- ,∴3tan2α+10tan α+3=0, tan α 3 1 解得 tan α=-3 或 tan α=- . 3 3π 1 又∵ <α<π,∴tan α=- . 4 3 α α α α 5sin2 +8sin cos +11cos2 -8 2 2 2 2 又∵ π 2sin?α- ? 2 1-cos α 1+cos α 5· +4sin α+11· -8 2 2 = - 2cos α 5-5cos α+8sin α+11+11cos α-16 = -2 2cos α 8sin α+6cos α 8tan α+6 5 2 = = =- . 6 -2 2cos α -2 2 (2)∵tan α+
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[方法总结] (1)三角函数式的化简原则一是统一角,二是统

一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约
分. (2)三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同名, 异角化同角,降幂或升幂.

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【训练 1】 已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1(x∈R).
?π π? 6 若 f(x0)= ,x0∈?4,2 ?,求 cos 2x0 的值. 5 ? ?

解 由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1, 得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) ? π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?. ? ? ? π? ∴f(x0)=2sin?2x0+6 ?. ? ?

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? π? 3 6 又因为 f(x0)= ,所以 sin?2x0+6 ?= . 5 ? ? 5 ?π π? π ?2π 7π? 由 x0∈?4,2 ?,得 2x0+ ∈? 3 , 6 ?. 6 ? ? ? ? ? ? π? π? 4 2? ?2x0+ ?=- ?=- . 从而 cos 1-sin 2x0+6 6? 5 ? ? ? ?? π? π? 所以 cos 2x0=cos??2x0+6 ?- 6 ? ? ?? ? ? ? π? π? π π 3-4 3 =cos?2x0+6 ?cos +sin?2x0+6 ?sin = 6 6 10 ? ? ? ?

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考向二

应用二倍角公式解决给值求值问题

π 3π 【例 2】 (1)(2012· 常州中学月考)设 <α< , 3 4

α-cos 2α+1 的值. tan α (2)(2012· 南京二模)设向量 a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),θ 为锐角. 13 ①若 a· b= ,求 sin θ+cos θ 的值; 6 ? π? ②若 a∥b,求 sin?2θ+3 ?的值. ? ?
? sin π? 3 ?α- ?= ,求 sin 4? 5 ?

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(1)法一

π 3π π π π 由 <α< ,得 <α- < ,又 3 4 12 4 2
? π? 4 cos?α-4 ?= . ? ? 5

? π? 3 sin?α-4 ?= ,所以 ? ? 5

所以 cos

?? ? π? π? π? π α=cos??α-4?+4?=cos?α-4 ?cos - 4 ? ? ? ?? ?

? π? π 2 ?α- ?sin = sin 4 ? 4 10 ,所以 ?

7 2 sin α= . 10

sin α+2sin2α 14+5 2 故原式= =(1+2sin α)cos α= . sin α 50 cos α

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3 2 法二 由 sin α-cos α= ,两边平方,得 5 18 7 1-2sin αcos α= ,即 2sin αcos α= >0. 25 25 π 3π π π 由于 <α< ,所以 <α< .因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α 3 4 3 2 32 4 2 7 2 2 = ,所以 sin α+cos α= ,解得 sin α= ,cos α= . 25 5 10 10 14+5 2 故原式=(1+2sin α)cos α= . 50 13 1 (2)①因为 a· b=2+sin θcos θ= ,所以 sin θcos θ= . 6 6 4 2 所以(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ= . 3 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sin θ+cos θ= . 3 2 sin θ ②因为 a∥b,所以 = ,即 tan θ=2. 1 cos θ
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? π? 3 sin?α-4 ?= ,得 ? ? 5

2sin θcos θ 2tan θ 法一 所以 sin 2θ=2sin θcos θ= 2 = = sin θ+cos2θ tan2θ+1 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 4 3 2 2 ,cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 =- . 2 = 2 5 5 sin θ+cos θ tan θ+1 ? π? 1 3 ?2θ+ ?= sin 2θ+ 所以 sin cos 2θ 3? 2 2 ? 1 4 3 ? 3? 4-3 3 = × + ×?-5?= . 2 5 2 ? 10 ? 2 5 5 法二 又 θ 为锐角,所以 sin θ= ,cos θ= . 5 5 4 3 2 2 所以 sin 2θ=2sin θcos θ= ,cos 2θ=cos θ-sin θ=- . 5 5 ? π? 1 3 所以 sin?2θ+3 ?= sin 2θ+ cos 2θ 2 ? ? 2 1 4 3 ? 3? 4-3 3 = × + ×?-5?= . 2 5 2 ? 10 ?
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[方法总结] 已知三角函数式的值,求其他三角函数式值的

一般思路为:
(1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

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【训练 2】 已知

? π? α∈?0,2?,tan ? ?

1 α= ,求: 2

(1)tan 2α 的值;
? π? (2)sin?2α+3 ?的值. ? ?



1 2tan α 4 (1)因为 tan α= ,所以 tan 2α= 2 = . 2 1-tan α 3
? π? α∈?0,2?,所以 ? ?

(2)因为

2α∈(0,π),又 tan 2α>0,所以

? π? 4 3 π ?2α+ ?=sin 2αcos + sin 2α= ,cos 2α= .所以 sin 3? 5 5 3 ?

π 4 1 3 3 4+3 3 cos 2αsin = × + × = . 3 5 2 5 2 10
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考向三

以三角恒等变换为工具研究三角函数性质

【例 3】 (2012· 苏北四市第二次质检)已知函数 f(x)=
?π ? ?π ? sin?4+x?sin?4-x?+ ? ? ? ? ?π? (1)求 f ?6 ?的值; ? ?

3sin xcos x(x∈R).

(2)在△ABC 中,若 f

?A? ? ?=1,求 ?2?

sin B+sin C 的最大值.

?π ? ?π ? 解 (1)因为 f(x)=sin?4+x?sin?4-x?+ ? ? ? ? ? π? 1 3 3sin xcos x= cos 2x+ sin 2x=sin?2x+ 6?,所以 2 2 ? ? ?π? f?6?=1. ? ?
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(2)因为 f

?A? ? ?=1,所以 ?2?

f

?A? ? π? ? ?=sin?A+ ?=1. 6? ?2? ?

π π π 因为 0<A<π,所以 A+ = ,即 A= . 6 2 3 ?2π ? 3 3 sin B+sin C=sin B+sin? 3 -B?= sin B+ cos B= 2 ? ? 2 ? π? 3sin?B+ 3 ?. ? ? ? π? 2π π π 因为 0<B< ,所以 <B+ <π,0<sin?B+3 ?≤1, 3 3 3 ? ? 所以 sin B+sin C 的最大值为 3.

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[方法总结] 三角函数标准式在求三角函数性质(如单调

性、最值等)时有着重要作用.化简时常常要结合三角恒
等变换知识,这是解决三角函数问题的基础,因此,要牢 固掌握这一解题技巧.

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【训练 3】 (2012· 苏北三市调研)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sin
? π? π ?ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 . ωxsin 2? 2 ?

(1)写出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数
? π? f(x)在区间?0,3 ?上的取值范围. ? ?

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1-cos 2ωx 3 解 (1)f(x)= + sin 2ωx 2 2 ? π? 1 3 1 1 = sin 2ωx- cos 2ωx+ =sin?2ωx-6 ?+ . 2 2 2 ? ? 2 π 2π π 因为 T= ,所以 = (ω>0),所以 ω=2, 2 2ω 2 ? π? 1 π π π ?4x- ?+ .于是由 2kπ- ≤4x- ≤2kπ+ , f(x)=sin 6? 2 2 6 2 ? kπ π kπ π 解得 - ≤x≤ + (k∈Z). 2 12 2 6 ?kπ π kπ π? 所以 f(x)的增区间为? 2 -12, 2 +6 ?(k∈Z). ? ?

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? π? π ? π 7π? (2)因为 x∈?0,3 ?,所以 4x- ∈?-6, 6 ?, 6 ? ? ? ? ? ? ? π? ? 1 3? 所以 sin?4x-6?∈?-2,1?,所以 f(x)∈?0,2?. ? ? ? ? ? ? ? ? π? 3? 故 f(x)在区间?0, 3 ?上的取值范围是?0,2?. ? ? ? ?

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方法优化2

二倍角公式的正用与逆用

在高考三角函数题中,正用和逆用二倍角公式,将
三角函数式化为正弦型或余弦型函数,是研究三角函数性 质问题的基本解题途径.其中遇到平方先降幂,是逆用二 倍角余弦公式的典型技巧之一.

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x x 1 【示例】 (2012· 四川卷)已知函数 f(x)=cos -sin cos - . 2 2 2 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域;

2x

3 2 (2)若 f(α)= ,求 sin 2α 的值. 10 [教你解题] 逆用三角有关公式将三角函数式化为正弦型

或余弦型函数式,再求解.
x x 1 [一般解法] (1)f(x)=cos -sin cos - 2 2 2 2 1 1 1 1 = (1+cos x)- sin x- = (cos x-sin x) 2 2 2 2 π? 2 ? =- sin?x- 4 ?, 2 ? ? ? 2 2? 所以 f(x)的最小正周期为 2π,值域为?- , ?. 2 2? ?
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2x

π? 3 2 2 ? (2)由(1)知 f(α)=- sin?α-4 ?= , 2 10 ? ? 所以
? π? 3 ?α- ?=- , sin 4? 5 ?

2 2 3 3 2 即 sin α- cos α=- ,sin α-cos α=- , 2 2 5 5 18 18 所以(sin α-cos α) = ,即 1-sin 2α= , 25 25
2

7 所以 sin 2α= . 25

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? 1? x x 2x ?cos - ?-sin cos [优美解法] (1)f(x)= 2 2? 2 2 ? 1 2 ? π? = (cos x-sin x)= cos?x+ 4?, 2 2 ? ? ? 2 2? 所以 T=2π,f(x)∈?- , ?. 2 2? ? π? 3 2 2 ? (2)由(1)得 f(α)= cos?α+4 ?= , 2 10 ? ? ? π? 3 所以 cos?α+4 ?= , ? ? 5 ?π ? ? π? 18 7 2? ? +2α?=1-2cos α+ ?=1- = . sin 2α=-cos 2 4? 25 25 ? ? ?

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高考经典题组训练
sin α+cos α 1 1 . (2012· 西 卷 改 编 ) 若 江 = , 则 tan 2α = sin α-cos α 2 _____________.

解析

sin α+cos α tan α+1 1 由 = = , tan α=-3, 得 所以 sin α-cos α tan α-1 2

2×?-3? 3 2tan α tan 2α= = = . 1-tan2α 1-?-3?2 4
答案 3 4

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2.(2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若

? π? 4 cos?α+6 ?= , ? ? 5

? π? 则 sin?2α+12?的值为________. ? ? ? π? 4 解析 因为 α 是锐角,cos?α+6 ?= , ? ? 5 ? ? π? 3 π? 所以 sin?α+6 ?= ,所以 sin?2α+3 ? ? ? 5 ? ? ? ? π? ? π? 24 π? 7 =2sin?α+6 ?cos?α+6 ?= ,cos?2α+3 ?= , ? ? ? ? 25 ? ? 25 ?? ? π? π? π? 所以 sin?2α+12?=sin??2α+3 ?-4? ? ? ? ?? ? ? π? π? ? 2? ? 2 17 17 2 ?sin?2α+ ?-cos?2α+ ??= = 3? 3?? 2 ×25= 50 . 2? ? ?

答案

17 2 50
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?sin x-cos x?sin 2x 3.(2012· 北京卷)已知函数 f(x)= . sin x

(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间. 解 (1)由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z).

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x)=2sin xcos x-2cos 2x =sin 2x-cos 2x-1=
? π? 2sin?2x-4 ?-1. ? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2
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π π 3π 3π (2)由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z),得 kπ+ 2 4 2 8 7π ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 所以
? 3π 7π? f(x)的单调递减区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ?

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4.(2012· 湖北卷)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωxcos ωx- cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且
?1 ? ω∈?2,1?. ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若
?π ? y=f(x)的图象经过点?4,0?,求函数 ? ?

f(x)的值域.

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(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωxcos ωx+
? π? 2ωx+λ=2sin?2ωx-6 ?+λ. ? ?

λ=-cos 2ωx+ 3sin

因为直线 x=π 是 y=f(x)图象一条对称轴,所以
? π? cos?2ωπ-6 ?=± 1,所以 ? ?

π π k 1 2ωπ- =kπ+ ,即 ω= + , 6 2 2 3 5 k=1,ω= . 6

k∈Z.因为

?1 ? ω∈?2,1?,k∈Z,所以 ? ?

6π 故 f(x)的最小正周期是 . 5

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(2)由 即

?π ? ?π? y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4 ?=0, ? ? ? ?

?5 π π? π ? × - ?=-2sin =- λ=-2sin 3 4 6 4 ? ? ?5 π? f(x)=2sin?3x- 6 ?- ? ?

2, 2.

即 λ=- 2,所以

故函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2].

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二倍角简单的三角恒等变换_数学_高中教育_教育...文档贡献者 得得的世界 贡献于2014-04-26 ...高中数学 第四章 第6讲... 暂无评价 6页 1下载...