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2016海淀区高三一模数学文科试卷及答案


海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(文科)2016.4
本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合A= ?x ? z | ?2 ? x ? 3? ,B= ?x | ?2 ? x ? 1 ? ,则 A ? B =( A. ??2, ?1,0? ? ?B. ??2, ?1,0,1? ? )

?

C. ?x | ?2 ? x ? 1 ? ?D. ?x | ?2 ? x ? 1? )

2、已知向量 a ? (1, t ), b ? (t ,9) ,若 a ? b ,则t =( A.1? ?B.2?

?

?

? ?

?

C.3?

D.4 )

3.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位) ,则输出的S 值为(

A.-1B.1C.-ID.i

?x ? y ? 2 ? 0 1 ? 4.若x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为( 2 ?y ? 0 ?
A.



5 7 B.3C. D.4 2 2


5.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为(

A.

3 3 2 3 2 6 B. C. D. 3 2 3 3

6、 已知点P ( x0 , y0 ) 在抛物线W:y 2 ? 4 x 上, 且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等, 则 x0 的值为( A. ) C.

1 2

B.1

3 2

D.2

7.已知函数 f ( x) ? ?

?sin( x ? a), x ? 0 ? ,则“ ? ? ”是“函数 f ( x ) 是偶函数“的( 4 ?cos( x ? b), x ? 0



A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列 叙述正确的是( )

A.甲只能承担第四项工作 C.丙可以不承担第三项工作

B.乙不能承担第二项工作 D.获得的效益值总和为78

二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.函数 y ?

2x ? 2 的定义域为_________

10.已知数列 ?an ? 的前n项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 4n ,则 a2 ? a1 =_______. 11. 已知l 为双曲线C:

x2 y 2 ? ? 2 ? 1 的一条渐近线, 其倾斜角为 , 且C 的右焦点为 (2,0) , 2 4 a b

点C的右顶点为_________,则C 的方程为_______. 12.在

1 1 , 2 3.log 3 2 这三个数中,最小的数是_______. 2
5? ) ? f( ? ) ? 2 ,则函数 f ( x) 的单调增区间为 12 12

13.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,若 f (

?

_________ 14.给定正整数k≥2,若从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点,组成一个集合M = ? X1 , X 2 ,? ? ? , X k ? ,均满足 ?X i , X j ? M , ?X s , X t ? M ,使得直线 X i X j ? X s X t ,则k 的所有可能取值是_________ 三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13 分) 在△ABC 中,∠C=

2? ,a ? 6. 3

(Ⅰ)若c=14,求sinA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为3 3 ,求c的值. 16. (本小题满分13 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列,其前n项和为 Sn ,满足 S2 ? a1 ? 0 , a3 ? 12 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 是否存在正整数n, 使得 Sn >2016?若存在, 求出符合条件的n的最小值; 若不存在, 说明理由。 17. (本小题满分14 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证: 平面PBC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M N ∥平面ABCD; (Ⅲ)当AB=3,PA=4时,求点A到直线MN距离的最小值。

18. (本小题满分13 分)

一所学校计划举办 “国学” 系列讲座。 由于条件限制, 按男、 女生比例采取分层抽样的方法, 从某班选出10人参加活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学 的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示。 (I)根据这10名同学的测试成绩,分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;
2 2 2 2 (II)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2

的大小(只需直接写出结果) ; (III)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩 均为优良的概率。 (注:成绩大于等于75分为优良)

19. (本小题满分14 分) 已知椭圆C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且| 2 a b 2

AB|=2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M , N 两点.是否 存在点P使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,说明 理由。 20. (本小题满分13 分) 已知函数f (x) =

(Ⅰ)求曲线 y ? f (x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)求函数f (x)的零点和极值; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ?[a, ??) ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1? x ex

1 成立,求实数 a 的最小值。 e2

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(文科) 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A

C

D

C

A

B

A

B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. [1, ??)

10. 2

11. ( 2,0),

x2 y2 ? ?1 2 2

12.

1 2

13. [?

5π π ? kπ, ? kπ],k ? Z 12 12

6, 7, 8 14. 5,

说明:1.第 9 题,学生写成 x ? 1 的不扣分 2.第 13 题写成开区间 (? 没有写 k ? Z 的,扣 1 分 3. 第 14 题有错写的,则不给分 只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分,两个都写出,没有其它错误的情况之下给 1 分 写出 5,6 中之一的给 2 分,两个都写出,且没有错误的情况之下给 4 分

5π π ? kπ, ? kπ),k ? Z 的不扣分, 12 12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ) 方法一: 在 ?ABC 中,因为

a c ? , sin A sin C

6 14 ? 即 sin A 3 2
所以 sin A ?

3 3 . 14

方法二:过点 B 作线段 AC 延长线的垂线,垂足为 D

因为 ?BCA ?

2π π ,所以 ?BCD ? 3 3
3 BC ? 3 3 2 BD 3 3 ? AB 14

在 Rt ?BDC 中, BD ?

在 Rt ?ABD 中, sin A ? (Ⅱ)方法一: 因为 S ?ABC ?

1 ? a ? b ? sin C . 2

所以 3 3 ?

1 3 ?6? ? b ,解得 b ? 2 . 2 2

又因为 c2 ? a 2 ? b2 ? 2a ? b ? cos C . 所以 c ? 4 ? 36 ? 2 ? 2 ? 6 ? ( ? ) ,
2

1 2

所以 c ? 52 ? 2 13 .方法二:过点 A 作线段 BC 延长线的垂线,垂足为 D 因为 ?ACB ?

2π π , 所以 ?ACD ? . 3 3

又因为 S ?ABC ?

1 ? BC ? AD , 2

即3 3 ?

1 ? 6 ? AD , 2

所以 AD ? 3 , CD ? 1 . 在 Rt ?ABD 中, AB 2 ? BD 2 ? AD 2 . 所以 AB ? 52 ? 2 13 16.解: (Ⅰ) 设数列 ?an ? 的公比为 q , 因为 S2 ? a1 ? 0 ,所以 2a1 ? a1q ? 0 . 因为 a1 ? 0, 所以 q ? ?2, 又因为 a3 ? a1q2 ? 12 , 所以 a1 ? 3 , 所以 an ? 3? (?2)n?1 (或写成 an ? ?

3 ? (?2) n ) 2

说明:这里的 公式都单独有分,即如果结果是错的,但是通项公式或者下面的前 n 项和公 式正确写出的,都给 2 分
n 3? ? ?1 ? (?2) ? ?

(Ⅱ)因为 Sn ?

1 ? (?2)
n

? 1 ? (?2) n .
n

令 Sn ? 2016 , 即 1 ? (?2) ? 2016 ,整理得 (?2) ? ?2015 . 当 n 为偶数时,原不等式无解;
n 当 n 为奇数时,原不等式等价于 2 ? 2015 ,解得 n ? 11 ,

所以满足 Sn ? 2016 的正整数 n 的最小值为 11. 17 解: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC . 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BC . 又 AB ? PA ? A , AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAB .

(Ⅱ)证明: 由(Ⅰ)知,
BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB ,所以 BC ? PB .

在 ?PBC 中, BC ? PB , MN ? PB , 所以 MN / / BC , 又 BC ? 平面 ABCD , MN ? 平面 ABCD , 所以 MN //平面 ABCD . (Ⅲ)解:因为 MN / / BC , 所以 MN ? 平面 PAB , 而 AM ? 平面 PAB ,所以 MN ? AM , 所以 AM 的长就是点 A 到 MN 的距离, 而点 M 在线段 PB 上 所以 A 到直线 MN 距离的最小值就是 A 到线段 PB 的距离, 在 Rt ?PAB 中, AB ? 3, PA ? 4, 所以 A 到直线 MN 的最小值为 18.解: (Ⅰ)设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 x1 , x2 . 则 x1 ?

12 . 5

64 ? 76 ? 77 ? 78 ? 73.75 4 56 ? 79 ? 76 ? 70 ? ?88 ? 87 x2 ? ? 76 6

(Ⅱ)女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. (Ⅲ)设“两名同学的成绩均为优良”为事件 A , 男生按成绩由低到高依次编号为 a1 , a2 , a3 , a4 , 女生按成绩由低到高依次编号为 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , 则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a1 , b5 ) , (a1 , b6 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (a2 , b5 ) , (a2 , b6 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a3 , b3 ) , (a3 , b4 ) , (a3 , b5 ) , (a3 , b6 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (a4 , b3 ) , (a4 , b4 ) , (a4 , b5 ) , (a4 , b6 ) ,
其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法

(a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) , (a2 , b5 ) , (a2 , b6 ) ,

(a3 , b3 ) , (a3 , b4 ) , (a3 , b5 ) , (a3 , b6 ) , (a4 , b2 ) , (a4 , b3 ) , (a4 , b4 ) , (a4 , b5 ) , (a4 , b6 )
所以 P ( A) ?

12 1 ? , 24 2
1 . 2

即两名同学成绩均为优良的概率为 19. 解:

(Ⅰ)由已知 AB ? 2 ,得知 2b ? 2 , b ? 1 ,

又因为离心率为

3 c 3 ,所以 ? . a 2 2

2 2 2 因为 a ? b ? c ,所以 a ? 2,

所以椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)解法一:假设存在. 设 P( x0 , y0 )

x2 ? y 2 ? 1. 4

M (4, m)

N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0

BP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0
4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ? 1, x0 x0

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

所以 MN ? m ? n ? 2 ?

8 , x0

线段 MN 的中点 (4,

4 y0 ), x0

若以 MN 为直径的圆经过点 (2, 0) , 则 (4 ? 2)2 ? (

4 y0 4 ? 0)2 ? (1 ? )2 , x0 x0

因为点 P 在椭圆上,所以

8 x0 2 ? y0 2 ? 1 ,代入化简得 1 ? ? 0 , 4 x0

所以 x0 ? 8 , 而 x0 ? ? ?2, 2? ,矛盾, 所以这样的点 P 不存在. 解法二: 0) . 假设存在,记 D (2, 设 P( x0 , y0 )

M (4, m)

N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0

BP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ? 1, x0 x0

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
为 直 径 , 所 以





MN

???? ? ???? ? DM ? DM ? 0





???? ? ???? DM ? DN ?

(2,

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1) ? (2, ? 1) ? 0 x0 x0

2 ???? ? ???? 16 y02 ? (4 ? x0 )2 DM ? DN ? 4 ? ? 0 因为点 P 在椭圆上,所以 x0 ? y0 2 ? 1 , 所以 2 x0 4

???? ? ???? ?4 x02 ? 8 x0 ? x02 8 x0 ? x02 ? ?0 代入得到 DM ? DN ? 4 ? x02 x02
所以 x0 ? 8 ,这与 x0 ? [ ? 2,2] 矛盾 所以不存在 法三 : 0) , H (4, 0) 假设存在,记 D (2, 设 P( x0 , y0 )

M (4, m)

N (4, n)

由已知可得 A(0,1) B(0, ?1) , 所以 AP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0

BP 的直线方程为 y ?

y0 ? 1 x ? 1, x0 4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ?1 , n ? ? 1, x0 x0

令 x ? 4 ,分别可得 m ?

所以 M (4,

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
所以 DH 2 ? HN ? HM

因为 DH ? MN , 所以 4 ? |

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1| ? | ? 1| x0 x0

所以 4=|

16 y02 ? 16 ? 8 x0 ? x02 x0 2 | 因为点 在椭圆上,所以 ? y0 2 ? 1 , P x02 4

代入得到 4 ?|

8 ? 5 x0 |, x0

解得 x0 ? 8 或 x0 ?

8 9

当 x0 ? 8 时,这与 x0 ? [ ? 2,2] 矛盾 当 x0 ?

8 时,点 M , N 在 x 轴同侧,矛盾 9 x?2 , ex

所以不存在 20.解: (Ⅰ)因为 f '( x) ? 所以 f '(0) ? ?2 . 因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)令 f ( x) ?

1? x ? 0 ,解得 x ? 1 , ex

所以 f ( x) 的零点为 x ? 1 . 由 f '( x) ?

x?2 ? 0 解得 x ? 2 , ex

则 f '( x ) 及 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x )

(??, 2)
?

2 0

(2, ??)

?

f ( x)

?

极小值

?

1 ? 2 e
所以函数 f ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值 ? (Ⅲ)法一:

1 e2

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ? 若 a ? 1 , 由(Ⅱ)可知 f ( x ) 的最小值为 f (2) , f ( x ) 的最大值为 f ( a ) ,所以“对任意

x1 , x2 ? [a, ??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?
即?

1 1 恒成立”等价于 f (2) ? f (a) ? ? 2 2 e e

1 1? a 1 ? a ?? 2 , 2 e e e

解得 a ? 1 . 所以 a 的最小值为 1. 法二:

1? x ?0 . ex 1? x 当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 0 . e
当 x ? 1 时, f ( x) ? 且由(Ⅱ)可知, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ?

1 , e2

若 a ? 1 ,令 x1 ? 2, x2 ? [a,1) ,则 x1 , x2 ? [a, ??) 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f (2) ? ? 所以 a ? 1 . 当 a ? 1 时, ?x1 , x2 ? [1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2) ? ? 综上, a 的最小值为 1.

1 ,不符合要求, e2

1 ,即 a ? 1 满足要求, e2

法三: 当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x ?0 . ex

当 x ? 1 时, f ( x) ?

1? x ? 0. ex 1 , e2

且由(Ⅱ)可知, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ? 若 2 ? [a, ??) ,即 a ? 2 时, 令 x1 ? 2, 则任取 x2 ? [a, ??) , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (2) ? f ( x2 ) ? ?

1 1 ? f ( x2 ) ? ? 2 2 e e

所以 f ( x2 ) ? 0 对 x2 ? [a, ??) 成立, 所以必有 x2 ? 1 成立,所以 [a, ??) ? [1, ? ? ?) ,即 a ? 1 . 而当 a ? 1 时, ?x1 , x2 ? [1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2) ? ?

1 ,即 a ? 1 满足要求, e2

而当 a ? 2 时,求出的 a 的值,显然大于 1, 综上, a 的最小值为 1.


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