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专题


圆锥曲线综合问题(一)
主讲教师:纪荣强 北京四中数学教师 题一: 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 . 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有 2 a b 2
)

四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

x2 y 2 2 2 2 题二: 过双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F ? ?c,0 ? 作圆 x ? y ? a 的切线, 切点 a b
为 E ,延长 FE 交抛物线 y 的离心率为
2
- - ? - ? - - ? 1 - ? 4cx 于点 P , O 为原点,若 OE ? ( OF ? OP ) ,则双曲线 2

.

题三:动圆 P 过定点 F ?1, 0 ? 且与直线 x ? ?1 相切,圆心 P 的轨迹为曲线 C ,过 F 作曲线 C 两条互 相垂直的弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M 、 N . (1)求曲线 C 的方程; (2)求证:直线 MN 必过定点. 题四:已知抛物线 C : y ? 2 x 2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (1)证明:过点 N 与抛物线 C 只有一个交点的直线 l ( l 的斜率存在)与 AB 平行;
- - ?

(2)是否存在实数 k 使 题五:设椭圆 C:

NA ? NB ? 0 ? 若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

- - ?

2 x2 y 2 2 ,且内切于圆 x2 ? y 2 ? 9 . 心率为 的离 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 2 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(1,0)作直线 L(不与 x 轴垂直)与该椭圆交于 M,N 两点,与 y 轴交于点 R, 若 RM ? ? MQ, RN ? ? NQ ,试判断 ? ? ? 是否为定值,并说明理由.
题六:已知直线 2ax ? by ? 1 (其中 a, b 为非零实数)与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点, O 为坐标 原点,且 △ AOB 为直角三角形,则
- - ? - - ? - - ? - - ?

1 2 ? 2 最小值为_____________. 2 a b

第 -1- 页

圆锥曲线综合问题(一)
课后练习参考答案
题一:答案:D 详解:由 题 意 , 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 1 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? x ∵ 以 这 四 个 交 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为 16 , 故 边 长 为 4 , ∴ (2 , 2) 在 椭 圆

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 a b

a2 ? b2 3 4 4 3 ? ? 1 ? , ∴ a 2 ? 4b 2 , ∴ 2 ,∵ 离心率为 ,∴ 2 2 a b a 4 2


a 2 ? 20, b 2 ? 5 ,∴ 椭 圆 方 程 为 :

x2 y 2 ? ?1. 20 5

题二:答案:

1? 5 2

详解:设 双 曲 线 的 右 焦 点 为 F ' , 则 F ' 的 坐 标 为 ( c , 0) , 因 为 抛 物 线 为 y 2 ? 4cx ,
- - ? - ? - - ? 1 - OE ? ( OF ? OP ) 2

所 以 F ' 为 抛 物 线 的 焦 点 O 为 FF ' 的 中 点 , 又 因 为

所以 E 为 FP 的 中 点 , 所 以 OE 为 △ PFF ' 的 中 位 线 , 那 么 OE ∥ PF ' 因 为 OE = a 那 么 PF '=2 a , 又 PF ' ⊥ PF , FF ? ? 2c 所 以 P F ? 2 b, 设 P ? x, y ? , x ? c ? 2a, x ? 2a ? c , 过 点 F 作 x 轴 的 垂 线 , 点 P 到 该 垂 线 的 距 离 为 2 a ,

由勾股定理

y 2 ? 4 a 2 ? 4b 2 , 4 c ? 2 a ? c ? ? 4 a 2 ? 4 ? c 2 ? a 2 ?

得e?

1? 5 2

题三:答案:(1) y 2 ? 4 x ;(2) T ? 3,0? 详解:(1)设 P ? x, y ? ,则有

? x ? 1?
2

2

? y 2 ? x ? 1 ,化简得 y 2 ? 4 x
x A ? xB k 2 ? 2 2 ? , yM ? k ? xM ? 1? ? , 2 2 k k

(2)设 lAB : y ? k ? x ? 1? ,代入 y ? 4 x 得

k 2 x 2 ? 2 ? k 2 ? 2 ? x ? k 2 ? 0 , xM ?
故M ?

? k2 ? 2 2 ? , ? 2 k? ? k
第 -2- 页

因为 AB ? CD ,所以将点 M 坐标中的 k 换成 ?

1 2 ,即得 N ? 2k ? 1, ?2k ? . k

则 lMN

2 k : y ? 2k ? x ? 2k 2 ? 1? ,整理得 ?1 ? k 2 ? y ? k ? x ? 3? , ? 2 k ?2 2k 2 ? 1 ? k2 ?2k ?

故不论 k 为何值,直线 MN 必过定点 T ? 3,0? . 题四:答案:(1)省略;(2)存在 k ? ?2 ,使
- - ?

NA ? NB ? 0

- - ?

2 2 详解:(1)如图,设 A x1 , 2 x1 , B x2 , 2 x2 ,把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2 x 2

?

? ?

?

得 2 x ? kx ? 2 ? 0 ,
2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

k , x1 x2 ? ?1 2

? xN ? xM ?

? k k2 ? x1 ? x2 k ? ,∴N 点的坐标为 ? , ? 2 4 ?4 8 ?

k2 k? ? 设过点 N 的直线 l 的方程为 y ? ? m? x ? ?, 8 4? ?
mk k 2 ? ?0, 将 y ? 2 x 代入上式得 2 x ? mx ? 4 8
2
2

直线 l 与抛物线 C 只有一个交点,

? mk k 2 ? 2 ? ? m2 ? 8 ? ? ? ? m 2 ? 2mk ? k 2 ? ? m ? k ? ? 0 ? m ? k .即 l//AB. 8 ? ? 4
- - ?

(2)假设存在实数 k ,使

NA ? NB ? 0 ,则 NA ? NB ,又 M 是 AB 的中点,

- - ?

? MN ?
由(Ⅰ)知

1 AB . 2

第 -3- 页

? k2 1 1 1 1 ? k2 yM ? ? y1 ? y2 ? ? ? kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 ? ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 4? ? ? 2 ? 2 ? 4? ? 4 ? 2 2 2 2? ? ?
∴ MN ? x 轴,? MN ? y M ? y N ?

k2 k 2 k 2 ? 16 ?2? ? . 4 8 8

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2

? 1? k

2

1 ?k? 1? k2 ? ? ? 4 ? ? ?1? ? 2 2 ? ?

k 2 ? 16

?

k 2 ? 16 1 2 ? k ? 1 k 2 ? 16 ,解得 k ? ?2 . 8 4
- - ?

即存在 k ? ?2 ,使

NA ? NB ? 0

- - ?

x2 9 题五:答案:(1) ? y 2 ? 1 ;(2) ? ? ? ? ? 4 9
详解:(1)因为圆 x 又因为
2

? y2 ? 9 的直径为 6,依题意知 2a ? 6 ,所以 a ? 3 ,

c 2 ? 2 ,所以 c ? 2 2 ,所以 b ? 1 , a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 9
9 .理由如下: 4

(2) ? ? ? 是定值,且 ? ? ? ? ?

依题意知,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,
? ? y ?k ? ? x ?1? ? ? ? ? ? ? 设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , R ?0, y3 ? ,由 ? 2 2 消去 y 并整理, x ? ? y ?1 9 ? ?
2 2 2 2 得 1 ? 9k x ? 18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,

?

?

所以 x1 ? x2 ? 因为 RM
- - ?

18k 2 1 ? 9k 2
- - ?

①,

x1 x2 ?

9k 2 ? 9 ②, 1 ? 9k 2

? ? MQ ,

所以 ? x1 , y1 ? ? ? 0, y3 ? ? ? ? ??1,0 ? ? ? x1 , y1 ? ? ?, 第 -4- 页

? ? x ?? ? ?1? x1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 即? 又 l 与 x 轴不垂直,所以 x1 ? 1 , y1 ? y3 ??? y1 ? ? ?

所以 ? ?

x1 x2 ? x ? x ? ? 2 x1 x2 , x1 x ,同理 ? ? ,所以 ? ? ? ? ? 2 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ? x1 ? x2 ? ? x1 x2
9 ,即 ? ? ? 为定值. 4

将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? 题六:答案:4

详解:因为 ?AOB 为直角三角形,且圆的半径为 1,所以圆心到直线 2ax ? by ? 1

的距离为

1 2 2 2 2 ? ,即 ,整理得到 2a ? b ? 2 , 2 2 2 2 2a ? b

1 2 2a 2 ? b 2 1 4a 2 b 2 1 2 ? ? (2 ? 2 ? 2 ? 2) ? 4 , 所以 2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ) ? a b a b 2 2 b a
所以

1 2 ? 2 最小值为 4. 2 a b

第 -5- 页


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