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江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考数学(文)试题


南昌一中、南昌十中、铁路一中三校联考试题

高三文科数学
命题人:顾健民 审题人:李毅敏 试卷 满分:150 分 考试时间:2014.8.27 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个正确 选项) 1.设全集 U ? Z ,集合 A ? {?1,1, 2}, B ? {?1,1} ,则 A A. {1} B. {2} C. {1, 2}

(CU B) ? (
D. {?1,1}



2.设 A,B 是两个集合,① A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ;② A ? {x | x ? 0} ,

B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x ;

③ A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} , )

f : x ? y ? 3x ? 2 .则上述对应法则 f 中,能构成 A 到 B 的映射的个数为(
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 ) D.

3.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? A. ?

24 25

B. ?

12 25

3 ,则 sin 2? =( 5 12 C. 25

24 25


4.若 cos? ? ? A. 2 3

3 , 且角 ? 的终边经过点 P ( x,2) ,则 P 点的横坐标 x 是( 2
B. ? 2 3
2

C. ? 2 2

D. ? 2 3

5.设命题甲:关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,命题乙:对数函数 在 (0, ??) 上递减,那么甲是乙的( y ? log ( 4? 2 a )x A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x x 3 2 6.已知命题 p : ?x ? R, 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的是

( ) A. p ? q

B. ? p ? q

C. p ? ?q

D. ? p ? ? q

7.把函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? 个单位长度,再把所得图象所有点的横坐标伸长到原 4


来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得函数图象的解析式为(

A. y ? cos x 8.函数 y ?

B. y ? sin x

C. y ? sin( x ? )

?
4

)

D. y ? ? sin x

sin 2 x 的图像大致为( 2 x ? 2? x

9. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间[0,2]上是增函数, 则 ( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)



10.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? 0, f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 (其中

? ? ,设 a ? ? log 1 4 ? f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数) ? 2 ?
则 a, b, c 的大小关系是( A. c ? a ? b )

? ? f ? log 1 4 ? , b ? 2 f ? 2 ?

1? ? 1? ? 2 ?, c ? ? ? lg ? f ? 1g ? , ? 5? ? 5?

B. c ? b ? a

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知函数 f ( x) ? ?

?log 3 x, ( x ? 0) ?2
x

( x ? 0)

,则 f (9) ? f (0) ? _______.

12.已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 3) x ? 3 , x ?[2a ? 3, 4 ? a] 是偶函数,则 a+b=
2



13. 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且 a ? b ? c ? ab ,a ? b ? 2 , c ? 1 ,
2 2 2

则 S ?ABC ?



14. 若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不 是单调函数, 则实数 .

k 的取值范围是
15.给出下列命题:



① 若函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的一个对称中心是 ? ② 函数 f ( x ) ? cos( 2 x ?

?? ? ,0 ? ,则 a 的值为 ? 3 ; ?6 ?

?

) 在区间 [0, ] 上单调递减; 2 2

?

③ 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? ? ) ,若 ? f ( ) ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立,

?

6

则? ?

?
6

或?

5? ; 6

④ 函数 f ( x) ?| sin( 2 x ? 其中正确结论的序号是

?
3

) ? 1 | 的最小正周期为 ? .


三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答题应写出必要的文字说明或演算步骤) 16 . ( 本小题满分 12 分 ) 设关于 x 的函数 f ( x) ? lg(x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A ,函数

g ( x) ? x ? a,(0 ? x ? 4) 的值域为集合 B.
(1)求集合 A, B ; (2)若集合 A, B 满足 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围.

3 2 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0)在x ? ?1 处取得极值, 且 f (1) ? ?1 .

(1)求常数 a, b, c 的值;

(2)求 f ( x ) 的极值.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ?

3 (cos2 x ? sin 2 x) . 2

(1)求 f ?

?? ? ?; ?6?

(2)求 f ( x) 的最大值及单调递增区间.

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,b,c , 且 bn i s (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A, 求 a , c 的值.

A ? 3a c o s B.

20.(本小题 13 分)函数 f ? x ? ? (1)确定函数 f ?x ? 的解析式;

ax ? b 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且 1? x2

?1? 2 f? ?? . ?2? 5

(2)证明 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上是增函数; (3)解不等式 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 0 .

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x .

(I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调 区间; (III)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 a 的取值范围.

南昌一中、南昌十中、铁路一中三 校联考高三文科数学


一.选择题(10×5 分=50 分) 题号 答案 二.填空题(5×5 分=25 分) 11. 12. 三.解答题 1 6. (12 分) 13. 1 2 3 4 5


6


7 8 9 10

14.

15.

17. (12 分)

18. (12 分)

19. (12 分)

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z.xx.k.Com]

20. (13 分)

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

21. (14 分)

[来源:学&科&网]

南昌一中、南昌十中、铁路一中 三校联考高三文科数学

参考答案
一.选择题(10×5 分=50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 A 9 D 10 C

二.填空题(5×5 分=25 分) 11.3 三.解答题 16. (12 分)
2 解: (1)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 3

12.2

13.

3 4

14. [1 ,

3 ) 2

15.①③

∴ A ? (??,?1) ? (3,??) ………3 分 ∴ B ? [ ?a , 4 ? a ] ……………6 分
[来源:学科网 ZXXK]

又 g ( x) ? x ? a 在 x ? [0,4] 上单调递增 (2)∵ A ? B ? B ∴B ? A ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3

………………………………8 分

解得 a ? ?3 或 a ? 5

∴ a ? (?? , ? 3) ? (5 , ? ?) .………………………………12 分

17. (12 分) 解:(1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c, 由已知有 f ?(1) ? f ?(?1) ? 0, f (1) ? ?1,
2

?3a ? 2b ? c ? 0 1 3 ? 即: ?3a ? 2b ? c ? 0 ? ? f '(1) ? 0 ? a ? , b ? 0, c ? ? …………………6 分 ? 2 2 ? f (1) ? ?1 ? a ? b ? c ? ?1 ? ?

? f '(?1) ? 0

1 3 3 x ? x ∴ f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1) 2 2 2 2 2 时, f ?( x) ? 0 当 x<-1 时,或 x>1 时, f ?( x) ? 0,当 ? 1 ? x ? 1 ? f ( x)在(??,?1)和(1,??) 内分别为增函数;在(-1,1)内是减函数.
(2)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? ∴当 x = -1 时,函数 f(x)取得极大值 f(-1)=1; 当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 f(1)=-1 …………………………………12 分 18. (12 分)

解: (1)∵ f ( x) ? (2)当 2 x ?

1 3 ? ? 3 ∴ sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ( 1) f ( ) ? 6 2 2 2 3

……… 4 分

?
3

? 2k? ? 2 ? 2x ?

?

由 2k? ?

?

?

2

即 x ? k? ?

?
12

(k ? Z ) 时, f ( x) 取最大值 1; 5? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 12 12

3

? 2k? ?

?
2

解得 k? ?

∴ f ( x)的最大值是 1,增区间是??

? ? 5? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z …………12 分 12 ? 12 ?

19. (12 分) 解: (1)

? a b ? , 得 sin B ? 3 cos B .所以 tan B ? 3, 所以 B ? …………… 6 分 3 sin A sin B a c ? , 得 c ? 2a . (2) 由 sin C ? 2 sin A 及 (1) sin A sin C
2 2 2 2 2 由 b ? 3 及余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 9 ? a ? c ? ac .

所以 a ? 3, , c ? 2 3 ……………………12 分

20. (13 分) 解: (1)由已知 f ? x ? ?

ax ? b 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数, 1? x2 0?b ? 0, ? b ? 0 . ? f ?0? ? 0 ,即 1? 0

?1? 2 又? f ? ? ? ,即 ?2? 5
? f ?x ? ? x . 1? x2

1 a 2 2 ? ,? a ? 1 . 2 5 ?1? 1? ? ? ?2?
………………… 4 分

(2)证明:对于任意的 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ?
2 1

?x1 ? x2 ? ? x1 x2 ?x2 ? x1 ? ?x1 ? x2 ??1 ? x1 x2 ?

2 x1 x2 x1 1 ? x 2 ? x 2 1 ? x12 ? ? 2 2 1 ? x12 1 ? x 2 1 ? x12 1 ? x 2

?

?

?

??

?

?

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 2

?

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , ? x1 ? x2

?1 ? x ??1 ? x ? ?x x ? 0, ?1 ? x ??1 ? x ? ? 0 ,
2 1 2 2

2 1

2 2

1 2

? 1,?1 ? x1 x2 ? 0 .

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? .
∴ 函数 f ( x ) ?

x 在 ?? 1,1? 上是增函数 ……………… 8 分 1? x2

(3)由已知及(2)知, f ( x) 是奇函数且在 ?? 1,1? 上递增,

f ?x ? 1? ? f ? x ? ? 0 ? f ? x ? 1? ? ? f ?x ? ? f ? x ? 1? ? f ?? x ? ? ? ?? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 1 ? ? ? ? ? 1 ? x ? 1 ? ?? 1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? x ?1 ? ?x ? x?1 ? ? 2 ? ?
∴ 不等式的解集为 (0, ) ……………………13 分

1 2

21. (14 分) 解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f '( x) ? 1 ?

1 ( x ? 0) , f (1) ? 1 , f '(1) ? 2 ………… 2 分 x

所以切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ………………………… 4 分 (II ) f '( x) ?

x?a ( x ? 0) x

……………………………5 分

当 a ? 0 时,在 x ? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;……6 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下:

x
f '( x )

(0, ?a )

?a
0 极小值

( ?a, ??)
+ ↗

?


f ( x)

………………………………………8 分 (III)由(II)可知 ①当 a ? 0 时, (0, ??) 是函数 f ( x) 的单调增区间,

且有 f (e

?

1 a)

?e

?

1 a

? 1 ? 1 ? 1 ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 ,所以,此时函数有零点,不符合题意;

(或者分析图像 x ? ?a ln x , a ? 0 ,左是增函数右减函数,在定义域 (0,??) 上必有交点, 所以存在一个零点) ②当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上没零点; ③当 a ? 0 时, f (?a) 是函数 f ( x) 的极小值,也是函数 f ( x) 的最小值, 所以,当 f ( ?a ) ? a(ln( ?a ) ? 1) ? 0 ,即 a ? ?e 时,函数 f ( x) 没有零点综上所述,当 ?e ? a ? 0 时, f ( x) 没有零点. ………………… 14 分


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