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高考数学知识点 江苏


高中数学 第一章 1.集合的概念

集合

(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念, 它是指某些指定对象 的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,它具有三个性质, 即确定性、无序性和互异性. (2)根据集合所含元素个数的多少,集合可分为有限集、无限集和 空集;根据集合所含元素的性质,集合又可为点集、数集等.空集是 不含任何元素的集合,用 ? 表示. (3)我们约定用 N 表示自然数集,用 N? 表示正整数集,用 Z 表示整 数集,用 Q 表示有理数集,用 R 表示实数集. (4)集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图). 2.集合间的基本关系 (1)集合与元素的关系 表示元素和集合之间的关系,有属于“ ? ”和不属于“ ? ”两种
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情形. (2)集合与集合之间的关系 集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系. 若有限集 A 中有 n 个元素,集合 A 的子集个数为 2n ,非空子集的 个数为 2 n ? 1 ,真子集的个数为 2 n ? 1 ,非空真子集的个数为 2n ? 2 . 3.集合的运算 集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中常用的结论 .① A ? B ? A B ? A ; ② A? B ? A B ? B. 高中数学 第二章 函数 一、函数的概念 (1)函数的定义 设 A,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那 么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y ? f ( x), x ? A . 其中 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相 对应的 y 的值叫做函数值, 函数值的集合 ? f ( x) | x ? A? 叫做函数的值域. 值域是集合 B 的子集. ③?映射:设 A,B 是两个集合,如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有唯一确定的元素和它 对应, 那么这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射, 记作 f : A ? B . 函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应:一对一, 多对一. (2)函数的三要素:定义域、对应关系及值域称为函数的三要素 . 在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系, 定义域及对 应关系确定了,这个函数就唯一确定了. (3)相等函数:定义域相同,并且对应关系完全一致的两个函数就 称为相等函数. 2.函数的表示方法 函数的表示方法主要有三种:解析法、图象法、列表法.
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分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析式,这样的函数称为 分段函函数的性质 二、函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变 量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数 y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单 调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数: f (? x) ?
f ( x)

设( a, b )为偶函数上一点,则( ?a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ?
f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,

f ( x) ? 1. f (? x)

⑵奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 设( a, b )为奇函数上一点,则( ? a,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数.

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②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x) ? 0 时,
y轴对称 8. 对称变换:①y = f(x) ?? ? ?? y ? f(? x) x轴对称 ②y =f(x) ?? ? ?? y ? ? f(x)

f ( x) ? ?1 . f (? x)

③y =f(x) ?原点对称 ?? ?? y ? ? f(? x) 9. ⑴熟悉常用函数图象: 例: y ? 2|x| → | x | 关于 y 轴对称 .
?1? y?? ? ? 2?


?1? y?? ? ? 2?

| x ? 2|

1? → y?? ? ? → ? 2?

| x|

| x ? 2|



y

y



y

(0,1)
x

(-2,1)
x

x



y ?| 2 x 2 ? 2 x ? 1 | → | y | 关于 x 轴对称.

y

x

⑵熟悉分式图象: 例: y ? 2 x ? 1 ? 2 ?
x ?3 7 ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , x ?3


y

2 x 3

值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数 指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
x

a>1

0<a<1

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4.5
4.5

4
4

3.5

3.5

3

3


-4 -3 -2 -1

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-0.5



-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时, y>1;x<0 时, (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. 0<y<1 (5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数

对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算: (四)方法总结 ⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算:

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loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: loga N ?

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an

高中数学 第三章 导数 1、导数的概念。 2、导数的几何意义:导数 f'(x0)的几何意义就是曲线 y=f(x)在点 p(x0,f(x0))处的_斜率__。 3、. 几种常见的函数导数: 4、
C' ? 0



C

为常数)
(cos x) ' ? ? sin x
(loga x) ' ? 1 loga e x

' ( s i x)n ? c o xs

( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R )

II.

(ln x) ' ?

1 x

(e x ) ' ? e x

(a x ) ' ? a x ln a

5、 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

6、

函数的单调性与导数的关系
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一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间 (a , b ) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 单调递增 调递减 7. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负”, 则 x0 是 f ( x) 的 极大值点; , f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满 极小值. ;如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 单

足“左负右正”,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是 8.解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) . (2)求方程 f′(x)=0 的根.

(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区 间,并列成表格.检查

f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个
根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值; 如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 9.求函数最值的步骤:(1)求出 f ( x) 在 (a, b) 上的极值.(2)求出端 点函数值 f (a), f (b) . (3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值. 高中数学 第四章 数列 等差数列 等比数列
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定义 递 推 公式 通 项 公式 中项

a n ?1 ? a n ? d

a n ?1 ? q ( q ? 0) an

a n ? a n ?1 ? d

; a n ? a m?n ? md

a n ? a n ?1 q

; a n ? a m q n ?m

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

A?

a n?k ? a n? k 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0)

( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 前n项 和 重 要 性质
am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

( n, k ? N * , n ? k ? 0 )
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1 ? q 1? q ?

Sn ?

n (a1 ? a n ) 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?

?

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

1. ⑴等差、等比数列:

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① an ? an?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
① 2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的 k2
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倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n?n ?N
?

? ,则 S 偶?S 奇 ? nd,

S奇 S偶

?

an a n ?1 ;
S偶 n n ?1

S奇 ③若等差数列的项数为 2n ? 1?n ?N ? ? , 则 S 2n ?1? ?2n ? 1?a n , 且 S 奇 ? S 偶 ?a n , ?

? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

3. 常用公式:①1+2+3 ?+n = n?n ? 1?
2

② 12 ?2 2 ?32 ? ?n 2 ? n?n ? 1??2n ? 1?
6
n?n ? 1?? ③ 1 ?2 ?3 ?n ? ? ? 2 ? ? ?
3 3 3 3
2

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,? ? an ? 10n ?1 ; 5,55,555,?
? an ? 5 n 10 ? 1 . 9

?

?

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增 长率为 r ,则每年的产量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为
a(1 ? r ) n ?1 ,且过 n 年后总产量为:
a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元, 利息为 r , 每月利息按复利计算, 则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:
a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =
a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

⑶分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款 全部付清; r 为年利率.
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a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ?1 ? x?1 ? r ?m? 2 ? ...... x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ?

x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

5. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取 最大值时的 n 值,有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 , 成立的 n 值; 二是由 S n ? d n 2 ? (a1 ? d )n 利用二次函
2 2

数的性质求 n 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减 求和. 例如: 1? 1 ,3 1 ,...( 2n ?1)
2 4 1 2n ,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列, 此等差数列的首 项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最 小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法: 对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an?1 (
an (2)通项公式 ) 为同一常数。 an?1

2 法。(3)中项公式法:验证 2an?1 ? an ? an?2 (an ?1 ? an an? 2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时, 满足 ?
?am ? 0 的项数 m 使得 sm 取最大值 . (2) 当 a1 <0,d>0 时,满足 ?am?1 ? 0

?am ? 0 的项数 m 使得 sm 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时, ? ?am?1 ? 0

注意转化思想的应用。
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(三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列 的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?
? c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差 ? an an?1 ?

数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列,?bn ? 是各项 不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5) 6)
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

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高中数学第五章-三角函数 三角函数 知识要点 1. 角 度 与 弧 度 的 互 换 关 系 : 360 ° =2 ? 180 ° = ? 1 ° =0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为 零. 2、弧度与角度互换公式: ˊ. 1°=
?
180

1rad = 180 ° ≈ 57.30 ° =57 ° 18
?

≈0.01745(rad) 扇形面积公式: s扇形 ? lr ? |? | ? r 2
y a的 终边
P( x,y) r

3、弧长公式: l ?| ? | ?r .

1 2

1 2

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边 上任取(异于原点的)一点 P(x,y)P 与原点 的距离为 r,则
cot? ? x; y

y sin ? ? ; r

x cos ? ? r



y tan ? ? ; x

o

x

sec ? ?

r r ;. csc? ? x y

.

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线: MP; 余弦线: OM;

16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

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cosx>sinx |sinx|>|cosx|

? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

正切线: AT.

7. 三角函数的定义域: 三角函数
f ( x) ? sinx f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx

定义域
?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ?
tan ? ? cot ? ? 1
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

cos ?

? tan ?

cos ? ? cot ? sin ?

9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系

公 公式组三 公式组一
sinx?cscx=1 cosx?secx=1 tanx?cotx=1 tanx=
sin x cos x







sin2x+cos2x=1 1+tan x =sec x 1+cot2x=csc2x
2 2

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x

cos x x= sin x

sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x

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公式组四
sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot( ? ? x) ? cot x

公式组五
sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x sin( ? ? x) ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? ? tan x cot(? ? x) ? ? cot x

公式组六

(二)角与角之间的互换 公式组一
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

公式组二
cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?

tan 2? ?
sin

2 tan? 1 ? tan 2 ?
1 ? cos? 2 ?? 1 ? cos? 2

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
tan

cos

?
2

tan(? ? ? ) ?

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

公式组三
1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2

1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2

1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2

sin 15? ? cos75? ?

6? 2 4

, sin 75

?

? cos15? ?

6 ? 2 , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 4

.

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10.三角函数的图象与性质

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高中数学第六章-平面向量 2.向量的概念 (1) 向量的基本要素:大小和方向 .
AB ;字母表示:a;

(2) 向量的表示:几何表示法

坐标表示法 a=xi+yj=(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O. 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1. (5) 相等的向量:大小相等,方向相同
? x ? x2 ?? 1 ? y1 ? y 2

( x 1 , y 1) =( x 2 , y 2 )

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量 . 记作 a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算

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运算类 几何方法 型
a?b ? b?a

坐标方法

运算性质

向量的 加法 向量的

1.平行四边形法则 2.三角形法则
a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
AB ? BC ? AC

a ? b ? a ? (?b)

三角形法则 减法 1. ? a 是一个向量 , 满 足: | ? a |?| ? || a | 数 2. ? >0 时 , ? a与a 同 乘 向; 向
? <0 时 , ? a与a 异

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

AB ? ? BA , OB ? OA ? AB

?(? a) ? (??)a
? a ? (? x, ? y)
(? ? ? )a ? ? a ? ? a

?(a ? b) ? ? a ? ?b
a // b ? a ? ?b

量 向;
? =0 时, ? a ? 0 .

向 量 的 数 量 积 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理
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a ? b 是一个数

a ?b ? b? a
(? a) ? b ? a ? (?b) ? ?(a ? b)

1. a ? 0或b ? 0 时,
a ?b ? 0 .

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2
2

2.

a ? 0且b ? 0时, a b ?| a || b | cos(a, b)

| a ? b |?| a || b |

e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内
任一向量,有且仅有一对实数λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b ? a?b=O ? x1x2+y1y2=O.
(4)求两向量的数量积常有三种途径: (1)利用数量积的原始定义; (2)坐标化 (3)转化为基向量

(5)正、余弦定理 正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C

余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,

b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.
附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. ⑻△ABC 的判定:
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c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC

2

为钝角△ ? ∠A + ∠B< ? 为锐角△ ? ∠A + ∠B> ?
cosC ? a ?b ?c 2ab
2 2 2

2 2

附 : 证 明 :

, 得 在 钝 角 △ ABC

中 ,

c o C? s 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

高中数学第七章-立体几何 点、直线、平面之间的关系 (一)、立体几何网络图:
⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行

⒁ 面面垂直

1、线线平行的判断: (1)、平行于同一直线的两直线平行。 (2)、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行。 (3)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 平行。 (4)、垂直于同一平面的两直线平行。
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2、线线垂直的判断: (1)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直。 (2)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那 么它和这条斜线的射影垂直。 (3)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的 另一条。 3、线面平行的判断: (1)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行。 (2)、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

判定定理:

性 质 定

理:

★判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法): l I ? ? ? ,则 l ∥α (用于判断);
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⑵ 利用判定定理:线线平行 ⑶ 利用平面的平行:面面平行

线面平行 (用于证明); 线面平行 (用于证明);

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行 ( 用 于判断)。 2 线面斜交和线面角: l ∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角): 若直线与 平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ 。 2.2 线面角的范围:θ ∈[0°,90°] 注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ =0°; 图 2-3 当直线垂直于平面时,θ =90° 4、线面垂直的判断: (1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这 个平面。 (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直 于这个平面。 (3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个 平面。 (4)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂 直于另—个平面。
线面角

判定定理:
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性质定理:

(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。 即: (2)垂直于同一平面的两直线平行。 即:

★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义,用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线, 则另一条直线也垂直 与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该 直线垂直于另一平面。 5、面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面, 这两个平面平 行。
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⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 判 定 定 理:

性质定理: ⑴ 若两面垂直, 则这两个平面的二面角的平 面 角 为 90°; (2)

(3)
图 2-10 面面垂直性质 2

(4 )

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图 2-11 面面垂直性质 3

(二)、其他定理: (1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③ 相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ; 直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是 它的特殊情况) ; 平面与平面的位置关系: 相交 ;; 平行 ; (3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两 个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么 这两组直线所成的锐角(或直角)相等; 四、 空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题, 尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化 为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围: 0 o ? ? ? 90o ; (2) 线面所成的角: ①线面平行或直线在平面内: 线面所成的角为 0 o ; ②线面垂直:线面所成的角为 90o ; ③斜线与平面所成的角:范围 0 o ? ? ? 90o ;即也就是斜线与它在平面 内的射影所成的角。 线面所成的角范围 0o ? ? ? 90o
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五、距离的求法: (1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段 的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首 先要找到表示距离的线段,然后再计算。 注意:求点到面的距离的方法: ①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在 的平面上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式。 (2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离, 关键是找出或构造出这个平面;③转化为面面距离; (3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距 离常常相互转化; (4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的 角为 ? ,它们公垂线段 AA ' 的长为 d ,在 a , b 上 分别取一点 E , F ,设 A' E ? m , AF ? n ; 则 EF ? d 2 ? m2 ? n 2 ? 2mncos? (如果 ?E ' AF 为锐角,公式中取负号,如果 ?E ' AF 为钝, 公式中取正号)
A’ E’ F E

a

A

?

?
b

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高中数学第八章-直线与圆 1。直线的倾斜角和斜率: (1)直线的倾斜角:直线向上的方向和 x 轴正方向所成的最小正 角。其范围是 [0, ? ) (2)直线的斜率:不是 900 的倾斜角的正切值,即 k=tan ? , 若直线经过两点( x1,y1 ) ,(x2 ,y2), 则该直线的斜率为 k=
( x1 ? x 2) .

y2 ? y2 y2 ? y2

注:直线都有倾斜角,但不一定有斜率(当直线与 x 轴垂直时, 斜率不存在)。 它们的关系是 k=tan ? , ?
? [0, ? ) ,即

k 是 ? 在 [0, ? ) 和 ( ? , ? ) 上的增函
2 2

数。已知倾斜角可求斜率,已知斜率也可求倾斜角,有时会用到 反三角的知识。 2、直线方程的五种形式:
k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ).

(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 ( x1 ? x2 )). (4)截距式
x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 )

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
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3、两条直线位置关系的判定: (1)两条直线的位置关系:平行;重合;相交。 (2 ) 若两直线的方程都是斜截式 (斜率都存在) , 即: 若 l1 : y ? k1x ? b1 ,
l2 : y ? k2 x ? b2 可以利用以下结论判断:

① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l 1 与 l 2 重合 ? k1 ? k 2 且 b1 ? b2 ③ l 1 与 l 2 相交 ? k1 ? k 2 . 注:相交中特殊情况: l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ( 3 ) 、 若 两 直 线 的 方 程 是 一 般 式 :
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,

则采用以下结论判断:
A1 B 2 ① l 2 // l 2 ? ? ? ? A2 B1 ? 0 ?B1 C 2 ? B 2 C1 ? 0或 A1 C 2 ? A2 C1 ? 0
? A2 B1 ? 0 . ? B1 C 2 ? B 2 C1 ? 0
A1 B 2 ? A2 B1 ? 0

.

A1 B 2 ② l 1 与 l 2 重合 ? ? ?

③ l 1 与 l 2 相交 ?

注:相交中特殊情况: l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 4、点到直线的距离: 1、已知点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). 点到直线的距离公式为: d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

2 、 若 两 平 行 线 间 距 离 公 式 : 若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 与
l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 平行,

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则两平行线间距离为: d ? 5、 圆与方程 1、圆的方程

A x0 ? B y ? C
0 2 A ?B 2



(1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F >0). 引申: 圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的 端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). (3).圆的性质: (1) 圆具有十分完美的对称性(中心对称,轴对称)。 (2) 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上。 (3) 半径,弦心距,半弦长构成了直角三角形。 (4)点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

6、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 其中 d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

7、两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;
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d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.

高中数学第九章-圆锥曲线

注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定义 双曲线 抛物线

1.到两定点 F1,F2 1.到两定点 F1,F2 的距离之和为定 的距离之差的绝

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值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹

对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹

2.与定点和直线 2.与定点和直线 的距离之比为定 的距离之比为定

与定点和直线的距 离相等的点的轨 迹.

值 e 的点的轨迹. 值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 图形 标 方 准 方 程 程 参 数 方 程 范围 中心 顶点 ─a?x?a, ─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─ a,0), (0,b) , (0,─b) 对称轴 x 轴,y 轴; x 轴,y 轴;
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(e>1)

x2 y2 ? ? 1( a ? b > a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b a2 b2

y2=2px

0)
? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)

>0)
? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

x?0

(0,0)

x轴

长轴长 2a,短轴长 实轴长 2a, 虚轴 2b 焦点 F1(c,0), F2(─ c,0) 焦距 离心率 准线 渐近线 焦半径 通径
r ? a ? ex

长 2b. F1(c,0), F2(─ c,0)
p F ( ,0 ) 2

2c (c= a 2 ? b 2 ) 2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (0 ? e ? 1) a e? c (e ? 1) a

e=1
x?? p 2

a2 x= ? c

a2 x= ? c

y=± x
r ? ?(ex ? a)
r ? x? p 2

b a

2b 2 a

2b 2 a

2p

焦参数

a2 c

a2 c

P

高中数学第十章-不等式 一、一元二次不等式的解法
2 一 元 二 次 不 等 式 ax ? b? x 0 ? c( ? a 0与 ) 相 应 的 函 数 、相应的方程 y ? a2 x ? b ? ( x c0 ? a ) ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间的关系: 判别式

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象

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一元二次方程

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

有两相异实 有两相等实根
x1 , x2 ( x1 ? x2 )
1 2

x1 ? x 2 ? ?

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ??x x ? ? b ?
? ? ? 2a ?

b 2a

无实根 R
?

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

二、线性规划 1、直线 y ? kx ? b 把平面分成两个区域
y ? kx ? b 表示直线 y ? kx ? b 表示直线

的区域 的区域

2、选点法 3、利用图解法解线性规划问题的一般步骤 (1) 写出可行解的不等式组,画出可行区域 (2) 建立目标函数,作出目标函数的等值线 (3) 在可行区域内平移目标函数等值线,确定最优 三、基本不等式 1.基本不等式 ab≤

a+b

2 (1)基本不等式成立的条件:__________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号.

2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥________(a,b∈R). (2) + ≥______(a,b 同

b a a b

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号).
?a+b?2 ? (a,b∈R). (3)ab≤? ? 2 ?

(4)

a2+b2 ?a+b?2
2 ≥?

? (a,b∈ ? 2 ?

R). 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为________,几何平均数为 ________ , 基 本 不 等 式 可 叙 述 为 : ________________________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当________时, x+y 有最小值 是________.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最______ 值是 .(简记:和定积最大) 4

p2

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