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同济大学高等数学第六版上第一章第九节 连续函数的运算和初等函数的连续性_图文

连续函数的运算与初等 函数的连续性
一、连续函数的四则运算的连续性
定理1
若函数 f ( x ), g ( x ) 在点 x 0 处连续 , f ( x ) ? g ( x ), f (x) g( x) 在点 x 0 处也连续 . ( g( x0 ) ? 0)

则 f ( x ) ? g ( x ),

例如, sin x , cos x 在 ( ?? , ?? )内连续 ,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .

二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.

例如, y ? sin x 在 [ ?

? ?
, 2 2

]上单调增加且连续

,
.
; .

故 y ? arcsin x 在 [ ? 1 ,1 ]上也是单调增加且连续
同理 y ? arccos x 在 [ ? 1 ,1 ]上单调减少且连续 y ? arctan

x , y ? arc cot x 在 [ ?? , ?? ]上单调且连续

反三角函数在其定义域内皆连续.

定理3

若 lim ? ( x ) ? a , 函数 f ( u ) 在点 a 连续 ,
x ? x0 x ? x0

则有 lim f [ ? ( x )] ? f ( a ) ? f [ lim ? ( x )].
x ? x0



? f ( u ) 在点 u ? a 连续 ,

? ? ? 0 , ? ? ? 0 , 使当 u ? a ? ? 时 , 恒有 f ( u ) ? f ( a ) ? ? 成立 .
又 ? lim ? ( x ) ? a ,
x ? x0

对于 ? ? 0 , ? ? ? 0 , 使当 0 ? x ? x 0 ? ? 时 ,

恒有 ? ( x ) ? a ? u ? a ? ? 成立 .

将上两步合起来:
? ? ? 0 , ? ? ? 0 , 使当 0 ? x ? x 0 ? ? 时 ,
f ( u ) ? f ( a ) ? f [? ( x )] ? f ( a ) ? ? 成立 .

? lim f [? ( x )] ? f ( a ) ? f [ lim ? ( x )].
x ? x0

x ? x0

意义

1.在定理的条件下,极限符号可以与函数符 号互换,即极限号可以穿过外层函数符号直 接取在内层,
2 .变量代换 ( u ? ? ( x )) 的理论依据 .



1.定理的条件:内层函数有极限,外层函数 在极限值点处连续
2 .将 x ? x 0 换成 x ? ? 可得类似的定理

例1 求 lim x ?0

ln(1 ? x ) x

.
1

解 原式 ? lim ln( 1 ? x ) x x? 0
1

? ln[ lim ( 1 ? x ) x ] ? ln e ? 1 .
x? 0

例2 解

求 lim
令 e
x

e ?1
x

x?0

.
则 x ? ln( 1 ? y ),

x

? 1 ? y,

当 x ? 0时 , y ? 0 .

原式 ? lim

y ln( 1 ? y )

? lim

1
1

? 1.

y? 0

y? 0

ln( 1 ? y )

y

同理可得

lim

a

x

?1 x

x? 0

? ln a .

定理4

设函数 u ? ? ( x ) 在点 x ? x 0 连续 , 且 y ? f [ ? ( x )] 在点 x ? x 0 也连续 .

? ( x 0 ) ? u 0 , 而函数 y ? f ( u ) 在点 u ? u 0 连续 , 则复合函数

注意

定理4是定理3的特殊情况.
1 在 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ? ? )内连续 , x y ? sin u 在 ( ?? , ? ? )内连续 ,
? y ? sin 1 x 在 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ? ? )内连续 .

例如, u ?

三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.



指数函数

y ? a

x

(a ? 0, a ? 1)
;

在 ( ?? , ?? )内单调且连续



对数函数

y ? log

a

x

(a ? 0, a ? 1) ;

在 ( 0 , ?? )内单调且连续



y ? x

?

? a

? log a x

y ? a ,
u

u ? ? log

a

x.

在 ( 0 , ? ? )内连续 ,

讨论 ? 不同值 ,

(均在其定义域内连续 )

定理5
定理6 续的.

基本初等函数在定义域内是连续的.
一切初等函数在其定义区间内都是连

定义区间是指包含在定义域内的区间.

注意
例如,
y ?

1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
y ? cos x ? 1 ,
D : x ? 0 ,? 2 ? ,? 4 ? , ?

这些孤立点的邻域内没有定义.
x ( x ? 1) ,
2 3

D : x ? 0 , 及 x ? 1,

在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [ 1 , ?? ) 上连续 .

注意
x ? x0

2. 初等函数求极限的方法代入法.
( x0 ? 定义区间 )

lim f ( x ) ? f ( x0 )

例3 求 lim ln sin x
x?

?

2

解 y ? ln sin x 是初等函数

它的一个定义区间是 ( 0 , ? )
? lim ln sin x ? ln sin
x?

而 x0 ?

?
2

? ( 0 ,? )

?
2

?

? 0

2

例4 求 lim

1? x ?1
2

x?0

.
2

x
( 1 ? x ? 1 )( 1 ? x ? 1 )
2



原式 ? lim

x? 0

? lim

x ( 1 ? x ? 1) x 0
2

x? 0

1? x ?1
2

?

? 0.

2

例5 求 lim arcsin( x x 2 ? 1 ? x 2 )
x ? ??



当 x ? ?? 时, x

x ? 1和 x 都 ? ??
2 2

不能应用差的极限运算法则,须变形 ——先分子有理化,然后再求极限
x? ??

lim ( x
x(

x ?1? x )
2 2

? lim
? lim

x ? 1 ? x )(
2 2

x ? 1 ? x)
2

x ? ??

x ?1? x
x x ?1? x
2

x ? ??

? lim

1 1? 1 x
2

x ? ??

?1

?

1 2

?

x ? ??

lim arcsin( x

x ?1? x )
2 2

? arcsin[ lim ( x
x ? ??

x ? 1 ? x )]
2 2

? arcsin

1 2

?

?

6

四、小结
连续函数的和差积商的连续性.
反函数的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.

思考题
设 f ( x ) ? sgn x , g ( x ) ? 1 ? x , 试 研
2

究 复 合 函 数 f [ g ( x )] 与 g [ f ( x )] 的 连 续 性 .

思考题解答
? ?

? ? 1, ? 2 f ( x ) ? ?0, g( x) ? 1 ? x ?1, ? 2 f [ g ( x )] ? sgn( 1 ? x ) ? 1

x ? 0 x ? 0 x ? 0

f [ g ( x )] 在 ( ?? , ?? ) 上 处 处 连 续

g [ f ( x )] ? 1 ? ? sgn x ?

2

? 2, ? ? ?1,

x ? 0 x ? 0

g [ f ( x )] 在 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) 上 处 处 连 续

x ? 0 是它的可去间断点


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