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高等数学-不定积分的计算 习题课


练习

1. 下列各题求积方法有何不同?

x d( ) d x ? dx d(4 x) 2 1 ? ?? ( 2) ? (1) ? ? 2 2 x 2 ? 4? x ? 4 x 4? x 1 ( 2) 2 x d ( 4 ? x ) 1 (3) ? d x ? 2? 2 4? x 4 ? x2 x2 4 ? ? [ ] (4) ? d x 1 dx ? 2 2 4? x 4? x dx 1 1 (5) ? ? 2 2? x 2? x 4? x dx ? ? d( x ? 2) (6) ? 4x ? x2 4 ? ( x ? 2) 2

2. 求 提示:

法1 法2
法3

(x ? ) ? x
1 10

10

10

dx

10

? 1 d x ?10 10

练习
dx (1) ? 4? x

1. 下列各题求积方法有何不同?

dx ( 2) ? 4 ? x2
x2 (4) ? dx 2 4? x

x (3) ? dx 2 4? x dx (5) ? 4 ? x2
2. 求

(6) ?

dx 4x ? x2

2. 已知
解: 两边求导, 得

求 则

1 (令 t ? ) x

(1

) ?1

??

(代回原变量)

2 ? 2 sin x cos x 1 sin x 2. 求不定积分 ? d x. 2 2 ? sin x 解: 利用凑微分法 , 得

原式 =

?

1 ? sin 2 x 2 ? d(1 sin x) 2 2 ? sin x

令 t ? 1 ? sin 2 x

2t 2 1 ?? d t ? 2 ? (1 ? )dt 2 2 1? t 1? t ? 2t ? 2 arctan t ? C ? 2 [ 1 ? sin 2 x ? arctan 1 ? sin 2 x ]? C

(1 ? x 2 ) 1 ? x 解: 令 x ? sin t , 1 ? x 2 ? 1 ? sin 2 t , d x ? cos td t cos t 原式 ? ? dt 2 (1 ? sin t ) cos t 分子分母同除以 cos 2 t

3. 求不定积分 ?

1

d x . 2

1 2

2 1 2x ? ?C arctan 2 1 ? x2

备用题. 求不定积分 ?

xe x dx . x ? e 1

解: 方法1 (先分部 , 再换元) x xe ? e x ? 1 dx .

d (e x ? 1)

- 2ò e x - 1 dx

2u x= 则 = 令u e 1, d x du 2 1+ u 2+ u 1 1 - 4(u - arctanu) + C 4 - 4 e x - 1 + 4 arctan e x - 1 + C

方法2 (先换元,再分部)
令 u ? e x ? 1 , 则 x ? ln(1 ? u 2 ) ,



?

xe x ? d x ex ?1
2 ? ?1 u 1

? 2u ln(1 ? u 2 ) ? 4?

1? u

2

du

? 2 x e x ? 1 ? 4 e x ? 1 ? 4 arctan e x ? 1 ? C

例25. 求
解: 原式 ? ?

dx ( x ? 1)3 ( x ? 1) 2 ? 1

令 x ?1 ? 1 t

??

2 t3 1 t (? 2 ) d t ? ? ? d t 1 ?1 2 t 1 ? t t2

??

(1 ? t 2 ) ? 1 1? t
2

d t ? ? 1? t d t ? ?
2

1 1? t2

dt

?
?

1t 2

? arcsin t ? C 1? t ? 1 arcsin t 2
1 ?C ?1 arcsin 2 x ?1

2

1 x2 ?2x 2 ( x ?1) 2

例14. 求
u u 解: 令 u ? ln x , 则 x ? e , dx ? e d u

原式 ? ? e3 u u 4 ? eu d u ? ? u 4 e 4 u d u

u4

?

4 u3
1 e 4u 4

?

12 u 2
1 e 4u 42

24 u ?
1 e 4u 43

?

24
1 e 4u 44

?

0

??

e

4u

1 e 4u 45

1 4u 4 3 3 3 2 3 ? u ? u u ? u 原式 = e ? ? ?? C 4 8 4 32 1 4 3 2 3 3 4 3 ?? C ? x ? ln x ? ln x ? ln x ? ln x ? 4 4 8 32

例13. 求 I ? ? sin ( ln x) dx 解: 令 则 x ? et , d x ? et d t

\ I ? ? e t sin t d t
sin t e
t

cos t ? t e

? sin t ? ?? et

? et sin t ? ? et cos t d t

? et (sin t ? cos t ) ? I 可用表格法求 1 t \ I ? e (sin t ? cos t ) ? C 多次分部积分 2 1 ? x [sin(ln x) ? cos(ln x)] ? C 2

例12. 求 I ? ?

earctan x
3

(1 ? x 2 ) 2 解法1 先换元后分部 令 t ? arctan x , 即 x ? tan t , 则 et I ? ? 3 ? sec 2 t d t ? ? e t cos t d t sec t ? e t sin t ? ? e t sin t d t

dx .

1 ? x2

? e t sin t ? e t cos t ? ? e t cos t d t 故 I ? 1 (sin t ? cos t ) e t ? C 2 1 ? x ? 1 ? arctan x e ?C ? 2 2 1? x ? ? 2? ? 1? x

x

t 1

解法2

用分部积分法 e arctan x I ?? dx 3 1 (1 ? x 2 ) 2 I ?? d e arctan x 1 ? x2 arctan x 1 arctan x xe ? e ? dx 3 2 ? 1? x (1 ? x 2 ) 2 1 x arctan x ? e ?? de arctan x 1 ? x2 1 ? x2 1 ? earctan x (1 ? x) ? I 1 ? x2

\ I?

1? x 2 1? x
2

e

arctan x

?C

例11. 已知
解:

的一个原函数是



? x f ?( x) dx ? ? x d f ( x) ? x f ( x) ? ? f ( x ) dx

cos x ? cos x ?C ?? ? x? x x cos x ? ? sin x ? 2 ?C x
再求积分反而复杂.

说明: 此题若先求出

2 sin x 2 cos x ? ? ? cos x ? ? ?d x ? x f ?( x) dx ? ? ? 2 x ? x ?

多次分部积分的 规 律
( n ?1) (n) (n) ? u v d x ? u v ? u v dx ? ?

? u?v ( n ? 2) (n) ( n?1) ( n?2 ) ? ? ? ? u v dx ? ? ? ? uv ?u v ?u v ? ? uv
(n)

( n?1)

? ? u ??v ( n ?1) dx

快速计算表格:

?? n ?1 ( n ?1) ( n) ( n ?1) ( n ? 2) ? ? ? ? ( ? 1 ) u v dx ? uv ?u v ?u v ?? ?
u
?

u

(k )

u?
v
(n)

v ( n?1?k ) v ( n?1)

?

u??
v ( n?1)

?

? ?

u

(n)

( n?1) 特别: 当 u 为 n 次多项式时, u

v v? ? 0 , 计算大为简便 .

(?1) n (?1) n?1 ?

u

( n?1)

例6. 求
解: 取

x ?x?2 e
\
2x

3

?

3x ? 1
1 e 2x 2

2

?

6x
1 e 2x 4

?

6
1 e 2x 8

?

0
1 e 2x 16

2x

e ? ? ? 说明: 此法特别适用于 Pn ( x)? sin ax ? dx ? 如下类型的积分: ?cos ax ? ? ?

1 ( x 3 ? x ? 2) ? 1 (3 x 2 ? 1) 原式 ? e 2 4 2x 3 2 ?1 e ( 4 x ? 6 x ? 2 x ? 7) ? C 8 ? kx

[

1 ?6 ?1 ? 6 x ? 8 16 ] ? C

例7. 设

证明递推公式:

1 n?2 n?2 In ? sec x ? tan x ? I n?2 n ?1 n ?1
证: I n ? ? sec n ?2 x ? sec 2 x dx

(n ? 2)

? sec n ?2 x ? ? sec n?2 x ? tan x ? (n ? 2) ? sec n ? 2 x ? (sec 2 x ? 1) dx
? sec
n?2

? (n ? 2) ? sec

n ?3

x ? sec x tan x

x ? tan x ? (n ? 2) I n ? (n ? 2) I n?2

例8. 求
解: 设 F ?( x) ? x ? 1 ? 则 因 连续 , 利用

x ?1 , 1? x ,

x ?1 x ?1
x ?1 x ?1


1 x2 ? x ? C , 1 2 2 1 x ? 2 x ? C2 ,

?1 ? C1 2


?

1 ?C 2 2

记作

C
x ?1

1 1 ? 1 ? C1 ? 1 ? ? 2 C2 2 1 1 xx ? ?1x ?,C , x ? 1 ? 22 ( ) ?? C 2 2

2 2 1 11 ( x ?? 1)x ? C ? , C, 22 2

o?

? F ( x) F?( x)dx ? ? F ( x) F?( x)dx ?

aA, bB, cC, DD, eE, fF, g G, h H, iI, jJ,

? SaaA1 @#!~?? n

kK,lL,mM,nN,oO,pP,qQ,rR,sS,tT,uU,
vV,wW,xX,yY,zZ.

/.,miop?097j `O
4


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