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第六讲


第六讲 基本初等函数的性质
一、知识要点:
1、基本初等函数的性质一般包含以下几个方面: ( 1)定义域; (2)解析式; (3)奇偶性; (4)单调性; (5)周期性; (6)值域等。函数的各种性质并不是孤立的,而是相互联系, 相互依赖的,在研究函数的某一方面的性质时,很有可能要借助于另一个性质。另外,我们 经常通过观察函数图象来获得函数的各种性质, 但有很多函数却是要先通过函数性质的研究 才能想象出其图象的大致分布情况,二者相辅相成。 2、基本初等函数的类型主要有:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及 简单的复合函数等。限于篇幅,这里对它们的图象和性质不一一列举。 3、特别研究常用的形如 y ? ax ? 题应用中须加以简单证明。

b , a, b ? 0 的函数,掌握一些重要结论,但这些结论在解 x

二、例题选讲:
1、一次函数(形如 y ? kx ? b, k , b ? R, k ? 0 的函数) 例 1、当 0≤x≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是( (A)a< )

1 2

(B)a>1

(C)a<

1 或 a>1 2

(D)

1 <a<1 2

例2、对于 | m |? 1 的一切实数 m ,求使得不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 都成立的实数 x 的取值 范围.

2、二次函数 一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c, a ? 0.
2

顶点式: f ( x) ? a( x ? m) ? n, a ? 0.
2

零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ), a ? 0.

1

例 3、已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) 。 (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [?2,4] 上是单调函数,求 a 的取值范围。

3、反比例函数(形如 y ?

k , k ? 0 的函数) x

我们常用分离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究:

b ad a ad ? (cx ? d ) ? b ? ax ? b c a c ? ? c c 2 .(a, c ? 0) ? d cx ? d cx ? d c x? c b b b d a b d a( x ? ) x? ? ( ? ) ax ? b a a a a ? ( a ) ? (1 ? a c ) ? ? c a c .(a, c ? 0) 或: ? d d d d cx ? d c c c c( x ? ) x? x? x? c c c c 2x ? 1 ( x ? 0) 的值域。 例 4、求函数 g ( x) ? 1? x

例 5、若函数 f ( x) ?

ax ? 1 (a为常数 ), 在(?2,2) 内为增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

2

4、指数函数 例 6、求函数 y ? ( )

1 2

? x2 ?2 x

的单调区间和值域。

变式:函数 y=

1 的值域是( 2 ?1
x

) B、 (- ? , 0) ? (0,+ ? ) D、 (- ? ,-1) ? (0,+ ? )

A、 (- ? ,1 ) C、 (-1,+ ? ) 例 7、解不等式: 3 ? 4 ? 5 .
x x x

变式:解关于 x 的不等式 4 ? 6 ? 2 ? 8 ? 0.
x x

5、对数函数 例 8、若 log a

2 ? 1 ,求实数 a 的取值范围。 3

3

例 9、函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? 1 ? a) 在区间 ? ??, 1? 上单调递减,求实数 a 的取值范围.

变式:求函数 y ? log1 (3 ? 2 x ? x ) 的单调区间和值域。
2 2

6、 “对号”函数(形如 y ? ax ?

b , a, b ? 0 的函数) x

? 定理:若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取等号) .

例 10、讨论函数 f ( x) ? x ?

1 的性质,并画出其简图。 x

4

变式:讨论函数 f ( x) ? x ?

1 的性质,并画出其简图。 x

一般地,对于函数 y ? ax ?

b , a, b ? 0 . x

(1)当 a ? 0, b ? 0 时,函数在 (??,?

b b b b ) 及 ( ,??) 上为增函数,在 (? ,0) 及 (0, ) a a a a

上为减函数.函数的值域是 (??,?2 ab] ? [2 ab,??) . (2)当 a ? 0, b ? 0 时,函数在 (??,0) 及 (0,??) 上都是增函数,值域为 (??,??) .

例 11、已知: f ( x ) ?

4 x 2 ? 12 x ? 3 , x ? [0,1] ,求函数 f ( x ) 的单调区间和值域; 2x ? 1

变式:函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 ( 2? x
B.1 C.2

) D.3

5

例 12 、定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

| f ( x) |? M 成立,则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界.已知函
数 f ? x? ? 1? a ? ? ? ? ? ? . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有 界函数,请说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

?1? ?2?

x

?1? ? 4?

x

变式:已知函数 y ? ln x ? ln(x ? 4x ? a) 在区间 [e,??) 上单调递减,求 a 的取值范围.
2

6

三、巩固练习:
1.已知定义域为 N ? 的函数 f (n) ? A. f (30) B. f (10)

n ? 98 n ? 99

,则 f ( n) 的最大值是(



C. f (9)

D. f (1) )

2.若指数函数 y ? a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a 等于(

A.

1? 5 2
2

B.

?1? 5 2

C.

1? 5 2


D.

5 ?1 2

3.函数 y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是( A. R B. ?8, ?? ?
1

C. (??,?3]

D. ?3, ?? ? .

4.已知-1<a<0,则三个数 3a , a 3 , a 3 由小到大的顺序是

5.已知 y= loga (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是__________. 7.已知不等式 m ? 2am ? 1 ? 4 对 a ? [?1,1] 恒成立,求 m 的取值范围。
2

ax ?1 (a ? 0且a ? 1) (1)求 f ( x ) 的定义域和值域; 8.已知函数 f ( x ) ? x (2)讨论 f ( x ) a ?1
的奇偶性; (3)讨论 f ( x ) 的单调性。 9.研究函数 f ( x) ? ax ?
2

b 1 ( a , b 是正常数)所具有的基本性质,并画出当 a ? , b ? 4 2 4 x

时函数 f ( x) 的简图。 10.已知函数 f ( x) ? x ?
2

p 的定义域是 [2,6] ,求它的最大值和最小值。 x

已知函数 y ? ln x ? ln(x ? 4x ? a) 在区间 [e,??) 上单调递减,求 a 的取值范围.

参考答案: 例 1、解:由一次函数的图象与性质可知 f ( x) ? ax ? a ? 1 在 0≤x≤1 时有正有负,则

f (0) ? f (1) ? 0 ? (a ? 1)( 2a ? 1) ? 0 ?
7

1 ? a ? 1. 2

例 2、分析:若把不等式看成关于 x 的二次不等式,利用二次函数的图象与性质进行讨论, 情况较复杂. 但从条件中对 | m |? 1 的一切实数 m 恒成立, 可将不等式看成关于 m 的不等式, 再利用一次函数的性质来求解,则较易. 解:原不等式可化为 m( x 2 ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0 在 ? 1 ? m ? 1 上恒成立. 记 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (1 ? 2x) ,为关于 m 的一次函数,故只须

? f (?1) ? 0 ? ? f (1) ? 0

即?

?( x 2 ? 1)(?1) ? (1 ? 2 x) ? 0 2 ? ( x ? 1) ? (1 ? 2 x) ? 0

解之得 3 ? 1 ? x ? 2 . 例 3、解:? f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) ,? 1,3是方程 f ( x) ? 2 x ? 0 的两根,且 a ? 0 ,

? f ( x) ? 2x ? a( x ? 1)(x ? 3) ? ax2 ? 4ax ? 3a ,? f ( x) ? ax2 ? (4a ? 2) x ? 3a .
(Ⅰ) 若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根, 即 ax2 ? (4a ? 2) x ? 9a ? 0 有两个相等的根,

? (4a ? 2) 2 ? 36a 2 ? 0 ? 5a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,? a ? 1 (舍去)或 a ? ?
1 6 3 ? f ( x) ? ? x 2 ? x ? . 5 5 5

1 5

4a ? 2 1 ? 2 ? (a ? 0) , 2a a 1 1 1 若 f ( x ) 在区间 [?2,4] 上是单调函数,则 2 ? ? ?2 或 2 ? ? 4 ,解得: ? ? a ? 0 . a a 4 2 x ? 1 ? 2(1 ? x) ? 3 3 ? ? ?2 ? 例 4、解: g ( x) ? . 1? x 1? x x ?1 1 ?3 3 ? x ? 0,? x ? 1 ? ?1,? ?1 ? ? 0,? 3 ? ? 0,?1 ? ?2 ? ? ?2. x ?1 x ?1 x ?1 2x ? 1 ? g ( x) ? ( x ? 0) 的值域为 (?2,1) . 1? x ax ? 1 a( x ? 2) ? 1 ? 2a 1 ? 2a ? ?a? 例 5、解: f ( x) ? , x?2 x?2 x?2 1 ? f ( x) 在 (?2,2) 内为增函数,?1 ? 2a ? 0 ,? a ? . 2 1 u 2 例 6、解:令 u ? ? x ? 2 x ,则 y ? ( ) , 2 1 ? y ? ( ) u 在 (??,??) 内为减函数,而 u ? ? x 2 ? 2 x 在 (??,1] 上是增函数,在 [1,??) 上 2
(Ⅱ)可知函数 f ( x) 的图象开口向下,且对称轴方程为 x ? 是减函数.

8

1 2 ? y ? ( ) ? x ? 2 x 的单调增区间是 [1,??) ,单调减区间是 (??,1] . 2 1 2 又? u ? ? x ? 2 x ? 1 ,? y ? . 2 1 2 1 ? y ? ( ) ? x ? 2 x 的值域是 [ ,?? ) . 2 2
变式: D 例 7、解:原不等式可化为: ? ? ? ? ? ? 1 .

? 3? ?5?

x

? 4? ?5?

x

3 x 4 x 5 5 3 2 4 2 且 f ( 2) ? ( ) ? ( ) ? 1 , 5 5
由 f ( x) ? f (2) ,? x ? 2 .

设 f ( x ) ? ( ) ? ( ) ,? 0 ?

3 4 , ? 1 ,? f ( x) 在 (??,??) 内为单调减函数, 5 5

变式:解:令 2 x ? t (t ? 0) ,原不等式化为: t ? 6t ? 8 ? 0
2

? 2 ? t ? 4 ,即 2 ? 2 x ? 4 ,?1 ? x ? 2 .
例 8、解: log a

2 2 ? 1 ? log a ? log a a . 3 3 ?0 ? a ? 2 或a ?1 3

? ?a ?1 ?0 ? a ? 1 ? 或 ?2 ?? 2 ?a ?a ? ? ?3 ? 3
2

例 9、解:令 u ? x ? 2ax ? 1 ? a ,? lg u 在 (0,??) 内是增函数, 函数 f ( x) ? lg( x ? 2ax ? 1 ? a) 在区间 ? ??, 1? 上单调递减,
2

? u ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a在区间(??,1]上单调递减 ?? 2 ?u ? x ? 2ax ? 1 ? a ? 0在区间(??,1]上恒成立
a ?1 ? ?? ?u (1) ? 2 ? a ? 0
?1 ? a ? 2
变式:解:由 3 ? 2 x ? x ? 0 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?1 ? x ? 3 ,
2 2

? 函数的定义域是 (?1,3) .
设 u ? ? x ? 2 x ? 3(?1 ? x ? 3) ,则 y ? log 1 u .
2

2

9

? u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 在 (?1,1] 上是增函数,在 (1,3) 内是减函数.而 y ? log 1 u 在 (0,??) 内
2

是减函数.

? y ? log1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调增区间是 (1,3) ,减区间是 (?1,1] .
2

又 u ? ? x ? 2 x ? 3(?1 ? x ? 3) ,? 0 ? u ? 2 ,? y ? log 1 u ? ?1 .
2

2

故函数 y ? log1 (3 ? 2 x ? x ) 的值域为 [?1,??) .
2 2

例 10、解:函数的定义域是 (??,0) ? (0,??) .

? f (? x) ? ? x ?

1 1 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数. x x 1 当 x ? 0 时, x ? ? 2 ,当且仅当 x ? 1 时取等号. x
可知 x ? 0 时, f ( x) ? ?2 ( x ? ?1 时取等号) . 任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

1 1 1 ? ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? )?0 x1 x2 x1 x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 在 (0,1) 内为减函数.同理可证 f ( x) 在 (1,??) 内为增函数. 由函数为奇函数,可知 f ( x) 在 (?1,0) 内为减函数,在 (??,?1) 内为增函数. 根据以上性质作出函数的简图. (如图 1)

y
y?x

y

o

x
y?x

o

x

图1

图2

变式:略解:函数的定义域是 (??,0) ? (0,??) . f ( x) 为奇函数.

f ( x) 在 (??,0) 内及 (0,??) 内均为增函数. x ? ?1,1 是函数和零点. (如图 2)
例 11、解:设 t ? 2 x ? 1,1 ? t ? 3 , 则 y ? t ?

4 ? 8, t ? [1, 3]. t

任取 t1、t2 ?[1, 3], 且t1 ? t2 , f ( t1 ) ? f ( t2 ) ?

( t1 ? t2 )( t1t2 ? 4) , t1t2

10

当 1 ? t ? 2, 即0 ? x ?

1 时, f ( x ) 单调递减; 2

当 2 ? t ? 3, 即 ? x ? 1 时, f ( x ) 单调递增. 由 f (0) ? ?3, f ( ) ? ?4, f (1) ? ?

1 2

1 2

11 , 得 f ( x ) 的值域为 [?4, ?3] . 3

变式:解:C.当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此

f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 1 当且仅当 ? 2 ? x 时上式 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) ? 2 , 2? x 2? x 2? x 2? x

取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在 (??, 2) 上的最小值为 2.

?1? ?1? 例 12、解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ? ? ? ? ? ?2? ? 4? 因为 f ( x) 在 ? ??,0 ? 上递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 3 ,即 f ( x) 在 ? ??,1? 的值域为 ? 3, ?? ? ,故
不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立,所以函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上不是有界函数。 (2)由题意知, f ( x) ? 3 在 [0,??) 上恒成立。

x

x

? 3 ? f ( x) ? 3 ,
x

?1? ?1? ?1? ? 4 ?? ? ? a ?? ? ? 2 ?? ? ? 4? ? 2? ? 4?
x

x

x

x



?1? ?1? ? 4 ? 2 x ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 ?0, ?? ? 上恒成立 ? 2? ?2?
x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ? max ? ? min ? ?



x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? ?0, ?? ? 得 t≥1,

1 t

1 t

设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

? t2 ? t1 ?? 4t1t2 ? 1? ? 0
t1t2

p(t1 ) ? p(t 2 ) ?

?t1 ? t 2 ??2t1t 2 ? 1? ? 0
t1t 2

所以 h(t ) 在 ?1, ?? ? 上递减, p(t ) 在 ?1, ?? ? 上递增,

h(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p (1) ? 1 .
所以实数 a 的取值范围为 ? ?5,1? . 变式:解: y ? ? ln 增. (1)当 a ? 0 时, x ?

a x 2 ? 4x ? a a ? ? ln(x ? ? 4) ,所以 x ? ? 4 在区间 [e,??) 上单调递 x x x a a ? 4 >0且 x ? ? 4 在区间 [ a ,??) 上单调递增, x x

11

所以 a ? e ,? 0 ? a ? e .
2

(2)当 a ? 0 时, x ? 只须 e ?

a a ? 4 在区间 [e,??) 上单调递增.只须满足 x ? ? 4 ? 0 恒成立, x x

a ? 4 ? 0 ? a ? ?e 2 ? 4e .? ?e 2 ? 4e ? a ? 0 . e

综上所述, a 的取值范围是 {a | ?e2 ? 4e ? a ? e2 }. 巩固练习: 1.B;2.D;3.C;4. a ? a ? 3 ;
3 a 1 3

5.解:a>0 且 a≠1 ? ? (x)=2-ax 是减函数,要使 y= loga (2-ax)是减函数,则

a>1,又 2-ax>0 ? a< (0<x<1) ? a<2,所以 a∈(1,2) .
7. 解: 原不等式可化为 m ? 2am ? 3 ? 0 , 设 f (a) ? ?2ma ? m 2 ? 3 , 则不等式 f (a) ? 0
2

2 3

对 a ? [?1,1] 恒成立,根据一次函数的图象和性质可知,

?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 ?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0 ? f (?1) ? 0 ? f (?1) ? 0 ? 或 , 或 ? 2 ? 2 ? ? ?m ? 2m ? 3 ? 0 ?m ? 2 m ? 3 ? 0 ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0
解得: m ? ?3 或 m ? 3 或 ? 1 ? m ? 1 . 8.解: (1) f ( x ) 的定义域是 R.

令y?

y ?1 ax ?1 y ?1 x ? 0 ,解得 ?1 ? y ? 1 ,? a ? 0, ? ? ,得a x ? ? x y ?1 y ?1 a ?1

? f ( x) 的值域为 ? y ?1 ? y ? 1?
(2)? f ( ? x ) ?

a ?x ? 1 1 ? a x ? ? ? f ( x) a ?x ? 1 1 ? a x

? f ( x) 是奇函数。

(a x ? 1) ? 2 2 ? 1? x (3) f ( x ) ? x a ?1 a ?1
设 x1 ,x 2 是 R 上任意两个实数,且 x1 ? x 2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 a
x2

?1

?

2 a
x1

?1

?

2(a x1 ? a x2 ) (a x1 ? 1)(a x2 ? 1)

? x1 ? x2
12

① 当 a ?1 时 , a

x2

? a x1 ? 0 , 从 而 a x1 ? 1 ? 0,a x2 ? 1 ? 0 , a x1 ? a x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x ) 为 R 上的增函数。
②当 0 ? a ? 1时, a
x1

? a x2 ? 0 ,从而 a x1 ? 1 ? 0 , a x2 ? 1 ? 0 , a x1 ? a x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,f ( x) 为 R 上的减函数。
9.解: (1)定义域: (??,0) ? (0,??) .

(2)值域: f ( x) ? ax ?
2

b b b ? 2 ab ,当且仅当 ax 2 ? 2 即 x ? ? 4 时等号成立.所 2 x x a

以函数的值域为 [2 ab,??) . (3)奇偶性:函数 f ( x) ? ax ?
2

b 为偶函数. x2

(4)单调性: x1 , x 2 ? (0, 4

b ) ,且 x1 ? x 2 . a
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax1 ? ax2 ) ? (

2

b x1
2

?

2 2 ( x12 ? x2 )(ax12 x2 ? b) b . ) ? 2 2 2 x2 x1 x2

由 0 ? x1 ? x 2 ? 4

b b b 2 2 2 2 2 2 ,得 0 ? x1 ? x2 ? ,则 0 ? x1 x 2 ? 即 ax1 x2 ? b ? 0 , a a a b b 在区间 (0, 4 ) 内单调递减.同理 f ( x) 在区 2 x a

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x) ? ax 2 ?

间 (4

b ,??) 内单调递增. a b b ,0) 内单调递增.在区间 (??,?4 ) 内单调递减. a a

由函数的奇偶性可知: f ( x) 在区间 (? 4 (5)函数 f ( x ) ?

1 2 4 x ? 2 的简图如图. 4 x

10.解: (1)当 p ? 0 时, f ( x) ? x( x ? [2,6]) 的最大值为6,最小值为2; (2)当 p ? 0 时, f ( x) ? x ? 值为 2 ?

p p 在 [2,6] 上是增函数,所以 f ( x) 的最大值为 6 ? ,最小 x 6

p ; 2
13

p 在 (0, p ) 内为减函数,在 ( p ,??) 内为增函数. x p p ①若 0 ? p ? 4 , f ( x) ? x ? 在 [2,6] 上是增函数,则 f ( x) 的最大值为 6 ? ,最小值为 x 6 p 2? ; 2 p p ②若 p ? 36 , f ( x) ? x ? 在 [2,6] 上是减函数,则 f ( x) 的最大值为 2 ? ,最小值为 x 2 p 6? ; 6 p ③若 4 ? p ? 36, f ( x) ? x ? 在 [2, p ] 上是减函数,在 [ p ,6] 上是增函数,其最小值 x
(3)当 p ? 0 时, f ( x) ? x ? 为 f ( p ) ? 2 p .最大值为 max{f (2), f (6)}.

? f (2) ? f (6) ? ?4 ?

p 3

? 当 4 ? p ? 12时,最大值为 f (6) ? 6 ?

p p ;当 12 ? p ? 36 时,最大值为 f (2) ? 2 ? . 6 2

14


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