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新人教A版必修4 2.4 平面向量的数量积及运算律


§5.4 平面向量的数量积及运算律 基础梳理 1.向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角 → → 已知两个非零向量,作OA= a,OB= b,则∠ AOB 叫做向量 [0°,180°] . a 与 b 的夹角.夹角的范围是______________ a⊥b ; 当 θ= 90° 时, a 与 b 垂直,记作 ________ 当 θ= 0° 时, a 与 b 同向; 当 θ= 180° 时, a 与 b 反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量 |a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作a· b, |a||b|cos θ 即a· b=______________. (3)规定零向量与任一向量的数量积为0. (4)a· b的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 2.向量数量积的性质 设 a, b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则 |a|cos θ (1)e· a= a· e= _________. a· b= 0 (2)a⊥b?__________. (3)当 a 与 b 同向时, a· b= |a||b|; -|a||b| 当 a 与 b 反向时, a· b=__________ ; 特别地, a· a= |a|2 或 |a|= a2. a· b (4)cos θ= . |a||b| ≤ a||b|. (5)|a· b|_____| 3.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a. a· (λb) . (2)(λa)· b= λ(a· b)= _______ (3)(a+b)· c= a · c+ b · c. 4.平面向量数量积的坐标表示 x1x2+y1y2 (1)若 a= (x1, y1), b= (x2,y2),则 a· b= _____________. 2 2 x + y (2)设 a= (x, y),则 |a|= ___________. (3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2), ?x2-x1?2+? y2-y1?2 则 |a|= ______________________. 这就是两点间的距离公式. (4)设 a= (x1, y1), b= (x2,y2), 则 a⊥ b? a· b= 0?x1x2+ y1y2= 0. 思考探究 1.向量的数量积是一个数量,它的符号是怎样确定的? 提示:由向量数量积的定义知:a· b=|a||b|· cos θ.当a,b为非零 向量时,a· b的符号由夹角的余弦来确定.当0°≤θ<90°时, a· b>0;当90°<θ≤180°时,a· b<0;当a与b至少有一个为零 向量或θ=90°时,a· b=0. 2.向量a,b,c满足规律(a· b)c=a(b· c)? 提示:不满足,因为(a· b)c与c共线,而a(b· c)与a共线.一般情 况下,a与c不一定共线,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等. 课前热身 1. (2012· 高考重庆卷)设 x, y∈ R,向量 a= (x,1), b= (1, y), c= (2,- 4)且 a⊥ c, b∥ c,则 |a+b|= ( ) A. 5 C. 2 5 B. 10 D. 10 解析:选 B.∵ a= (x,1), b= (1, y), c= (2,-4), 由 a⊥ c 得 a· c= 0, 即 2x- 4

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