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2018北师大版高中数学必修二学案:第二章 1.1 直线的倾斜角和斜率

数学 1. 1 学习目标 直线的倾斜角和斜率 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存 在性.3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率. 知识点一 直线的倾斜角 思考 1 在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 思考 2 在平面直角坐标系中, 过定点 P 的四条直线如图所示, 每条直线与 x 轴的相对倾斜 程度是否相同? 梳理 倾斜角的概念 (1)在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件 ①直线上的一个点. ②这条直线的________. (2)直线的倾斜角 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,把________(正方向)按 定义 ________________方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角 规定:当直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为________ 范围 倾斜角 α 的取值范围为________________ 数学 知识点二 直线的斜率 升高量 思考 1 在日常生活中,我们常用“ ”表示“坡度”,图(1)(2)中的坡度相同吗? 前进量 思考 2 思考 1 中图的“坡度”与角 α,β 存在等量关系吗? 梳理 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角 α 的________________叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,即 k=________. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 α(范围) 斜率 k (范围) k 的变化 α=0° 0<α<90° α=____ 90° <α<180° 不存在 倾斜角越大, 直线 的斜率 k 就越大 倾斜角越大, 直线 的斜率就越大 定值 不存在 (3)由两点确定的斜率公式 直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率 k=________________(x 1≠x2). 类型一 直线的倾斜角 例 1 设直线 l 过原点,其倾斜角为 α,将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 40° ,得直线 l1,则直线 l1 的倾斜角为( A.α+40° ) 数学 B.α-140° C.140° -α D.当 0° ≤α<140° 时,倾斜角为 α+40° ;当 140° ≤α<180° 时,倾斜角为 α-140° 反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要 根据情况分类讨论. 跟踪训练 1 已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30° , 则直线 l 的倾斜角为________. 类型二 直线的斜率 例 2 (1)过原点且斜率为 斜率为________. (2)如图所示,直线 l1,l2,l3 都经过点 P(3,2),又直线 l1,l2,l3 分别经过点 Q1(-2,-1), Q2(4,-2),Q3(-3,2),计算直线 l1,l2,l3 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是 钝角. 3 的直线 l 绕原点逆时针方向旋转 30° 到达 l′位置, 则直线 l′的 3 反思与感悟 (1)已知直线的倾斜角 α 时,可根据斜率的定义,利用 k=tan α 求得. (2)已知直线上经过的两点时,可利用两点连线的斜率公式 k= y2-y1 ,注意前提条件 x1≠x2. x2-x1 若 x1=x2,则斜率不存在.当两点的横坐标含有字母时,要先讨论横坐标是否相等再确定 直线的斜率. 1 跟踪训练 2 经过点 P(2,m)和 Q(2m,5)的直线的斜率等于 ,则 m 的值是( 2 A.4 B.3 C.1 或 3 D.1 或 4 类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 ) 数学 命题角度1 三点共线问题 例 3 如果三点 A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上,求 m 的值. 反思与感悟 斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的 方向不变,即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,这正是利用斜率相等可证点 共线的原因. 1 1 跟踪训练 3 若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围 例 4 直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,求直线 l 的斜 率和倾斜角的范围. 反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k=tan α(α≠90° )解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k= y2-y1 (x ≠x )求解. x2-x1 1 2 (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解. 跟踪训练 4 已知点 A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若点 D 在线段 BC 上(包括端点)移动, 求直线 AD 的斜率的变化范围. 1.下列图中 α 能表示直线 l 的倾斜角的是( ) 数学 A.① B.①② C.①③ D.②④ ) 2.已知点 A(a,2),B(3,b+1),且直线 AB 的倾斜角为 90° ,则 a,b 的值为( A.a=3,b=1 C.a=2,b=3 B.a=2,b=2 D.a=3,b∈R 且 b≠1 ) 3.若经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为 45° ,则 m 等于( A.2 C.-1 B.1 D.-2 1 4.若三点 A(2,3),B(3,2),C( ,m)共线,则实数 m 的值为________. 2 5.经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角 α 的取值范围是________.(其中 m≥1) 直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表: 直线情况 平行于 x 轴 α 的大小 k 的范围 k 的增减情况 0° 0 0° <