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2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案


2.1 离散型随机变量及其分布列测试题
一、选择题(50 分)。 1.袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的条件下依 次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 X,则 X 所有可能取值的个数是( A.5 B.9 C.10 D.25 ) )

2. 抛掷 2 颗骰子,所得点数之和记为 ξ ,那么 ξ =4 表示的随机试验结果是( A.2 颗都是 4 点 C.2 颗都是 2 点 B.1 颗是 1 点,另 1 颗是 3 点

D.1 颗是 1 点,另 1 颗是 3 点,或者 2 颗都是 2 点 )

3、设离散型随机变量 ? 的概率分布如下 ,则 a 的值为(

X
P A.
[来源:学+科+网]

1

2

3

4

1 2

1 6 1 B. 6

1 3 1 C. 3

1 6
D.

a
1 4
)

4.设 X 是一个离散型随机变量,则下列不能成为 X 的概率分布列的一组数是 ( A. 0,0,0,1,0 C.p,1-p(p 为实数) B. 0.1,0.2,0.3,0.4 D.

1 1 1 1 , ,? , , n? N* 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n n

?

?

5.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数, 则 P(X=0)等于( A.0 ) 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 3 )

6.已知随机变量 X 的分布列为:p ? X ? k ? ? A.

3 16

B.

1 4

C.

1 16

1 k ? 1,2,3,? , , 则 p ? 2 ? X ? 4? = ( 2k 5 D. 16


7.设随机变量 X 等可能取 1、2、3 ... n 值,如果 p( X ? 4) ? 0.4 ,则 n 值为( A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定

8.在 15 个村庄中,有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 ξ 表示 10 个村庄中

1



CC 通不方便的村庄数,下列概率中等于 C
7 10 15

4

6 8

的是 C.P(ξ ? 4)

( D.P(ξ =4)

)

A.P(ξ =2)

B.P(ξ ? 2)

a 9.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 n(n+1) 1 5 P( <X< )的值为( 2 2 2 A. 3 3 B. 4 ) 4 C. 5 5 D. 6

10、一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒子中任取 3 个球来用,用完后
装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值 为( 1 A. 220 二、填空题(20 分)。 11、下列表中能成为随机变量 X 的分布列的是 (把 全部正确的答案序号填上) 3 -0.1 ③ ) 27 B. 55 27 C. 220 21 D. 55

X


-1 0.3

0 0.4

1 0.4

X


1 0.4

2 0.7

X
p

5 0.3

0 0.6

-5 0.1

p

p



P? X ? k? ?

2k ?1 , k ? 1, 2,3,?, n 2n ? 1

⑤ P? X ? k? ?

1 , k ? 2,3, 4,5,? k

12、已知 Y ? 2 X 为离散型随机变量, Y 的取值为 1, 2,3,?,10 ,则 X 的取值为 3 13 、连续向一目标射击,直至击中为止,已知一次射击命中目标的概率为 ,则射击次 4 数为 3 的概率为________. 14 设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =i)= , (i=1,2,3,4), 则 p? ? ? ? ? =__________. 10 2? ?2 三、解答题(30 分)。 15、一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次,

i

?1

7?

2

而随机终止. 设分裂 n 次终止的概率是 所生成的子块数目,求 P( X ? 10) .

1 ( n =1,2,3,?).记 X 为原物体在分裂终止后 2n

16、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍, 黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出黄 球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分数 X 的分布列.

? 3,4,5,6,7,从中同时取出 3 个小球,以 ξ 表

一个口袋中有 5 个同样大小的球, 编号为

3

示取出的球的最小号码,求 ξ 的分布列.

18.某校从学生会宣传部 6 名成员(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任选 3 人参加某省举办的 “我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动. 设所选 3 人中女生人数为 ξ ,求 ξ 的分布列

19、李某开车回家途中有 6 个交通岗, 他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概
4

1 率都是 3 (1)求他在途中至少遇到一次红灯的概率; (2)设ξ 为他在途中遇到的红灯的次数,求ξ 的期望和方差; (3)用η 表示他在首次遇到红灯停车前经过的路口数,求η 的分布列。

高二数学选修 2-3 小测试题 3(参考答案)
5

2.1 离散型随机变量及其分布列 一、选择题: 1.解析:选 B.号码之和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,共 9 种. 2.答案:D 解析:“ξ =4”表示抛掷 2 颗骰子其点数之和为 4,即两颗骰子中“1 颗 1 点, 另 1 颗 3 点,或两颗都是 2 点.” 3. C 4.答案:C 解析:随机变量的分布列具有两个性质:非负性,概率之和为 1.可以根据这两个

性 质 解 决 .A,B 显 然 满 足 性 质 ,C 中 设 p=3, 显 然 1-p=-2<0 不 满 足 非 负 性 ,D 中 有

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? 1? ? ? ?? ? ? ? ?1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n n 2 2 3 n ?1 n n
5..解析:选 C.设 X 的分布列为 X P 0 p 1 2p

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为 p,则成功率为 2p.由 p+ 1 2p=1,得 p= . 3 6.A 7. C 8、D a (n=1,2,3,4), n(n+1)

9、解析:选 D.∵P(X=n)= a a a a ∴ + + + =1, 2 6 12 20 5 ∴a= , 4

1 5 5 1 5 1 5 ∵P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= × + × = .故选 D. 2 2 4 2 4 6 6

CC 10、解析:选 C.由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球,故 P(X=4)= C
3 3 12

2

1 9

27 = . 220

二、填空题: 11、 ③④ 12、

1 3 5 7 9 ,1, , 2, ,3, , 4, ,5 2 2 2 2 2

3 13、答案: (解析:“ξ =3”表示“前两次未击中,且第三次击中”这一事件,则 64

P(ξ =3)= × × = .

1 1 3 3 4 4 4 64

6

3 14、答案: 5 三、解答题:

7? 3 ?1 (解析:P? <ξ < ?=P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)= . 2? 5 ?2

15、解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的数目 X 的分布列为
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

X P

2

4

8

16

. . . . . .

2n

. . .



1 . .. 2n 1 1 1 7 P( X ? 10) ? P( X ? 2) ? P( X ? 4) ? P( X ? 8) ? ? ? ? . 2 4 8 8 1 2 1 4 1 16

1 8

16、分析:欲写出 ξ 的分布列,要先求出 ξ 的所有取值,以及 ξ 取每一值时的概率. 解:设黄球的个数为 n ,由题意知
[来源:学+科+网]

绿球个数为 2n ,红球个数为 4n ,盒中的总数为 7n . ∴

P( X ? 1) ?

4n 4 n 1 2n 2 ? , P ( X ? 0) ? ? , P ( X ? ?1) ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7

所以从该盒中随机取出一球所得分数 X 的分布列为

X
P

1

0

-1

4 7

1 7

2 7

7


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