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2012届高三文科数学加强班辅导材料--立体几何2


2012 届高三文科数学加强班辅导材料——立体几何 2
1. 设 ? 表示平面, a , b 表示直线,给定下列四个命题: ① a // ? , a ? b ? b ? ? ; ② a // b, a ? ? ? b ? ? ; ③ a ? ? , a ? b ? b // ? ; 其中正确命题的个数有( ①若 m // n, n ? ? , 则m // ? ; 其中正确的命题个数是( ) ) ④ a ? ? , b ? ? ? a // b . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ②若 l ? ? , m ? ?且l // m, 则? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? ; ④若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ; A.1 B.2 C.3 D.4 3..用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示, 则它的体积的最小值与最大值分别为( A. 9 与 13 B. 7 与 10 ) 。 D. 10 与 15
主视图 俯视图

C. 10 与 16

4.如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图,如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边 长为 2 的正三角形,主视图对应的四边形为正方形,那么这个几何体的体积为( A. )

4 3 3 4 2 3

B.

4 5 3

C.

D.不确定

5.如图,三棱柱的棱长为 2,底面是边长为 2 的正三角形,

A _ C_ _ 1

B _ _ A

B _

AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形,则左视图的
面积为( A. 4 ) . B. 2 3 C. 2 2 D.

3

A_ _ 1

B_ _ 1

A_ _ 1

正视图

B_ _ 1

6.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些 几何形体是 (写出所有正确结论的编号) . ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体.
1

7. (本题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ( 侧棱与底面垂直的三棱 柱 ) ABC ? A1B1C1 中, AB ? 8 , AC ? 6 , BC ? 10 , D 是 BC 边的 中点.(Ⅰ)求证: AB ? A (Ⅱ)求证: AC 1 ∥ 面 AB 1D ; 1C;
B1

A1

C1

A

B

D

C

8.(本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD ? 底面ABCD , 且 PA ? PD ? P E

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
D F A B C

(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD .

9. (本小题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证:AB1⊥平面 A1BD; (Ⅱ)求点 B 到平面 A1B1D 的距离.

2

10.(本题满分 14 分) 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A 1 点,且 A 1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1D ; (Ⅱ)求证:平面 A 1BC ? 平面 A 1BD ; (Ⅲ)求三棱锥 A 1 ? BCD 的体积.
A B D O C A1

11. (本小题满分 14 分)在三棱锥 S ? ABC 中,

S

?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 , AC ? 1, BC ? 3, SB ? 2 2 .
(1) 求三棱锥 S ? ABC 的体积; (2) 证明: BC ? SC ; (3) 求异面直线 SB 和 AC 所成角的余弦值。
B C

A

3

11.(1)解:∵ ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 ∴ SA ? AB, SA ? AC , 且 AB ∴ SA ? 平面 ABC ----2 分 在 Rt ?ACB 中, AB ?

AC ? A ,

BC 2 ? AC 2 ? 2 ,
1 1 3 , AC ? BC ? ?1? 3 ? 2 2 2

Rt ?SAB 中, SA ? SB2 ? AB2 ? 8 ? 4 ? 2 ∵ S?ABC ?

∴ VS ? ABC ?

1 1 3 3 .--------------4 分 S?ABC ? SA ? ? ?2 ? 3 3 2 3

(2)证法 1:由(1)知 SA=2, 在 Rt ?SAC 中, SC ? SA2 ? AC 2 ? 4 ? 1 ? 5 ---6 分
2 2 2 ∵ BC ? SC ? 3 ? 5 ? 8 ? SB ,∴ BC ? SC -------------------8 分

证法 2:由(1)知 SA ? 平面 ABC ,∵ BC ? 面 ABC , ∴ BC ? SA ,∵ BC ? AC , AC 又∵ SC ? 面 SAC ,∴ BC ? SC (3) 解法 1:分别取 AB、SA、 BC 的中点 D、E、F, 连结 ED、DF、EF、AF,则 DE // BS , DF // AC , ∴ ? EDF (或其邻补角)就是异面直线 SB 和 AC 所成的角----------10 分 ∵ DE ?

AS ? A ,∴ BC ? 面 SAC

1 1 1 SB ? 2, DF ? AC ? , 2 2 2

S

在 Rt ?ACF 中, FC ?

1 3 BC ? , 2 2

E B D A F C

∴ AF ?

AC 2 ? FC 2 ? 1 ?

3 7 , ? 4 2 7 11 ? 4 2

在 Rt ?EAF 中, EF ?

EA2 ? AF 2 ? 1 ?

1 11 2? ? DE 2 ? DF 2 ? EF 2 4 4 ?? 2 ? 在△DEF 中,由余弦定理得 cos ?EDF ? 1 4 2 DE ? DF 2? 2 ? 2
∴异面直线 SB 和 AC 所成的角的余弦值为

2 -------------------------14 分 4
4

2012 届高三文科数学加强班辅导材料——立体几何 2 参考答案
1.正确命题有②、④,故选 B.2.B.②,④正确;①,③错误 4. A 5. B 3.提示:由三视图可知选 C

6 解析:显然①可能,②不可能,③④⑤如右图知都有可能。

7.证明: (错误!未找到引用源。 )直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面三边长

A1

AB ? 8 , AC ? 6 , BC ? 10 ∴ AC ? AB
? AB 又 AA 1 ? 平面ABC ,∴ AA 1

B1

C1 E

AA1

AC ? A

? AB ? 面 AC1 ….5 分 ∴ AB ? AC 1 ….7 分
DE ………….9 (错误!未找到引用源。 )设 A 1B 与 AB1 的交点为 E ,连结
分 ∵ D 是 BC 的中点, E 是 AB1 的中点,∴ DE // AC 1 …………11 分 ∵ DE ? 平面A DB1 , AC ? 平面A DB1 ,∴ AC 1 1 // 平面A DB 1 …..14 分 8.证明: (1)连结 AC,则 F 是 AC 的中点,在△ CPA 中,EF∥PA,…2 分 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD ……5 分 (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,所以,CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA 又 PA=PD= …………8 分
B D

A

C

? 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?PAD ? ,即 PA⊥PD ……10 分 2 2

又 CD∩PD=D, ∴ PA⊥平面 PDC,又 PA ? 平面 PAD, 所以 平面 PAD⊥平面 PDC ……………………12 分 ∴AO⊥BC ……1 分

9.解: (Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO. Q△ABC 为正三角形,

Q 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∴AO⊥平面 BCC1B1 ……2 分 连结 B1O, 在正方形 BB1C1C 中,O,D 分别为 BC,CC1 的中点 ∴B1O⊥D ∴AB1⊥BD ………………4 分 …3 分

(方法二:利用等腰三角形 AB1D 证明 AB1⊥DH 的相应给分,H 为 AB1 与 A1B 的交点)
5

在正方形 ABB1A1 中,AB1⊥A1B,∴AB1⊥平面 A1BD ………………6 分 (3)运用等积法求解,Rt△A1DC1 中,A1C1=2,C1D=1,∴ A1 D ? 5 作 DE⊥A1B1,则 E 为 A1B1 的中点, DE=2 ∴ S ?A1B1D ? 由(1) ∴AO⊥平面 BCC1B1,且 AO ? 同理 B1D= 5 …7 分

1 1 A1 B1 ? DE ? ? 2 ? 2 ? 2 ……8 分 2 2

3 ?2 ? 3 2

∴A1 到面 A1B1D 的距离为 3 ,设点 B 到面 A1B1D 的距离为 h, 由 VB ? A1B1D ? V A1 ? BB1D 得 S ?A1DB1 ? ?

1 3

1 S ?BB1D ? 3 ………………10 分 3

1 ? 2h ? ( ? 2 ? 2) ? 3 ,求得 h ? 3 2

?点 B 到面 A1B1D 的距离为 3 .……12 分
又 BC ? 平面 BCD AO 1 ⊥平面 BCD ,

10.证明: (Ⅰ) ∵ A ∴ 1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴ BC ? AO 1 ……2 分 又 BC ? CO, AO 1 I CO ? O , ∴

BC ? 平面 ACD ,又 A ,∴ 1 1 D ? 平面ACD 1

………4 分 B C? A 1 D

(Ⅱ)∵ ∴

ABCD 为矩形 ,∴

A1D ? A1B

由(Ⅰ)知 A 1D ? BC, A 1B I BC ? B ∴ 平面 A 1 BC ? 平面 A 1BD …8 分

A1D ? 平面 A1BC ,又 A1D ? 平面 A1BD

(Ⅲ)∵ A1D ? 平面 A 1BC , ∴

A1D ? AC 1 .…………10 分

∵ A ? 8 , ………12 分 1 D ? 6, CD ? 10 , ∴ AC 1 ∴

1 1 VA1 ? BCD ? VD ? A1BC ? ? ( ? 6 ? 8) ? 6 ? 48 …………14 分 3 2
AC ? A ,

11.(1)解:∵ ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 ∴ SA ? AB, SA ? AC , 且 AB ∴ SA ? 平面 ABC ----2 分 在 Rt ?ACB 中, AB ?

BC 2 ? AC 2 ? 2 ,

Rt ?SAB 中, SA ? SB2 ? AB2 ? 8 ? 4 ? 2
S

∵ S?ABC ?

1 1 3 AC ? BC ? ?1? 3 ? , 2 2 2 1 1 3 3 S?ABC ? SA ? ? ?2 ? .--------------4 分 3 3 2 3
6
B C

∴ VS ? ABC ?

A

(2)证法 1:由(1)知 SA=2, 在 Rt ?SAC 中, SC ? SA2 ? AC 2 ? 4 ? 1 ? 5 ---6 分
2 2 2 ∵ BC ? SC ? 3 ? 5 ? 8 ? SB ,∴ BC ? SC -------------------8 分

证法 2:由(1)知 SA ? 平面 ABC ,∵ BC ? 面 ABC , ∴ BC ? SA ,∵ BC ? AC , AC 又∵ SC ? 面 SAC ,∴ BC ? SC (3) 解法 1:分别取 AB、SA、 BC 的中点 D、E、F, 连结 ED、DF、EF、AF,则 DE // BS , DF // AC , ∴ ? EDF (或其邻补角)就是异面直线 SB 和 AC 所成的角----------10 分 ∵ DE ?

AS ? A ,∴ BC ? 面 SAC

1 1 1 SB ? 2, DF ? AC ? , 2 2 2

S

在 Rt ?ACF 中, FC ?

1 3 BC ? , 2 2

E B D A F C

∴ AF ?

AC 2 ? FC 2 ? 1 ?

3 7 , ? 4 2 7 11 ? 4 2

在 Rt ?EAF 中, EF ?

EA2 ? AF 2 ? 1 ?

1 11 2? ? DE 2 ? DF 2 ? EF 2 4 4 ?? 2 在△DEF 中,由余弦定理得 cos ?EDF ? ? 1 4 2 DE ? DF 2? 2 ? 2
∴异面直线 SB 和 AC 所成的角的余弦值为

2 -------------------------14 分 4

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