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1.3.1 柱、锥、台的表面积


普通高中课程标准试验教科书 -------人教A版数学必修2

第一章 空间几何体

1

中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状

?

三视图

视图 直观图

长对正、高平齐、宽相等 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体

斜二测画法

可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
2

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,您 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积
平面问题

空间问题

3

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体,它们的展开图是什么? 如何计算它们的表面积?

4

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

正棱柱的侧面展开图
5

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

6

侧面展开

h'

h'
正棱锥的侧面展开图
7

例1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 交BC于点D. 解:过点S作 SD ? BC ,

∵ BC ? a , SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ( )2 ?
S A B D C
? S?SBC

a 2

3 a 2

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC的表面积为
3 S ? 4? a ? 3a 2 2
8

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

正棱台的侧面展开图

h'
9

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计 算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底 面面积之和.
10

r O?
l
O
圆柱的侧面展开图是矩形
2? r

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2
11

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

2?r

l
圆锥的侧面展开图是扇形

r

O
12

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的 侧面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

2?r

r

O

圆台的侧面展开图是扇环

13

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

r' x ? r x?l

x

r 'O’
l

2?r '

2?r

rx ? r ' x ? r 'l

r

O

S侧 ? ? r (l ? x ) ? ? r ' x ? ? (rl ? rx ? r ' x )
? ? ( r ' l ? rl )
14

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r

O

O
S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

15

2.旋转体的表面积

S柱侧 ? cl ? 2?rl
1 S 锥侧 ? cl ? ?rl 2 1 S台侧 ? (c'?c)l ? ?r ' l ? ?rl 2

思考 : 三个公 式有何联系?

16

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直 径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为 了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取 ? ? 3.14, 结果精确到1毫升,可用计算器)? 解:花盆外壁的表面积:
S ? ? ? [( 15 2 15 20 1.5 ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2
20cm

? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 )

15cm
15cm

涂100个花盆需油漆: 0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升) 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

17

作业:课本P 第 题

18


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