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2019年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算练习(含解析)新人教A版选修2-1

3.1.3 空间向量的数量积运算

1.下列命题中,不正确的有( D ) ① =|a|;②m(λ a)·b=(mλ )a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a. (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 解析:①②③正确,④不正确,因为等式左边表示与 b 共线的向量,右边表示与 a 共线的向量,两 者方向不一定相同.故选 D.

2.正方体 ABCD A′B′C′D′中,< , >等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)120° 解析:因为 B′D′∥BD,所以 A′B,B′D′的夹角即为 A′B,BD 的夹角.因为△A′BD 为正三角

形,所以∠A′BD=60°.由向量夹角的定义可知< , >=120°,即< , >=120°.故选 D. 3.若 a,b 均为非零向量,则 a·b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 解析:若 a·b=|a||b|,则<a,b>=0°,所以 a 与 b 共线;反之,若 a 与 b 共线,则<a,b>=0°或 180°,a·b=±|a||b|.故选 A.

4.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,有下列命题:①( + + )2=3 ;② ·( - )=0;③

与 (A)1

的夹角为 60°.其中正确命题的个数是( B )

(B)2

(C)3 (D)0

解析:①,②均正确;③不正确,因为 与 夹角为 120°. 5.在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1,BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角 的余弦值为( B )

(A)-

(B)

(C)

(D)

解析:如图,由图知直线 AM 与 CN 所成角等于< , >, = + ,

=+ ,

所以 · =( + )·( + )= · + · + · + ·

= ,| |=

==,

| |= = .

所以 cos< , >=

=

=.

6.已知|a|=1,|b|= ,且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( D )

(A)60° (B)30° (C)135°

(D)45°

解析:因为 a-b 与 a 垂直,所以(a-b)·a=0,

所以 a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos<a,b>

=1-1· ·cos<a,b>=0,

所以 cos<a,b>= . 因为 0°≤<a,b>≤180°, 所以<a,b>=45°. 7.已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积 不为零的是( A )

(A) 与

(B) 与

(C) 与

(D) 与

解析:因为 PA⊥平面 ABCD,

所以 PA⊥CD,故 · =0,排除 D;

因为 AD⊥AB,PA⊥AD, 又 PA∩AB=A,所以 AD⊥平面 PAB,

所以 AD⊥PB,故 · =0,排除 B;

同理 · =0,排除 C.故选 A.

8.设 a,b,c 是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②

|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b 一定不与 c 垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中

正确的是( D )

(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④

解析:根据向量数量积的定义及性质,可知 a·b 和 c·a 是实数,而 c 与 b 不共线,故(a·b)c 与

(c·a)b 不一定相等,故①错误;③因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以

当 a⊥b,且 a⊥c 或 b⊥c 时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b 与 c 垂直,故③错

误;易知②④正确.故选 D.

9.已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,如图,则 PC 等于

.

解析:因为 = + + , 所 以 | |2=( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =

36+36+36+0+0+2| || |cos 60°=108+2×6×6× =144.

所以 PC=12.

答案:12

10.已知 a,b 是异面直线,点 A,B∈a,点 C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2, CD=1,则 a,b 所成的角



.

解析: = + + ,

所以 · = ·( + + )=| |2=1,

所以 cos< , >=

=,

所以异面直线 a,b 所成角是 60°.

答案:60°

11. 设 |m|=1,|n|=2,2m+n 与 m-3n 垂 直 ,a=4m-n,b=7m+2n, 则 向 量 a,b 的 夹 角

<a,b>=

解析:因为(2m+n)⊥(m-3n),

所以(2m+n)·(m-3n)=0.

化简得 m·n=-2,又|a|= =

=

=6.

|b|= =

=

=3.

所以 a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m·n=18.

所以 cos<a,b>= = =1.

所以<a,b>=0°

答案:0°

12.已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且两两夹角都是

60°,则对角线 AC1 的长是

.

解析:设 =a, =b, =c,则 a2=b2=c2=1,

所以 a·b=a·c=b·c=|a|2cos 60°= ,
所以 =(a+b+c)2=a2+b2+c2+2b·c+2a·c+2a·b=6,所以| |= . 答案: 13.如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,求异面直线 A1B 与 AC 所成 的角.

解:不妨设正方体的棱长为 1,
设 =a, =b, =c, 则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,
=a-c, =a+b. 所以 · =(a-c)·(a+b) =|a|2+a·b-a·c-b·c =1.
而| |=| |= ,

所以 cos< , >=

=,

所以< , >=60°. 因此,异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60°. 14.如图,直三棱柱 ABC A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E 分别为 AB,BB′的中点.

(1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. (1)证明:设 =a, =b, =c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且 a·b=b·c=c·a=0,
所以 =b+ c, =-c+ b- a.
所以 · =- c2+ b2=0.

所以 ⊥ ,即 CE⊥A′D. (2)解:因为 =-a+c,所以| |= |a|. 又| |= |a|.
· =(-a+c)·(b+ c)= c2= |a|2,

所以 cos< , >=

=,

即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 . 15.如图,正三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面边长为 .

(1)设侧棱长为 1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设 AB1 与 BC1 的夹角为 ,求侧棱的长. (1)证明: = + ,
= +. 因为 BB1⊥平面 ABC, 所以 · =0, · =0. 又△ABC 为正三角形,
所以< , >=π -< , >=π - = . 因为 · =( + )·( + )

=· +·+ + ·

=| || |cos< , >+ =-1+1 =0, 所以 AB1⊥BC1.

(2)解:由(1)知 · =| || |cos< , >+ = -1.

又| |=

=

=| |,

所以 cos< , >=

=,

所以| |=2,即侧棱长为 2.

16.设 A,B,C,D 是空间中不共面的四点,且满足 · =0, · = 0, · =0,则△BCD 是 (B) (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定
解析: · =( - )·( - )= · - · - · + = >0, 同理,可证 · >0, · >0. 所以△BCD 的每个内角均为锐角,故△BCD 是锐角三角形. 17.已知在正四面体 ABCD 中,所有棱长都为 1,△ABC 的重心为 G,则 DG 的长为( D )
(A) (B) (C) (D) 解析:如图,连接 AG 并延长交 BC 于点 M,连接 DM, 因为 G 是△ABC 的重心,

所以 AG= AM,

所以 = ,

= + = + = + ( - )= + ( + )- = ( + + ),
而( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · = 1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6,

所以| |= .故选 D.

18.如图,在一个直二面角α AB β 的棱上有两点 A,B.AC,BD 分别是这个二面角的两个面内垂

直于 AB 的线段,且 AB=4,AC=6,BD=8,则 CD=

.

解析:由 = + +

= + + +2 · +2 · +2 · =36+16+64=116,

| |=2 . 答案:2 19.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,下面给出的结论:
①| + + |2=3| |2;

② ·( - )=0;

③ 与 的夹角为 60°;

④此正方体体积为| · 则错误结论的序号是

· |. (填出所有错误结论的序号).

解析:①因为| + + |=| |= | |,故①正确;

②因为

·(

-

)=(

+

+

)·(

-

)=

+

· + · - · - · - =0,故②正确;

③AD1 与 A1B 两异面直线的夹角为 60°,但 与 的夹角为 120°,注意方向;

④因为 · 答案:③④

=0,故④错误.

20.在棱长为 1 的正方体 ABCD A′B′C′D′中,E,F 分别是 D′D,DB 的中点,G 在棱 CD 上,CG= CD,H 为 C′G 的中点. (1)求 EF,C′G 所成角的余弦值; (2)求 FH 的长. 解:设 =a, =b, =c, 则 a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1. (1)因为 = + =- c+ (a-b)= (a-b-c),
= + =-c- a,
所以 · = (a-b-c)·(-c- a) = (- a2+c2)= , | |2= (a-b-c)2= (a2+b2+c2)= , | |2=(-c- a)2=c2+ a2= ,
所以| |= ,| |= ,

cos< , >=

=,

所以 EF,C′G 所成角的余弦值为 . (2)因为 = + + + = (a-b)+b+c+

= (a-b)+b+c+ (-c- a)

= a+ b+ c,

所以| |2=( a+ b+ c)2= a2+ b2+ c2= ,

所以 FH 的长为 .