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对数三角函数


对数的性质及推导 用^表示乘方,用 log(a)(b)表示以 a 为底,b 的对数 *表示乘号,/表示除号 定义式: 若 a^n=b(a>0 且 a≠1) 则 n=log(a)(b)

基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推导 1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入 a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性质 1(换掉 M 和 N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3.与 2 类似处理 MN=M/N 由基本性质 1(换掉 M 和 N) a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4.与 2 类似处理 M^n=M^n 由基本性质 1(换掉 M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质: 性质一:换底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 推导如下 N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为 N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 所以 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

性质二:(不知道什么名字) log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下 由换底公式[lnx 是 log(e)(x),e 称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n) 由基本性质 4 可得 log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导 完 ) 公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下: 由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1 ----取以 b 为底的对数,log(b)(b)=1

logaMN=logaM+logaN logaM/logaN=logaM-logaN logaM^n=nlogaM logbN=logaNb/logab logaB 乘 logbA=1 logaB*logbC*logcD=logaD loga(m)b(n)=n/mlogaB 1.换底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 设 N=logab(表示以 a 为底 b 的对数) 2.b=a^N lnb=Nlna N=lnb/lna

三角函数的和差化积公式 sinα+sinβ=2sin(α+β)/2cos(α-β)/2 sinα-sinβ=2cos(α+β)/2sin(α-β)/2 cosα+cosβ=2cos(α+β)/2cos(α-β)/2 cosα-cosβ=-2sin(α+β)/2sin(α-β)/2 三角函数的积化和差公式 sinα cosβ=1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)] cosα sinβ=1/2 [sin(α+β)-sin(α-β)] cosα cosβ=1/2 [cos(α+β)+cos(α-β)] sinα sinβ=-1/2 [cos(α+β)-cos(α-β)] 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a)

sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)

4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12[sin(a+b)+sin(a-b)]

5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

6.半角公式

sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)

7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

8.其它公式(推导出来的 ) asin(a)+bcos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba asin(a)+bcos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab

1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2


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