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数学:五年高考三年联考精品题库——等差数列、等比数列的概念及求和


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第六章 第一节

数列

等差数列、 等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 五年高考体题荟萃 2009 年高考题

一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q 2 ? a1q 8 = 2 a1q 4 为正数,所以 q =

(

) ,即 q
2

2

= 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比

2 ,故 a1 =

a2 1 2 ,选 B = = q 2 2
为等差数列, C. 3 D.7 ,则 等于

2.(2009 安徽卷文)已知 A. -1 B. 1

【解析】∵ a1 + a3 + a5 = 105 即 3a3 = 105 ∴ a3 = 35 同理可得 a4 = 33 ∴公差 d = a4 ? a3 = ?2 ∴
a20 = a4 + (20 ? 4) × d = 1 .选 B。

【答案】B 3. (2009 江西卷文) 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项,

S8 = 32 ,则 S10 等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

【答案】C 【 解 析 】 由 a4 = a3 a7 得 ( a1 + 3d ) = ( a1 + 2d )( a1 + 6d ) 得 2a1 + 3d = 0 , 再 由
2 2

56 d = 32 得 2 90 S10 = 10a1 + d = 60 ,.故选 C 2

S8 = 8a1 +

2a1 + 7 d = 8 则 d = 2, a1 = ?3 , 所 以

4. (2009 湖南卷文) Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, 设 已知 a2 = 3 ,a6 = 11 , S7 等于( 则 A.13
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)

B.35

C.49
-1-

D. 63
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【解析】 S7 = 或由 ?

7(a1 + a7 ) 7(a2 + a6 ) 7(3 + 11) = = = 49. 故选 C. 2 2 2

?a2 = a1 + d = 3 ?a = 1 ?? 1 , a7 = 1 + 6 × 2 = 13. ?a6 = a1 + 5d = 11 ?d = 2

7(a1 + a7 ) 7(1 + 13) = = 49. 故选 C. 2 2 5.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 = A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 = 6 = B

5 3

C.- 2

D 3

3 (a1 + a3 ) 且 a3 = a1 + 2d a1 =4 ∴ d=2 .故选 C 2

6.(2009 辽宁卷文)已知 {an } 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

7.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项, 则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 答案】
2 【解析】设公差为 d ,则 (1 + d ) = 1 ? (1 + 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 解析】

B. 100

C. 145

D. 190

8. 2009 宁夏海南卷文) ( 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 am ?1 + am +1 ? am = 0 , 2 m ?1 = 38 , S
2

则m = A.38 【答案】C 【解析】因为 {an } 是等差数列,所以, am ?1 + am +1 = 2am ,由 am ?1 + am +1 ? am = 0 ,得:2 a m
2

B.20

C.10

D.9

- a m =0,所以, a m =2,又 S 2 m ?1 = 38 ,即
2

(2m ? 1)(a1 + a 2 m ?1 ) =38,即(2m-1)×2= 2

38,解得 m=10,故选.C。

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9.. 2009 重庆卷文) {an } 是公差不为 0 的等差数列, 1 = 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, {an } ( 设 a 则 的前 n 项和 Sn =( )

A.

n 2 7n + 4 4

B.

n 2 5n + 3 3

C.

n 2 3n + 2 4

D. n + n
2

【答案】A 【解析】 设数列 {an } 的公差为 d , 则根据题意得 (2 + 2d )2 = 2 ? (2 + 5d ) , 解得 d = (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2n + 二、填空题 10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = 答案 24 解析

1 或d = 0 2

n(n ? 1) 1 n 2 7 n × = + 2 2 4 4

Q{an } 是等差数列,由 S9 = 72 ,得∴ S9 = 9a5 , a5 = 8

∴ a2 + a4 + a9 = (a2 + a9 ) + a4 = (a5 + a6 ) + a4 = 3a5 = 24 .
11.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q = 答案:15 解析 对于 s4 =

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 = 2 a4



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 = a1q 3 ,∴ 4 = 3 = 15 1? q a4 q (1 ? q )
?

12.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = 2an ( n ∈ N ) ,则 a5 = 8 项的和 S8 = 答案 225 .解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 的考查. .(用数字作答)

;前

属于基础知识、基本运算

a1 = 1, a2 = 2a1 = 2, a3 = 2a2 4, a4 = 2a3 = 8, a5 = 2a4 = 16 ,
易知 S8 =

28 ? 1 = 255 ,∴应填 255. 2 ?1
×

若 则 13. (2009 全国卷Ⅱ文) 设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。 a1 = 1, s 6 = 4 s 3 , a 4 =
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答案:3 : 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 = 1, s 6 = 4 s 3 得 q =3 故 a4=a1q =3 由
3 3

14.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 = 5a3 则 解析 Q{an } 为等差数列,∴ 答案 9

S9 = S5

S9 9a5 = =9 S5 5a3

15.(2009 辽宁卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 6 S5 ? 5S3 = 5, 则 a4 = 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

1 2

三、解答题 16.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S n = kn + n , n ∈ N ,其中 k 是常数.
2
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ∈ N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n = 1, a1 = S1 = k + 1 ,

n ≥ 2, a n = S n ? S n?1 = kn 2 + n ? [k (n ? 1) 2 + (n ? 1)] = 2kn ? k + 1 ( ? )
经验, n = 1, ( ? )式成立,

∴ a n = 2kn ? k + 1
2

(Ⅱ)Q a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,∴ a 2 m = a m .a 4 m , 即 ( 4km ? k + 1) 2 = ( 2km ? k + 1)(8km ? k + 1) ,整理得: mk ( k ? 1) = 0 , 对任意的 m ∈ N ? 成立,

∴ k = 0或k = 1
?

17.(2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an = pn + q ( n ∈ N , P > 0) . 数列 {bn } 定义如 下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ≥ m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p =

1 1 , q = ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p = 2, q = ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式;

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(Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果 不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 解析】 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 an = ∴

?

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ≥ 3 ,得 n ≥ . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ≥ 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 = 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an = 2n ? 1 , 对于正整数,由 an ≥ m ,得 n ≥ 根据 bm 的定义可知 当 m = 2k ? 1 时, bm = k k ∈ N * ;当 m = 2k 时, bm = k + 1 k ∈ N * . ∴ b1 + b2 + L + b2 m = ( b1 + b3 + L + b2 m ?1 ) + ( b2 + b4 + L + b2 m )

m +1 . 2

(

)

(

)

= (1 + 2 + 3 + L + m ) + ? 2 + 3 + 4 + L + ( m + 1) ? ? ? = m ( m + 1) 2 + m ( m + 3) 2 = m 2 + 2m .
m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn + q ≥ m 及 p > 0 得 n ≥
?

∵ bm = 3m + 2( m ∈ N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m + 1 <

m?q ≤ 3m + 2 ,即 ?2 p ? q ≤ ( 3 p ? 1) m < ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p+q 2p+ q (或 m ≤ ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 > 0 (或 3 p ? 1 < 0 )时,得 m < ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 = 0 ,即 p =

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ≤ 0 < ? ? q ,解得 ? ≤ q < ? . 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p =

1 2 1 , ? ≤ q < ? .. 3 3 3
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18.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ∈ N 均在函数 y = b x + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

+

,点 (n, S n ) ,

bn =
+

n +1 (n ∈ N + ) 4 an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ∈ N ,点 (n, S n ) , 均在函数 y = b + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像 上.所以得 S n = b + r ,
n

当 n = 1 时, a1 = S1 = b + r , 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = b + r ? (b
n n ?1

+ r ) = b n ? b n ?1 = (b ? 1)b n ?1 ,
所以 an = (b ? 1)b
n ?1

又因为{ an }为等比数列, 所以 r = ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an = (b ? 1)b 则 Tn =
n ?1

= 2 n ?1 ,

bn =

n +1 n +1 n +1 = = n +1 n ?1 4 an 4 × 2 2

2 3 4 n +1 + 3 + 4 + L + n +1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 Tn = + 4 + 5 + L + n +1 + n + 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n +1 相减,得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 + L + n +1 ? n + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 × (1 ? n ?1 ) 1 23 n +1 3 1 n +1 2 + ? n + 2 = ? n +1 ? n + 2 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n +1 3 n + 3 所以 Tn = ? n ? n +1 = ? n +1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运 用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 19. 2009 全国卷Ⅱ文) ( 已知等差数列{ a n }中, a 3 a 7 = ?16, a 4 + a 6 = 0, 求{ a n }前 n 项和 s n .

解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 {an } 的公差为 d ,则
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?( a1 + 2d )( a1 + 6d ) = ?16 ? ? ?a1 + 3d + a1 + 5d = 0 ?

?a12 + 8da1 + 12d 2 = ?16 即? ?a1 = ?4d
解得 ?

?a1 = ?8, ?a1 = 8 或? ?d = 2, ? d = ?2

因此 S n = ?8n + n ( n ? 1) = n ( n ? 9 ),或S n = 8n ? n ( n ? 1) = ?n ( n ? 9 ) 20.(2009 安徽卷文)已知数列{ } 的前 n 项和 ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

( n = 1) ? a1 【思路】由 a = ? ? sn ? sn ?1 ( n ≥ 2)

可求出 an 和 bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在求

出 an 和 bn 后,进而得到 cn ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 = s1 = 4 当 n ≥ 2 时, an = sn ? sn ?1 = (2n + 2n) ? [2( n ? 1) + 2( n ? 1)] = 4n ∴ am = 4n( n ∈ N )
2 2 *

又当 x ≥ n 时 bn = Tn ? Tn ?1 ? (2 ? 6 m ) ? (2 ? bm ?1 ) ∴ 2bn = bn ?1

1 1 ∴ 数列 {bn } 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ∴ bn = ( ) n ?1 2 2 1 16(n + 1) 2 ? ( )( n +1) ?1 1 n ?1 Cn +1 (n + 1) 2 2 2 2 (2)由(1)知 C1 = a1 ? bn = 16n ? ( ) ∴ = = 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2 Cn +1 (n + 1) 2 由 < 1得 < 1 即 n 2 ? 2n ? 1 > 0 ∴ n > 1 + 2 即 n ≥ 3 Cn 2n
又n ≥ 3时

C (n + 1)2 < 1 成立,即 n +1 < 1 由于 Cn > 0 恒成立. 2 Cn 2n

因此,当且仅当 n ≥ 3 时, Cn +1 < Cn
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21.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an = n (cos
2

2

nπ nπ ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ; (2) bn =

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n nπ 2nπ 2 nπ 解: (1) 由于 cos ? sin 2 = cos ,故 3 3 3
S3k = (a1 + a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 ) + L + (a3k ? 2 + a3k ?1 + a3k ) = (? = 12 + 22 4 2 + 52 (3k ? 2) 2 + (3k ? 1) 2 + 32 ) + (? + 62 ) + L + (? + (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k + 4) + +L + = , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 = S3k ? a3 k = , 2 k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 + = ?k = ? ? , 2 2 2 3 6

S3k ? 2 = S3k ?1 ? a3 k ?1 =



n 1 ? n = 3k ? 2 ? ?3 ? 6, ? ? (n + 1)(1 ? 3n) Sn = ? , n = 3k ? 1 6 ? ? n(3n + 4) , n = 3k ? 6 ?

(k ∈N )
*

(2) bn =

S3 n 9n + 4 = , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n + 4 Tn = [ + 2 + L + ], 2 4 4 4n 1 22 9n + 4 4Tn = [13 + + L + n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n + 4 1 4 4n ? 9n + 4 ] = 8 ? 1 ? 9n , 3Tn = [13 + + L + n ?1 ? ] = [13 + 1 2 4 4 4n 2 4n 22 n ?3 2 2 n +1 1? 4 8 1 3n 故 Tn = ? ? 2 n +1 . 2 n ?3 3 3? 2 2
22. (2009 天津卷文)已知等差数列 {a n } 的公差 d 不为 0,设 S n = a1 + a 2 q + L + a n q
n ?1

Tn = a1 ? a 2 q + L + (?1) n ?1 a n q n?1 , q ≠ 0, n ∈ N *

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(Ⅰ)若 q = 1, a1 = 1, S 3 = 15 ,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 = d , 且S1 , S 2 , S 3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ≠ ±1, 证明( ? q)S 2 n ? (1 + q )T2 n 1

2dq (1 ? q 2 n ) = ,n ∈ N* 2 1? q
2

(1)解:由题设, S 3 = a1 + ( a1 + d ) q + ( a1 + 2d ) q , 将q = 1, a1 = 1, S 3 = 15 代入解得 d = 4 ,所以 a n = 4n ? 3 n ∈ N * (2)解:当 a1 = d , S1 = d , S 2 = d + 2dq, S 3 = d + 2dq + 3dq ,Q S1 , S 2 , S 3 成等比数列,所
2

2 以 S 2 = S1 S 3 ,即 d + 2dq) = d(d + 2dq + 3dq 2 ) ,注意到 d ≠ 0 ,整理得 q = ?2 ( 2

(3)证明:由题设,可得 bn = q

n ?1

,则 ① ②

S 2 n = a1 + a 2 q + a 3 q 2 + L a 2 n q 2 n ?1 T2 n = a1 ? a 2 q + a 3 q 2 ? L ? a 2 n q 2 n ?1
①-②得,

S 2 n ? T2 n = 2(a 2 q + a 4 q 3 + L + a 2 n q 2 n ?1 )
①+②得,

S 2 n + T2 n = 2(a1 q + a 3 q 2 + L + a 2 n ?1 q 2 n ? 2 )


2 2n?2

③式两边同乘以 q,得 q ( S 2 n + T2 n ) = 2( a1 q + a3 q + L + a 2 n ?1 q 所以 (1 ? q ) S 2 n ? (1 + q )T2 n = 2d ( q + q + L + q
3 2 n ?1

)

)=

2dq (1 ? q 2 n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c 2 = ( a k1 ? a l1 )b1 + ( a k 21 ? al2 )b2 + ( a k n ? a ln )bn = ( k1 ? l1 ) db1 + ( k 2 ? l 2 ) db1 q + L + ( k n ? l n ) db1 q 因为 d ≠ 0, b1 ≠ 0 ,所以
n ?1

c1 ? c 2 = (k1 ? l1 ) + (k 2 ? l 2 )q + L + (k n ? l n )q n ?1 db1
若 k n ≠ l n ,取 i=n,

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若 k n = l n ,取 i 满足 k i ≠ l i ,且 k j = l j , i + 1 ≤ j ≤ n 由(1) (2)及题设知, 1 < i ≤ n ,且

c1 ? c 2 = (k1 ? l1 ) + (k 2 ? l 2 )q + L + (k n ? l n )q n ?1 db1
① 当 k i < l i 时, k i ? l i ≤ ?1 ,由 q ≥ n , k i ? l i ≤ q ? 1, i = 1,2 L , i ? 1
i ?2

即 k1 ? l1 ≤ q ? 1 , ( k 2 ? l 2 ) q ≤ q ( q ? 1), L (k i ?1 ? l i ?1 ) q 所以

≤ q (q ? 1) i ? 2

c1 ? c 2 1 ? q i ?1 ≤ (q ? 1) + (q ? 1)q + L + (q ? 1)q i ? 2 ? q i ?1 = (q ? 1) ? q i ?1 = ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c 2 ≠ 0 ② 当 k i > li 时,同理可得

c1 ? c 2 ≤ ?1, 因此 c1 ? c 2 ≠ 0 db1

综上, c1 ≠ c 2

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 23. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 = 1, S n +1 = 4an + 2 (I)设 bn = an +1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I)由 a1 = 1, 及 S n +1 = 4an + 2 ,有 a1 + a2 = 4a1 + 2, a2 = 3a1 + 2 = 5,∴ b1 = a2 ? 2a1 = 3 由 S n +1 = 4an + 2 ,. ..① 则当 n ≥ 2 时,有 S n = 4an ?1 + 2 ...② ..

②-①得 an +1 = 4an ? 4an ?1 ,∴ an +1 ? 2an = 2( an ? 2an ?1 ) 又Q bn = an +1 ? 2an ,∴ bn = 2bn ?1 ∴{bn } 是首项 b1 = 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn = an +1 ? 2an = 3 ? 2
n ?1

,∴

an +1 an 3 ? = 2n +1 2 n 4

∴ 数列 {

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4

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an 1 3 3 1 = + (n ? 1) = n ? , an = (3n ? 1) ? 2n ? 2 n 2 2 4 4 4

评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn ?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an +1 ? 2an = 3 ? 2
n ?1

,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:

an +1 = pan + q n ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n +1 .
总体来说, 年高考理科数学全国 I、 这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列 09 (全 Ⅱ 国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题 作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重 视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24. (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn 解: (Ⅰ)依题意有

a1 + (a1 + a1 q ) = 2(a1 + a1 q + a1 q 2 )
由于 a1 ≠ 0 ,故

2q 2 + q = 0
又 q ≠ 0 ,从而 q = -

1 2 1 2
2

5分

(Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) = 3 ( 故 a1 = 4

1 n ( ? ? )) 41( 8 1 n 2 从而 S n = = (1 ? ? )) ( 1 3 2 1? ? ) ( 2

10 分

25. (2009 陕西卷文)已知数列 {an } 满足, a1= ’ 2 = 2, an+2= 1a

an + an +1 ,n∈ N*. 2

( Ι ) 令 bn = an+1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 {an } 的通项公式。

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(1)证 b1 = a2 ? a1 = 1, 当 n ≥ 2 时, bn = an +1 ? an = 所以 {bn } 是以 1 为首项, ?

an ?1 + an 1 1 ? an = ? (an ? an ?1 ) = ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn = an +1 ? an = ( ? ) , 2
当 n ≥ 2 时, an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( an ? an ?1 ) = 1 + 1 + ( ? ) + L + ( ? )

1 2

1 2

n? 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 = 1+ = 1 + [1 ? (? ) n? 2 ] = ? (? ) n?1 , 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n = 1 时, ? ( ? ) = 1 = a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an = ? ( ? ) ( n ∈ N ) 。 3 3 2
26.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: a (Ⅱ) 若数列{an}和数列{bn}满足等式: n== 的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 {an } 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 + 7 d = 16 由 a3 ? a6 = 55, 得 ( a1 + 2d )( a1 + 5d ) = 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b + 2 + 3 + ... n (n为正整数) ,求数列{bn} 2 2 2 2n

由①得 2a1 = 16 ? 7 d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 + 3d ) = 220 。即 256 ? 9d = 220

∴ d 2 = 4, 又d > 0,∴ d = 2, 代入①得a1 = 1 ∴ an = 1 + (n ? 1) ? 2 = 2n ? 1
(2)令 cn =

bn , 则有an = c1 + c2 + K + cn , an +1 = c1 + c2 + K + cn ?1 2n

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an +1 ? an = cn +1 ,由(1)得a1 = 1, an +1 ? an = 2
两式 相减得∴ cn +1 = 2, cn = 2( n ≥ 2), 即当n ≥ 2时,bn = 2
n +1

又当n=1时,b1 = 2a1 = 2

?2, (n = 1) ∴ bn = ? n +1 ?2 (n ≥ 2)
于是 S n = b1 + b2 + b3 K + bn = 2 + 2 + 2 + K + 2
3 4 n +1

= 2 + 2 + 2 + 2 +K + 2
2 3 4

n+1

-4=

2(2n +1 ? 1) ? 4 = 2n + 2 ? 6, 即S n = 2n + 2 ? 6 2 ?1

27. (2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 = 2, a4 = 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 若 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 = 2q 3 ,解得 q = 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 = 8 , a5 = 32 ,则 b3 = 8 , b5 = 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 + 2d = 8 ?b1 = ?16 解得 ? ?d = 12 ?b1 + 4d = 32

从而 bn = ?16 + 12( n ? 1) = 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n =

n(?16 + 12n ? 28) = 6n 2 ? 22n 2

28(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 = 1, a2 = 4, an + 2 = 4an +1 + an , bn = (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn = bn bn +1 , S n 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: S n ≥ 17 n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn <

an +1 ,n∈ N?. an

1 1 . 64 17 n ? 2 17 72 , b3 = 4 17

解: (Ⅰ)Q a2 = 4, a3 = 17, a4 = 72 ,所以 b1 = 4.b2 =

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(Ⅱ)由 an + 2 = 4an +1 + an 得

an + 2 a 1 = 4 + n 即 bn +1 = 4 + an +1 an +1 bn
(n ≥ 2)

所以当 n ≥ 2 时, bn > 4 于是 c1 = b1 , b2 = 17, cn = bn bn +1 = 4bn + 1 > 17 所以 S n = c1 + c2 + L + cn ≥ 17 n (Ⅲ)当 n = 1 时,结论 b2 ? b1 = 当 n ≥ 2 时,有 bn +1 ? bn =| 4 +

1 17 < 成立 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |=| n n ?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bn bn ?1 17 (n ≥ 2)



1 1 1 1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ L ≤ n ?1 | b2 ? b1 |< 2 17 17 64 17 n ? 2

所以

b2 n ? bn ≤ bn +1 ? bn + bn + 2 ? bn +1 + L + b2 n ? b2 n ?1

1 1 ( ) n ?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n ?1 1 n 1 2 n ? 2 ? 1 17 17 < 1 1 (n ∈ N * ) ?(17 ) + (17 ) + L + (17 ) ? = 4 1 4? 64 17 n ? 2 ? 1? 17
2005—— ——2008 年高考题 —— 一、选择题 1.(2008 天津)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 = 25 ,且 a2 = 3 ,则 a7 = ( A.12 答案 B 2.(2008 陕西)已知 {an } 是等差数列,a1 + a2 = 4 ,a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等 于( A.64 答案 B 3.(2008 广东)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = A.16 答案 D 4. (2008 浙江) 已知 {a n } 是等比数列,a 2 = 2,a 5 = A.16( 1 ? 4 ? n ) B.24 C.36 ) B.100 C.110 D.120 B.13 C.14 D.15 )

1 , S 4 = 20 ,则 S6 = ( ) 2
D.48

1 , a1 a 2 + a 2 a3 + L + a n a n +1 = 则 ( 4



B.6( 1 ? 2 ? n )

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C.

32 ?n (1 ? 4 ) 3

D.

32 ?n (1 ? 2 ) 3

答案 C 5.(2008 四川)已知等比数列 ( an ) 中 a2 = 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. ( ?∞, ?1] C. [3, +∞ ) 答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 ( A.63 答案 C ) ) B.64 C.127 D.128 B. ( ?∞, 0 ) U (1, +∞ ) D. ( ?∞, ?1] U [ 3, +∞ )

,则公比 q 为( 7.(2007 重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, A.2 答案 A B.3 C.4 D.8

8.(2007 安徽)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S x 若 a 2 = 1, a 3 = 3, 则S 4= ( A.12 答案 B B.10 C.8 D.6



9. 2007 辽宁) ( 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = 9 , 6 = 36 , a7 + a8 + a9 = 若 S 则 ( A.63 答案 B 10.(2007 湖南) 在等比数列 {an } ( n ∈ N * )中,若 a1 = 1 , a4 = 为( A. 2 ? ) B.45 C.36 D.27



1 ,则该数列的前 10 项和 8 1 211

1 24

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

D. 2 ?

答案 B 11.(2007 湖北)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn , 且

An 7 n + 45 = , Bn n+3

则使得

an 为整数的正整数 n 的个数是( bn



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A.2 答案 D

B.3

C.4

D.5

12.(2007 宁夏)已知 a,b,c,d 成等比数列, 且曲线 y = x 2 ? 2 x + 3 的顶点是 (b,c ) , ad 则 等于( A.3 答案 D 13.(2007 四川)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( A.9 答案 B 14. (2006湖北) 若互不相等的实数 ) 则a = A.4 答案 解析 D 由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a + 3b + c = 10 可得b B.2 C.-2 D.-4 成等差数列, B.10 C.11 D.12 ) ) B.2 C.1 D. ?2

a , b, c

成等比数列, a + 3b + c = 10 , 且

c, a , b

=2,所以a=2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D 15.(2005福建)已知等差数列 {a n } 中, a 7 + a 9 = 16, a 4 = 1, 则a12 的值是 A.15 答案 A 16.(2005 江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ B.30 C.31 D.64 ( )

a4+ a5=(
A .33 答案 C 二、填空题

) B. 72 C. 84 D .189

17.(2008 四川)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ≥ 10, S5 ≤ 15 ,则 a4 的最大值为 ______. 答案 4 .

18.(2008 重庆)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

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19.(2007 全国 I) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为 答案 .

1 3

20.(2007 江西)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 = 21 ,则 a2 + a5 + a8 + a11 = . 答案 7 21.(2007 北京)若数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ? 10n( n = 1, 3, ) ,则此数列的通项公式 2, L
2

为 答案

;数列 {nan } 中数值最小的项是第

项.

2n ? 11

22. ( 2006 湖 南 ) 数 列
a1 + a 2 + L + a n =

{a n }

满 足 : a1 = 1, a n +1 = 2a n .n = 1 , 2 , 3 … . 则

.

答案

2n ?1 a1 = 1, an +1 = 2an , n = 1
,2,3…,该数列为公比为 2 的等比数列,

解析 数列 {a n } 满足:
n

∴ a1 + a 2 + L + a n = . 三、解答题

2 ?1 = 2n ? 1 2 ?1

23.(2008 四川卷) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 ban ? 2 = ( b ? 1) Sn .
n

(Ⅰ)证明:当 b = 2 时, an ? n ? 2 n ?1 是等比数列; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式 解 由题意知 a1 = 2 ,且 ban ? 2 = ( b ? 1) Sn
n

{

}

ban +1 ? 2n +1 = ( b ? 1) Sn +1
两式相减得 b ( an +1 ? an ) ? 2 = ( b ? 1) an +1
n

即 an +1 = ban + 2 n



(Ⅰ)当 b = 2 时,由①知 an +1 = 2 an + 2 n

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于是 an +1 ? ( n + 1) ? 2 = 2an + 2 ? ( n + 1) ? 2
n n

n

= 2 ( an ? n ? 2 n ?1 )
又 a1 ? 1 ? 2 n ?1 = 1 ≠ 0 ,所以 an ? n ? 2 n ?1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。 (Ⅱ)当 b = 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2 n ?1 = 2 n ?1 ,即 an = ( n + 1) 2 当 b ≠ 2 时,由由①得
n ?1

{

}

an +1 ?

1 1 ? 2n +1 = ban + 2 n ? ? 2n +1 2?b 2?b b = ban ? ? 2n 2?b

1 ? ? = b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an +1 ?

1 1 ? ? ? 2 n +1 == b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

=

2 (1 ? b ) 2?b

? bn

n =1 ? 2 ? 得 an = ? 1 n n ?1 n≥2 ? 2 ? b ? 2 + ( 2 ? 2b ) b ? ? ? ?
24.(2008 江西卷)数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比 数列,且 a1 = 3, b1 = 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S 2 = 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 + +L + < . S1 S 2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an = 3 + (n ? 1)d , bn = q n ?1

? ban+1 q 3+ nd = 3+ ( n ?1) d = q d = 64 = 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S 2b2 = (6 + d )q = 64 ?

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由 (6 + d ) q = 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d = 2, q = 8 故 an = 3 + 2( n ? 1) = 2n + 1, bn = 8
n ?1

(2) S n = 3 + 5 + L + (2n + 1) = n( n + 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 + +L + = + + +L + S1 S 2 S n 1× 3 2 × 4 3 × 5 n(n + 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? + ? + ? + L + ? ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 3 = (1 + ? ? )< 2 2 n +1 n + 2 4 =
25..(2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 = λ , an +1 =

2 an + n ? 4, bn = (?1) n (an ? 3n + 21), 其中 λ 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 λ ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 < a < b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 λ ,使得对任意正整数 n ,都有

a < S n < b ?若存在,求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有 a 2=a1a3,即
2

2 4 4 4 ( λ ? 3) 2 = λ ( λ ? 4) ? λ2 ? 4λ + 9 = λ2 ? 4λ ? 9 = 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( =
n+1 n+1

2 an-2n+14) 3

2 2 n (-1) · an-3n+21)=- bn ( 3 3
+

又 b1x-(λ+18),所以 当λ=-18,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列: 当λ≠-18 时,b1=(λ+18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba +1 2 = ? (n∈N+). bn 3
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故当λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知 bn= -(λ+18)(- ·
n Sn=- (λ + 18)· ?1-(- )?.   5 3

2 为公比的等比数列. 3

2 n-1 ) ,于是可得 3

3

? ?

2 ? ?

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3 2 n + (λ+18)· [1-(- ) ] n∈N ) 〈b( 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 < ? (λ + 18) < 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          


2 令f (n) = 1 ? (? ),则 5 5 ;当n为正偶数时, ≤ f (n) < 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ+18),< b ? ?b ? 18 < λ < ?3a ? 18. 9 5 5
当 n 为正奇数时,1<f(n) ≤ 当 a<b ≤ 3a 时,由-b-18 ≥ =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2. 26.(2005 北京)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an +1 = (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 + a4 + a6 + L + a2n 的值.

1 S n ,n=1,2,3,……,求 3

1 S n ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 , a2 = S1 = a1 = , a3 = S 2 = ( a1 + a2 ) = , a4 = S3 = ( a1 + a2 + a3 ) = 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1 1 4 由 an +1 ? an = ( S n ? S n ?1 ) = an (n≥2) ,得 an +1 = an (n≥2) , 3 3 3 1 4 1 又 a2= ,所以 an= ( ) n ? 2 (n≥2), 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an +1 =

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an = ? 1 4 n ? 2 ?3 ( 3) ?
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n =1 n≥ 2

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27.(2005 福建)已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a 3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2 a 3 = a1 + a 2 , 即2 a1 q 2 = a1 + a1 q,

Q a1 ≠ 0,∴ 2q 2 ? q ? 1 = 0.

1 ∴ q = 1或 ? . 2
(Ⅱ)若 q = 1, 则S n = 2n + 当 n ≥ 2时, S n ? bn = S n ?1 = 若q = ?

n( n ? 1) n 2 + 3n ?1 = . 2 2 ( n ? 1)(n + 2) > 0. 故 S n > bn . 2

1 n( n ? 1) 1 ? n 2 + 9n , 则S n = 2 n + (? ) = . 2 2 2 4 ( n ? 1)( n ? 10) , 4

当 n ≥ 2时, S n ? bn = S n ?1 = ?

故对于 n ∈ N + , 当2 ≤ n ≤ 9时, S n > bn ;当n = 10时, S n = bn ;当n ≥ 11时, S n < bn . 第二部分 三年联考题汇编 2009 年联考题 一、选择题 1.(北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)各项均不为零的等差数列 {a n } 中,若 )
2 an ? an ?1 ? an +1 = 0(n ∈ N ? , n ≥ 2) ,则 S 2009 等于





A.0 答案 D

B.2

C.2009

D.4018

2. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理) 若数列 {an } 是公比为 4 的等比数列,且

a1 = 2 ,则数列 {log 2 an } 是(
A. 公差为 2 的等差数列 C. 公比为 2 的等比数列 答案 A

) B. 公差为 lg 2 的等差数列 D. 公比为 lg 2 的等比数列

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3. (2009 福州三中) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S7 = 14 , a3 + a5 的值为 若 则 ( A.2 答案 B B.4 C.7 D.8



4.(2009 厦门一中文)在等差数列 {an } 中, a2 + a8 = 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A.18 答案 A B 27 C 36 D 9



2 5.(2009 长沙一中期末)各项不为零的等差数列 {a n } 中, 2 a 3 ? a 7 + 2 a11 = 0 ,则 a7 的值为 ...

( A. 0 答案 B B.4 C. 0或4 D. 2



6.(2009 宜春)在等差数列 {a n } 中, a1 + a 4 + a 7 = 39 , a 3 + a 6 + a9 = 27 ,则数列 {a n } 的 前 9 项之和 S 9 等于 A.66 答案 B 7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 B.99 C.144 D..297 ( )

S n , 若S 4 = 8, S 8 = 20, 则a11 + a12 + a13 + a14 =
A.18 答案:C. 二、填空题 B.17 C.16 D.15





8.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠ 0 , 且 a1 , a 3 , a9 成等比数列,则 答案

a1 + a3 + a9 的值为 a 2 + a 4 + a10



13 16

9.(2009 福州八中)已知数列 an = ?

?n ? 1, n为奇数 则 a1 + a100 = ____ , ? n, n为偶数

a1 + a2 + a3 + a4 + L + a99 + a100 = ____

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答案 100. 5000; 10.(2009 宁乡一中第三次月考)11、等差数列 {an } 中, a1 + a2 + L + a9 = 81 且

a2 + a3 + L + a10 = 171 ,则公差 d =
答案 10 11.(2009 南京一模)已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,若 a1 = 3 ,前三项的和为 21 , 则 a 4 + a5 + a 6 = 答案 168 12. 2009 上海九校联考) ( 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n = 2 ? 1 , a8 = 若 则
n

.

答案 128

三、解答题 13.(2009 龙岩一中)设正整数数列 {an } 满足: a1 = 2, a2 = 6 ,当 n ≥ 2 时,有
2 | an ? an ?1an +1 |<

1 an ?1 . 2

(I) 求 a3 、 a 4 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项; (Ⅲ) 记 Tn =
* 12 22 32 n2 9 + + + L + ,证明,对任意 n ∈ N , Tn < . a1 a2 a3 an 4
2

解(Ⅰ) n = 2 时, | a2 ? a1a3 |<

1 a1 ,由已知 a1 = 2, a2 = 6 ,得 | 36 ? 2a3 |< 1 , 2

因为 a3 为正整数,所以 a3 = 18 ,同理 a 4 = 54 ………………………………2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想: an = 2 ? 3 证明:① n = 1, 2 时,命题成立; ②假设当 n = k ? 1 与 n = k 时成立,即 ak = 2 ? 3 于是 | ak ? ak ?1ak +1 |<
2

n ?1

。…………………………………………3 分

k ?1

, ak ?1 = 2 ? 3

k ?2

。……………4 分

a2 1 1 ak ?1 ,整理得: | k ? ak +1 |< ,……………………………5 分 2 ak ?1 2

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由归纳假设得: | 2 ? 3 ? ak +1 |<
k

1 1 1 ? 2 ? 3k ? < ak +1 < 2 ? 3k + ,…………………6 分 2 2 2
k

因为 ak +1 为正整数,所以 ak +1 = 2 ? 3 ,即当 n = k + 1 时命题仍成立。 综上:由知①②知对于 ?n ∈ N ,有 an = 2 ? 3
*

n ?1

成立.………………………………7 分

(Ⅲ)证明:由 2Tn = 1 +

22 32 n2 + 2 + L + n ?1 3 3 3



2 12 2 2 (n ? 1) 2 n 2 得 Tn = + 2 + L + + n 3 3 3 3n ?1 3
③式减④式得



4 3 5 2n ? 1 n 2 Tn = 1 + + 2 + L + n ?1 ? n 3 3 3 3 3 4 1 3 2n ? 3 2n ? 1 n 2 Tn = + 2 + L + n ?1 + n ? n +1 9 3 3 3 3 3

⑤…………………9 分



⑤式减⑥式得

8 2 2 2 (n ? 1) 2 n 2 Tn = 1 + + 2 + L + n ?1 ? + n +1 …………………11 分 9 3 3 3 3n 3 1 n 1 1 1 (n ? 1) n (n ? 1) 2 n 2 = ?1 + 2(1 + + 2 + L + n ?1 ) ? + n +1 = ?1 + 2 ? 3 ? + n +1 1 3 3 3 3n 3 3n 3 1? 3
2 2

1?

= ?1 + 3 ?
则 Tn <

1 (n ? 1)2 n 2 ? + n +1 3n ?1 3n 3

= 2?

2(n 2 ? 3n + 6) < 2 …………13 分 3n +1

9 .……………………………………………………14 分 4 1 1 14. (2009 常德期末) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 且 S n = S n ?1 + an ?1 + , 数列 {bn } 4 2 119 满足 b1 = ? 且 3bn ? bn ?1 = n ( n ≥ 2且n ∈ N ? ) . 4
(1)求 {a n } 的通项公式; (2)求证:数列 {bn ? an } 为等比数列; (3)求 {bn } 前 n 项和的最小值. 解: (1)由 2 S n = 2 S n ?1 + 2an ?1 + 1 得 2an = 2an ?1 + 1 , an ? an ?1 =

1 ……2 分 2 2

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∴ an = a1 + ( n ? 1) d =

1 1 n? ……………………………………4 分 4 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn ?1 = n ,∴ bn = bn ?1 + n , 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an = bn ?1 + n ? n + = bn ?1 ? n + = (bn ?1 ? n + ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn ?1 ? an ?1 = bn ?1 ? (n ? 1) + = bn ?1 ? n + 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 1 119 1 = ,又 b1 ? a1 = ? ? = ?30 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

∴数列 {bn ? an } 是以-30 为首项,

1 为公比的等比数列.…………………8 分 8 3 1 n ?1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 (3)由(2)得 bn ? an = ?30 × ( ) ,∴ bn = an ? 30 × ( ) = n ? ? 30 × ( ) 3 3 2 4 3
bn ? bn ?1 = 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 × ( ) n ?1 ? (n ? 1) + + 30 × ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = + 30 × ( ) n ? 2 (1 ? ) = + 20 × ( ) n ?2 > 0 ,∴ {bn } 是递增数列 ………11 分 11 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 = ?

119 3 5 10 <0;当 n=2 时, b2 = ? 10 <0;当 n=3 时, b3 = ? <0;当 n=4 时, 4 4 4 3

b4 =

7 10 ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 4 9
1 10 1 13 (1 + 3 + 5) ? 30 ? 10 ? = ?41 …………………………13 分 4 3 12
2007——2008 2007——2008 年联考题 ——

且 S3 =

一、选择题 1.( 上海市部分重点中学高三第一次联考) 等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ( n = 1, 2, 3 ? ??) 当 首项 a1 和公差 d 变化时,若 a 5 + a8 + a11 是一个定值,则下列各数中为定值的 是―――――――――( A、 S16 答案 B 2.(山东省潍坊市 2007—2008 学年度高三第一学期期末考试) 各项都是正数的等比数列 {a n } 的公比 q ≠ 1 ,且 a 2 , B. S 15 ) C、 S17 D、 S18

a + a4 1 a 3 , a1 成等差数列,则 3 的值为( 2 a 4 + a5



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A.

1? 5 2

B.

5 +1 2

C.

5 ?1 2

D.

5 +1 5 ?1 或 2 2

答案 C 3.(湖南省 2008 届十二校联考第一次考试)在等比数列

{a n }中, a5 a7 = 6, a 2 + a10 = 5, 则
A. ?

a18 = a10





2 3 或? 3 2

B.

2 3

C.

3 2

D.

2 3 或 3 2

答案 D 4. (2008年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一))正项等比数列 {a n } 满足

a 2 a 4 = 1 , S 3 = 13 , bn = log 3 a n ,则数列 {bn }的前 10 项和是
A.65 答案 D 5.. (上海市嘉定一中 2007 学年第一学期高三年级测试(二)) 等差数列{an}共有 2n 项,其 中奇数项的和为 90,偶数项的和为 72,且 a 2 n ? a1 = ?33 ,则该数列的公差为 ( ) B.-65 C.25 D. -25

A.3 答案 B

B-3

C.-2

D.-1

二、填空题 6.(江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研考试数学) 在等差数列 {an } 中, 前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn 取得最小正数的 n = 答案 19 7.(2007—2008 学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷) Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若
a2 n 4n ? 1 ,则 S 2n = = an 2n ? 1 Sn

a11 < ?1, 若它的 a10

.



答案

4
an 2n ? 1
an
2

解析: 由 a2 n = 4n ? 1 ,即 an + nd = 4n ? 1 ,得 an = 2n ? 1 d , a1 = d .
2n ? 1

2

2

Sn =

n(a1 + an ) n d , S 2 n = (2n) d = 4S n .故 S2n =4. = 2 2 2 Sn
2

8.(山东省潍坊市 2008 年高三教学质量检测) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
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a6 + a14 = 20 ,则 S19=______________.
答案 190 9.(江西省临川一中 2008 届高三模拟试题)等差数列有如下性质,若数列 {a n } 是等差数列,则 当 bn =

a1 + a 2 + L + a n 时, 数列{bn } 也是等差数列;类比上述性质,相应地 {c n } 是正项等 n
时,数列 {d n } 也是等比数列。

比数列,当数列 d n = 答案
n

C1C 2L C n

三、解答题 10..(2008 江苏省阜中 2008 届高三第三次调研考试试题)设集合 W 是满足下列两个条件的无 穷数列 {an } 的集合:①
an + an + 2 ≤ an +1 ; ② an ≤ M . 其中n ∈ N* , M 是与 n 无关的常数. 2

(1)若{ an }是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a3 =4,S3 =18, 试探究{Sn } 与集合 W 之间的关系; (2)设数{ bn }的通项为 bn = 5n ? 2n , 且{bn } ∈ W ,求 M 的取值范围;(4 分) 解 (1)设等差数列{an } 的公差是 d ,则 a1+2d=4,3a1+3d=18,解得 a1=8,d =-2,
n(n ? 1) d = ? n 2 + 9n ,(2 分), 2

所以 Sn = na1 +

S n + Sn + 2 ( S ? Sn +1 ) ? ( Sn +1 ? Sn ) an + 2 ? an +1 d ? Sn +1 = n + 2 = = = ?1, 2 2 2 2



Sn + Sn + 2 < Sn +1 , 适合条件①. 2

(4 分);

又 S n = ? n 2 + 9n = ?(n ? 9 ) 2 + 81 , 2 4 所以当 n = 4 或 5 时,Sn 取得最大值 20,即 Sn ≤ 20,适合条件②, (3 分), 综上,{ Sn } ∈ W . (1 分)

(2)因为 bn +1 ? bn = 5( n + 1) ? 2n +1 ? 5n + 2 n = 5 ? 2 n ,(2 分), 所以当 n≥3 时, bn +1 ? bn < 0 ,此时数列{bn}单调递减;(1 分) 当 n = 1,2 时, bn +1 ? bn > 0 ,即 b1<b2<b3, 因此数列{bn}中的最大项是 b3=7,所以 M≥7.(3 分) 11.(山东省潍坊市 2007—2008 学年度高三第一学期期末考试)已知数列

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{a n }是首项为a1 =

1 1 , 公比q = 的等比数列 ,设 bn + 2 = 3 log 1 a n (n ∈ N *) ,数列 4 4 4

{c n }满足c n = a n ? bn 。
(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn;

1 2 m + m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 1 n 解: (1)由题意知, a n = ( ) ( n ∈ N *) ……………………1 分 4 Q bn = 3 log 1 a n ? 2, b1 = 3 log 1 a1 ? 2 = 1
(3)若 c n ≤
4 4

∴ bn+1 ? bn = 3 log 1 a n+1 ? 3 log 1 a n = 3 log 1
4 4 4

a n +1 = 3 log 1 q = 3 an 4

∴数列 {bn }是首项b1 = 1, 公差d = 3 的等差数列……………………4 分 (2)由(1)知, a n = ( ) , bn = 3n ? 2( n ∈ N *)
n

1 4

1 ∴ c n = (3n ? 2) × ( ) n , (n ∈ N *) …………………………5 分 4 1 1 1 1 1 ∴ S n = 1 × + 4 × ( ) 2 + 7 × ( ) 3 + L + (3n ? 5) × ( ) n ?1 + (3n ? 2) × ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n +1 于是 S n = 1 × ( ) + 4 × ( ) + 7 × ( ) + L + (3n ? 5) × ( ) + (3n ? 2) × ( ) 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n +1 两式相减得 S n = + 3[( ) + ( ) + L + ( ) ] ? (3n ? 2) × ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 n+1 = ? (3n + 2) × ( ) . 2 4 2 12n + 8 1 n +1 ∴ Sn = ? × ( ) (n ∈ N *) ……………………8 分 3 3 4 1 n +1 1 n (3)Q c n +1 ? c n = (3n + 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 1 = 9(1 ? n) ? ( ) n +1 , (n ∈ N *) 4 1 ∴当 n=1 时, c 2 = c1 = 4
当 n ≥ 2时, c n +1 < c n , 即c1 = c 2 < c3 < c 4 < L < c n ∴当 n=1 时, c n 取最大值是

1 4
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又 cn ≤

1 2 m + m ? 1对一切正整数n恒成立 4 1 1 ∴ m2 + m ?1 ≥ 4 4
2

即 m + 4m ? 5 ≥ 0得m ≥ 1或m ≤ ?5 ……………………12 分 12.(武汉市 2008 届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列 {an } 的前 n 项和

sn = (?1) n (2n 2 + 4n + 1) ? 1 , n ∈ Ne+ 。
(1)求数列 {an } 的通项公式 an ;(2)记 bn =
n

(?1)n ,求数列 {bn } 前 n 项和 Tn an
2

解: (1)数列 {an } 的前 n 项之和 sn = ( ?1) (2n + 4n + 1) ? 1 在 n=1 时, a1 = s1 = (?1) (2 + 4 + 1) ? 1 = ?8
1

在 n ≥ 2 时, an = sn ? sn ?1

= (?1)n (2n 2 + 4n + 1) ? (?1)n ?1[2(n ? 1)2 + 4(n ? 1) + 1] = (?1) n ? 4n(n + 1)
而 n=1 时, a1 = ?8 满足 an = ( ?1) 4n( n + 1)
n

故所求数列 {an } 通项 an = ( ?1) 4n( n + 1) ………………………………(7 分)
n

(2)∵ bn =

(?1) n 1 1 1 1 = = ( ? ) 4n(n + 1) 4 n n + 1 an 1 1 4n (1 ? )= ) ………………………(12 分) 4 n +1 n +1

因此数列 {bn } 的前 n 项和 Tn =

13.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)已知点 Pn (a n , bn ) 都在直线 l : y = 2 x + 2 ) 上, P1 为直线 l 与 x 轴的交点,数列 {a n } 成等差数列,公差为 1. (1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)若 f ( n) = ? ( n ∈ N+ )

?a n (n为奇数) ?bn (n为偶数)

, 问是否存在 k ∈ N + ,使得 f (k + 5) = 2 f (k ) ? 2 成立;若

存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由.

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(3)求证:

1 P1 P2
2

+

1 P1 P3
2

+ …… +

1 P1 Pn
2

<

2 5

( n ≥ 2, n ∈ N + )

解 (1) P (? 1,0 ), a n = n ? 2, bn = 2n ? 2 1 (2) f ( n) = ?

?n ? 2

(n为奇数)

?2n ? 2 (n为偶数)

假设存在符合条件的 k : (ⅰ)若 k 为偶数,则 k + 5 为奇数,有 f ( k + 5) = k + 3, f ( k ) = 2k ? 2 如果 f ( k + 5) = 2 f ( k ) ? 2 ,则 k + 3 = 4k ? 6 ? k = 3 与 k 为偶数矛盾.不符舍去; (ⅱ) 若 k 为奇数,则 k + 5 为偶数,有 f ( k + 5) = 2k + 8, f ( k ) = k ? 2.

∴ 2k + 8 = 2(k ? 2) ? 2 这样的 k 也不存在.
综上所述:不存在符合条件的 k . (3) Q Pn (n ? 2,2n ? 2 ), P ( ?1,0) 1

∴ P1 Pn = 5 (n ? 1)

( n ≥ 2)



1 P1 P2
2

+

1 P1 P3
2

+L+

1 P1 Pn
2

1? 1 1 1 ? = ?1 + 2 + 2 + L + 5? 2 3 (n ? 1)2 ? ?

? 1? 1? 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 2 < ?1 + + +L+ ? = 5 ?1 + 1 ? (n ? 1) ? = 5 ? 2 ? (n ? 1) ? < 5 ? ? (n ? 2)(n ? 1)? ? 5 ? 1× 2 2 × 3 ? ? ?

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