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2009高考数学20分钟专题突破(28):数形结合的思想方法

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数学 20 分钟专题突破 28 数形结合的思想方法
一.选择题 1. 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? x | ? 2≤ x≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? , 那 么 集 合

?

?

A ? (CU B) 等于(
A. x | ?2 ≤ x ? 4



?

?

B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 C. x | ?2 ≤ x ? ?1 D. x | ?1 ≤ x ≤ 3

?

?

?

?

?

?

?x 2 , 2.设 f ? x ? ? ? ? x,
值域是( )

x ?1 , g ?x ? 是二次函数,若 f ?g ?x ?? 的值域是 ?0,??? ,则 g ?x ? 的 x ?1

A. ?? ?,?1? ? ? 1,???

B. ?? ?,?1? ? ?0,???

C. ?0,???

D. ?1,??? ( )

3.若 a ? 1, b ? ?1, 则函数y ? a x ? b 的图象必不经过 A.第一象限 4.函数 f ( x) ? ln x ? A.3 个 B.第二象限 C.第三象限 ( )

D.第四象限

1 的零点的个数是 x ?1
B.2 个

C.1 个

D.0 个

' 5.函数 y ? f ( x) 的图象过原点,且它的导函数 y ? f ( x) 的图象是如图所示的一条直线, 则 y ? f ( x) 的图象的顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

y

6.设 f ' ? x ? 是函数 f ( x ) 的导函数, 将 y ? f ( x) 和 y ? f ' ? x ? 的图象画在 同一直角坐标系中,不可能正确的是

o

x

二.填空题

?x ? 0 ? 1.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域, ?y ? x ? 2 ?
则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为

? x ? 0, ? 2.若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐标点 P( a ,b)所 ?x ? y ? 1 ?
形成的平面区域的面积等于__________。 三.解答题 如图(21)图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足: PM ? PN ? 6. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;

PN = (Ⅱ)若 PM ·

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

分析:根据已知条件和椭圆的定义易得点 P 的轨迹方程, 由(2)中的等式可变形转为向量的模和数量积,结合总条件, 在三角形 MPN 中研究边与角之间的关系。

答案: 一.选择题 1. 解 :在数轴上先画出 ? U B ? ?x ? 1 ? x ? 4? , 再画出集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , 取其公共 部分如图所示阴影部分就是集合 A ? (CU B) ,故选 D 选D y 2. 解:作出函数 f ? x ? 的图象如图所示,由图知 当 x ? ? ??, ?1?

?

?

-2 -1

3

4

x

y ? f ? x?

?0, ??? 时,函数 f ? x ? 的值域

为 ?0,??? ,而 f ?g ?x ?? 为复合函数, g ?x ? 相当 于 f ? x ? 中的 x 的值,所以 g ?x ? 的值域是 ?? ?,?1? ? ?0,??? ,故选 B。 -1 0 1 x

3. 解析:由 a ? 1 知函数图象单调递增,由 b ? ?1 知把指数函数图象向下平移到原点的下方. 故不过第二象限,选 B. 4. 解: f ( x) ? ln x ? 的图象和函数 y ? ? 零点,故选 B
' 5. 解:它的导函数 y ? f ( x) 的图象是如图所示的一条直线,可知原函数 y ? f ( x) 为二次

1 1 的零点,即使 ln x ? ? 0 ,作函数 y ? ln x x ?1 x ?1

1 的图象如图所示,有两个交点,所以函数有两个 x ?1

函数, 设解析式为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? , 由于函数 y ? f ( x) 的图象过原点, 所以 c ? 0 ,

y ? f ' ( x) ? 2ax ? b 为减函数,∴ a ? 0 ,由 y ? f ' ( x) 的图象可知当
y

x ? x0 ? x0 ? 0? 时 f ' ? x0 ? ? 0 ,函数 y ? f ( x) 的图象过原点,所以顶
点在第一象限
o x

6. 解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一 判断. A,B,C 都有可能成立,排除 A,B,C,选 D 二.填空题 1.解:如图知 ACD 是斜边为 3 的等腰直角三角形, OEC 是直 角边为 1 等腰直角三角形,区域的面积

S阴影 ? S

ACD

?S

OEC

1 3 1 7 ? ? 3 ? ? ? 1? 1 ? 2 2 2 4

? x ? 0, ? 2.解:不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 AOB ,如图, 0 ? y ? 1 ?x ? y ? 1 ?
由 ax ? by ? 1 恒成立知,当 x ? 0 时,by ? 1 恒成立,当 y ? 0 成立;当 0 ? y ? 1 时,b ?

1 恒 y

成立,∴ 0 ? b ? 1 ;同理, 0 ? a ? 1 ∴以 a ,b 为坐标点 P( a ,b)所形成的平面区域是一个 正方形,所以面积为 1。 y B

三.解答题 O 解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长 2a=6 的椭圆. 因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴,b= a2 ? c2 ? 5 ,

A

x

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 9 5
(Ⅱ)由 PM PN ?

2 ,得 1 ? cos MPN


PM PN cos MPN ? PM PN ? 2.

因为 cos MPN ? 1, P 不为椭圆长轴顶点,故 P、M、N 构成三角形.在△PMN 中,

MN ? 4,由余弦定理有 MN ? PM ? PN ? 2 PM PN cos MPN .
2 将①代入②,得 4 ? PM 2 2

2

2

2



? PN ? 2( PM PN ? 2). 故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长
由(Ⅰ)知, 点 P 的坐标又满足

为 2 3 的双曲线

x2 ? y 2 ? 1上. 3

x2 y 2 ? ? 1 ,所以由方程 9 5

组?

? ?5 x ? 9 y ? 45, 2 2 ? ? x ? 3 y ? 3.
2 2

? 3 3 , ?x ? ? ? 2 解得 ? ?y ? ? 5 . ? ? 2

即 P 点坐标为

(

3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 , )、( ,- )、(, )或(? ,- ). 2 2 2 2 2 2 2 2

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