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高考数学思想方法运用之分类讨论


【例】若 sin 2? ?
值是( A. ) B.

5 10 ? 3? , sin( ? ? ? ) ? ,且 ? ? [ , ? ] , ? ? [? , ] ,则 ? ? ? 的 5 10 4 2
5? 7? 或 4 4 5? 9? 或 4 4

7? 4

9? 4

C.

D.

2 【例】若 y ? cos x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值

【例】 函数 f ( x) ? 3 cos2

?x
2

?

3 3 sin ?x ? (? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 2 2

为图象的最高点, B 、C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为等边三角形。将函数 f ( x) 的图 象上各点的横坐标变为原来的 ? 倍, 将所得图象向右平移 得到函数 y ? g ( x) 的图象

2? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 3

(1)求函数 g ( x) 的解析式及函数 g ( x) 的对称中心. (2)若 3sin
2

x ? 3m [ g( x ) ? 1] ? m ?2 对任意 x ? [0, 2? ] 恒成立,求实数 m 的取值范围。 2

1

3sin 2

x x x ? 3m sin ? m ? 2 ? 0 ,设 sin ? [0,1] , 2 2 2 x 3sin 2 ? 2 x x t ?1 2 ,设 t ? 3sin ? 1 , t ?[1, 4] ,则 sin ? m? x 2 2 3 3sin ? 1 2 1 3 ? (t ? 1)2 ? 2 2 t ? 2t ? 5 1 5 y? 9 ? ? (t ? ? 2) 在 t ?[1, 4] 上是增函数 t 3t 3 t

? t ? 1 时, ymin ? ?2 ,? m ? ?2

【 例 】
c o s A? 2

在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 为 a、b、c , 且 满 足

?? ? ?? ? c B? o s 2 ? ?2 A? c o? s ? A? ?6 ? ?6 ?
1 3 且 b ? a ,求 a ? c 的取值范围 2

c o s

(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

因为 b ? a ,所以 B ?

?
3



由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2 ,得 a ? 2 sin A, c ? 2 sin C , 3 2

1 3 ?? ? 2? ? 3 ? a ? c ? 2 sin A ? sin C ? 2 sin A ? sin? ? A ? ? sin A ? cos A ? 3 sin ? A ? ? 6? 2 2 ? ? 3 ? 2
因为 b ? a ,所以 所以 a ?

?
3

? A?

2? ? ? ? , ? A? ? , 6 6 2 3

? 1 ?? ? 3 ? c ? 3 sin ? A ? ? ? ? , 3? ?. 2 6? ? 2 ? ?
2

【例】求函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ?1, x ??1,3? 的最值

(1)当 a ? 1 时, f ? x ?max ? f ?3? ? 10 ? 6a , f ? x ?min ? f ?1? ? 2 ? 2a ; (2)当 1 ? a ? 2 时, f ? x ?max ? f ?3? ? 10 ? 6a , f ? x ?min ? f ? a ? ? 1 ? a2 ; (3)当 2 ? a ? 3 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a , f ? x ?min ? f ? a ? ? 1 ? a2 ; (4)当 a ? 3 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a , f ? x ?min ? f ?3? ? 10 ? 6a 。

【例】已知方程 2x2 ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围



??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ? ? ? ? ? m ? 1? ?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ?0 ? ? m ? ?1 ? ? ? ?? 2 2 m ? 0 ? ? ? ? m?0 f ?0? ? 0 ? ? ?

0 ? m ? 3? 2 2 或 m ? 3? 2 2
若关于 x 的方程 2
2x

? 2 x ? a ? a ? 1 ? 0 有实根,求 a 的取值范围。

3

【例】将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排
法共有________种(用数字作答)

解析:按 C 的位置分类计算. ①当 C 在第一或第六位时,有 A5 5=120 种排法;
3 ②当 C 在第二或每五位时,有 A2 A3 =72 种排法; 4· 3 2 3 ③当 C 在第三或 第四位时,有 A2 2A3+A3A3=48 种排法.

所以共有 2×(120+72+48)=480(种)排法.

【例】 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,
则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 B.120 C.144 ) D.36

【例】从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,
则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是__________(用数字作答)

【例】

某学校举行知识竞赛, 第一轮选拔共设有 A, B, C , D 四个问题,规则如下:

4

① 每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A, B, C , D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2 分; ② 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当 累计分数大于或等于 14 分时,答题结束 ,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局,当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束 ,进入下一 轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 A, B, C , D 顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题 A, B, C , D 回答正确的概率依次为 之间没有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅱ)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列和数学的 E? .

3 1 1 1 , , , ,且各题回答正确与否相互 4 2 3 4

x2 y 2 【例】已知椭圆 C : ? 2 ? 1 (0 ? b ? 3) ,其通径(过焦点且与 x 轴垂直的直线被 3 b
椭圆截得的线段)长

4 3 . 3

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过椭圆 C 右焦点的直线(不与 x 轴重合)与椭圆交于 A, B 两点,问在 x 轴上是否 存在一点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求点 M 的坐标,若不存在,说明理由.

(1)

x2 y 2 ? ?1 3 2
5

(2)存在, M ( , 0) 当直线与 x 轴不垂直时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线的方程为: y ? k ( x ? 1) 当直线与 x 轴垂直时, A(1,

4 3

4 11 2 3 2 3 ), B(1, ? ) , M ( , 0) , MA ? MB ? ? 3 9 3 3
若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( B.(-∞,1] D.[-2,0] )

【例】已知函数 f(x)=?
A.(-∞,0] C.[-2,1]

?-x2+2x,x≤0, ? ?ln?x+1?,x>0. ?

解析:当 x≤0 时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以|f( x)|≥ax 化简为 x2-2x≥ax,即 x2≥(a+2)x,因为 x≤0,所以 a+2≥x 恒 成立,所以 a≥-2;当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)>0, 所以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x+1)>ax 恒成立,由函数图象可知 a≤0,综上,当-2≤a≤0 时, 不等式|f(x)|≥ax 恒成立,选择 D.

【例】已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ax 2 ? bx(a ? 0)
(Ⅰ)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围;

1 2

? ( x) 的最小值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设函数 ? ( x) ? e 2 x ? be x , x ? [0, ln 2],求 求函数 ? ( x)

(1)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx. ∵ h( x)在(0,??) 上是增函数,
2

∴ h( x ) ?

1 x? ?( (0 0,?? ??) 恒成立, ? 2 x ? b ? 0对x x
6

∴b ?

1 1 0 ? 2 x ? 2 2 . ∴b 的取值范围为 (??,2 2 ]. x∵ ?x 0,? 则 ? 2 x. x x

b b2 x t ? e x ,则 y ? t 2 ? bt , t ? [1,2] ,即 y ? (t ? ) 2 ? ( 2 )设 t ? e , 则函数化为 , t ? [1, 2] 2 4
∴当 ? 2 ? b ? 2 2 时 ? ( x) 的最小值为 b+1

b2 当 ? 4 ? b ? ?2 时 ? ( x) 的最小值为 ? 4
当 b ? ?4 时 ? ( x) 的最小值为 4+2b

【例】对于函数 f ( x) ,若存在实数对( a , b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义
域中的每一个 x 都成立,则称函数 f ( x) 是“ ( a , b )型函数”. (1)判断函数 f1 ( x) ? x 是否为 “ ( a , b )型函数” ,并说明理由; (2)若函数 f 2 ( x) ? 4x 是“ ( a , b )型函数”,求出满足条件的一组实数对 (a, b) ; ( 3 )已知函数 g ( x) 是“ ( a , b )型函数” , 对应的实数对 (a, b) 为( 1,4 ) . 当 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) ,若当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 4 ,试求 m 的取值范
2

围.

( 3 ) 由 题 意 得 , g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 , 所 以 当 x ? [1, 2] 时 , g ( x) ?

4 ,其中 g (2 ? x)

2 2 ,而 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ? m(1 ? x) ? 1 ? x ? mx ? m ? 1 , 且其对称轴方程为 2 ? x ? [ 0 , 1]

7

m . 2 m 当 ? 1 ,即 m ? 2 时, g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [ g (1), g (0)] ,即 [2, m ? 1] ,则 g ( x) 在 [0, 2] 2 4 4 ?m ? 1 ? 4 , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? 上的值域为 [2, m ? 1] [ ,从而 2 ? m ? 3 ; ? 4 m ?1 m ?1 ?1 x?
? ? m ?1



m2 1 m m ? ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? , m ? 1] ,则 g ( x) 2 2 2 4

在 [0, 2] 上的值

域 为 ?m ? 1 ?

? ?

? m , m ? 1? 4 ?
2

? ? 4 4 , ? 2 ? m ?1 m ?1? m ? ? 4

4 ? ? ?4 ? ? m2 ? 且 ? , 则 由 题 意 得 ? m ?1? 4 ? ? ? ? ? ? m ?1 ? 4

? m2 m ?1? ?1 ? ? 4 ,解得 1 ? m ? 2 ? 4 ? ?1 ? m ?1 ?
当0

m 1 ? ,即 0 2 2

? m2 ? ? ?m? ? m ? 1时,g (x) 的值域为 ? g ? ? , g ?1? ? ,即 ?m ? 1 ? (x) , 2 ,则 g 4 ? ? ?2? ? ? ?
? ? ? ? m2 4 ? m ? 1 ? , ? ? m2 4 ? ? m ?1? ? ? ? ? 4 ? ? ?, ? ? ?

在[0,2]上的值域为

? m2 ? m ? 1 ? ,2 ? 4 ? ? ?

? ? 4 ? 2, 2 ? m ?1? m ? ? 4

? m2 m ? 1 ? ?1 ? 4 ? 则? ,解得 0 ? m ? 1 . 4 ?4 2 ?, m ? m ?1? ? 4
综上所述,所求 m 的取值范围是 0 ? m ? 3 . 【例】设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调区间

8

【例】

9

10


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高考数学思想方法运用之分类讨论 - 【例】若 sin 2? ? 值是( A. )

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