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2016届高三二轮数学(文)复习课件第1部分-专题4-数学思想的培养——函数与方程思想_图文

专题复习·数学(文) 专题四 数列 数学思想的培养——函数与方程思想 角 度 角度一 求变量的最值或范围 角度二 解图象交点或方程根 角度三 求解不等式 角度四 求解数列问题中的未知量 角度五 求解解析几何中的问题 数学思想 方法概述 ?1?函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系, 是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象 和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.经常利用的性质是 单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等. ?2?方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方 程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分 析、转化问题,使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 .方程思想 是动中求静,研究运动中的等量关系. 数学思想 方法概述 函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考: ?1?函数与不等式的相互转化,对函数 y=f?x?,当 y>0 时,就转化为不等 式 f?x?>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质 也离不开不等式. ?2?数列的通项与前 n 项和公式是自变量为正整数的函数,用函数的观点 去处理数列问题十分重要,数列也可用方程思想求解. 数学思想 方法概述 ?3?①解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉 及二次方程与二次函数的有关理论; ②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程 或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何 与函数的关系更加密切. 数学思想 应用角度 角度一 求变量的最值或范围 [ 例 1] → ,OB → 的夹角为 60° 长度都为 2 的向量OA ,点 C 在以 O 为圆心的 ) → =m OA → +n OB → ,则 m+n 的最大值是( 圆弧 AB (劣弧)上,OC A.1 C.2 2 3 B. 3 D. 3 → =(2,0), → =(1, 3). →= 建立平面直角坐标系, 设向量OA 向量OB 设向量OC π (2cos α,2sin α),0≤α≤ . 3 数学思想 应用角度 角度一 求变量的最值或范围 → =mOA → +nOB → ,得(2cos α,2sin α)= (2m+n, 3n), 由OC 即 2cos α=2m+n,2sin α= 3n,解得 m=cos α- 1 2 3 ? π? ? 故 m+n=cos α+ sin α= sin α+ ? 3 3? ? 3 π ∵0≤α≤ , 3 ∴ π π 2π ∴ ≤α+ ≤ 3 3 3 1 2 sin α,n= sin α. 3 3 3 ? π? 2 3 ? π? 2 3 ≤sin?α+ ?≤1,∴1≤ sin?α+ ?≤ 2 3? 3 3? 3 ? ? 2 3 ∴m+n 的最大值为 . 3 B 数学思想 应用角度 角度一 求变量的最值或范围 四类参数范围(或最值)的求解方法 (1)求字母 (式子 )的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母 (式子 ) 为元的方程(组 ),然后由方程(组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中 的重要问题,解决这类问题一般有两种途径:其一,充分挖掘题设条件 中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;其二,充分应用 题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后,应用函 数知识求值域. 数学思想 应用角度 角度一 求变量的最值或范围 (3)当问题中出现两数积与这两数和时,这是构建一元二次方程的明显信 息,构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数, 如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用 研究函数的方法将问题解决. 数学思想 应用角度 角度二 解图象交点或方程根 [例 2] (2014· 高考湖南卷)若 0<x1<x2<1,则( A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 ) B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 D.x2ex1<x1ex2 (基本法) 解. 函数与方程思想:根据所给选项中不等式的特征构造函数求 x x e -1 1 x x 设 f(x)=e -ln x(0<x<1), 则 f′(x)=e -x = x .令 f′(x)=0, 得 xex-1 =0. 数学思想 应用角度 角度二 解图象交点或方程根 1 根据函数 y=ex 与 y=x的图象可知两函数图象交点 x0∈(0,1), 因此函数 f(x) 在(0,1)上不是单调函数,故 A,B 选项不正确. ex?x-1? ex 设 g(x)= x (0<x<1),则 g′(x)= x2 . 又 0<x<1,∴g′(x)<0. ∴函数 g(x)在(0,1)上是减函数. 又 0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2), ∴x2ex1>x1ex2. C 数学思想 应用角度 角度二 解图象交点或方程根 方程问题也可以转化为函数问题加以解决,如解方程 f?x?=0,就是求函 数 y=f?x?的零点,解不等式 f?x?>0?或 f?x?<0?,就是求函数 y=f?x?的正?或 负?区间, 再如方程 f?x?=g?x?的解的问题可以转化为函数 y=f?x?与 y=g?x? 的交点问题, 也可以转化为函数 y=f?x?-g?x?与 x 轴的交点问题, 方程 f?x? =a 有解,当且仅当 a 属于函数 f?x?的值域,函数与方程的这种相互转化 关系十分重要. 数学思想 应用角度 角度三 求解不等式 [ 例 3] (2015· 沈阳市高三质监 ) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(

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