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武汉市中考数学复习——直线与圆专题(含答案)


新课标九年级数学竞赛辅导讲座 武汉市中考数学复习——直线与圆专题(含答案) 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形,既可从直线与圆 交点的个数来判定, 也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比 较来考察. 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切,直线与圆相切 涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线 定理等丰富的知识, 这些丰富的知识对应着以下基本图形、 基本结论: 注: 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确 判定方法,即量化的方法(距离与半径的比较),我们称“由数定形” , 勾股定理的逆定理也具有这一特点. 【例题求解】 【例 1】 如图,AB 是半圆 O 的直径,CB 切⊙O 于 B,CD 切⊙O 于 D, 交 BA 的延长线于 E,若 EA=1,ED=2,则 BC 的长为 思路点拨 . 从 C 点看, 可用切线长定理, 从 E 点看, 可用切割线定理, 而连 OD,则 OD⊥EC,又有相似三角形,先求出⊙O 的半径. 新课标九年级数学竞赛辅导讲座 注:连结圆心与切点是一条常用的辅助线,利用切线的性质可构造出 直角三角形,在圆的证明与计算中有广泛的应用. 【例 2】 如图,AB、AC 与⊙O 相切于 B、C,∠A=50°,点 P 是圆上 异于 B、C 的一个动点,则∠BPC 的度数是( A.65° B.115° C.60°和 115° ) D.130°和 50° (山西省中考题) 思路点拨 略 【例 3】 如图,以等腰△ABC 的一腰 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D,过 D 作 DE⊥AC 于 E,可得结论:DE 是⊙O 的切线. 问:(1)若点 O 在 AB 上向点 B 移动,以 O 为圆心,OB 为半径的圆的 交 BC 于 D,DE⊥AC 的条件不变,那么上述结论是否还成立?请说明理 由; (2)如果 AB=AC=5cm,sinA= 3 ,那么圆心 O 在 AB 的什么位置时, 5 新课标九年级数学竞赛辅导讲座 ⊙O 与 AC 相切? (2001 年 黑龙江 省中考 题) 思路点拨 (1)是结论探索题,(2)是条件探索题,从切线的判定方法 和性质入手,分别画图,方能求解. 【例 4】 如图,已知 Rt△ABC 中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P 是 AB 边上的动点(与点 A、B 不重合),Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不 重合). (1)当 PQ∥AC,且 Q 为 BC 的中点时,求线段 PC 的长; (2)当 PQ 与 AC 不平行时, △CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能, 求 出 线 段 CQ 的 长 的 取 值 范 围 ; 若 不 可 能 , 请 说 明 理 新课标九年级数学竞赛辅导讲座 由. 思路点拨 (广州市中考题) 对于(2),易发现只有点 P 能作为直角顶点,建立一个研 究的模型——以 CQ 为直径的圆与线段 AB 的交点就是符合要求的点 P, 从直线与圆相切特殊位置入手,以此确定 CQ 的取值范围. 注:判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题,判定的基本 方法有: (1)从直线与圆交点个数入手; (2)利用角证明,即证明半径和直线垂直; (3)运用线段证明,即证明圆心到直线的距离等于半径. 一个圆的问题,从不同的条件出发,可有不同的添辅助线方式, 进而可得不同的证法,对于分层次设问的问题,需整体考虑; ︵ 【例 5】如图,在正方形 ABCD 中,AB=1,AC是以点 B 为圆心,AB 长 为半径的圆

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