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广东省广州市2015届高考数学一模试卷(文科)


广东省广州市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2} 可以表示为() A.M∩N B.(?UM)∩N C.M∩(?UN) D.(?UM)∩(?UN)

2. (5 分)已知向量 =(3,4) ,若|λ |=5,则实数 λ 的值为() A. B. 1 C. D.±1

3. (5 分)若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图) ,其中茎为十位 数, 叶为个位数,则这组数据的中位数是()

A.91

B.91.5

C.92

D.92.5 )=

4. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=a+bi(a,b∈R)的虚部 b 记作 Im(z) ,则 Im( () A.﹣ B . ﹣1
2

C.

D.1

5. (5 分)设抛物线 C:y =4x 上一点 P 到 y 轴的距离为 4,则点 P 到抛物线 C 的焦点的距离 是() A.4 B. 5 C. 6 D.7

6. (5 分)已知△ ABC 的三边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 值为() A. B. C. ﹣ D.﹣

,则 cosB 的

7. (5 分)已知数列{an}为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9 的值为() A.10 B.20 C.100 D.200

8. (5 分)若直线 y=3x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的取值范

围是() A.[﹣1,+∞)

B.(﹣1,+∞)

C.(﹣∞,﹣1]

D.(﹣∞,﹣1)

9. (5 分)已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为

,则该椎体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 1,直线 l:y=kx+t(k 为常数,t≠0)与圆 O 相交于 M,N 两点,记△ MON 的面积为 S,则函数 S=f(t)的奇偶性() A.偶函数 B. 奇函数 C. 既不是偶函数,也不是奇函数 D.奇偶性与 k 的取值有关

二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)函数 f(x)=ln(x﹣2)的定义域为. 12. (5 分)已知 e 为自然对数的底数,则曲线 y=2e 在点(1,2e)处的切线斜率为. 13. (5 分)已知函数 f(x)= ,点 O 为坐标原点,点 An(n,f(n) ) (n∈N ) ,向量 =(0,
* x

1) ,θn 是向量

与 的夹角,则

+

+…+

的值为.

三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (一、坐标系与参数方程选做题)

14. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

(θ

为参数)和

(t 为参数) .以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则

曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标为.

(二)几何证明选讲选做题 15.如图,BC 是圆 O 的一条弦,延长 BC 至点 E,使得 BC=2CE=2,过 E 作圆 O 的切线,A 为切点,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,则 DE 的长为.

四、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 α 是第一象限角,且 f(α+ )= ,求 tan(α﹣ )的值. )+cosx.

17. (12 分)从广州某高校男生中随机抽取 100 名学生,测得他们的身高(单位:cm)情况如 表: (1)求 a,b,c 的值; (2)按表 1 的身高组别进行分层抽样,从这 100 名学生中抽取 20 名担任广州国际马拉松志 愿者,再从身高不低于 175cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,求这 2 名担任迎宾工 作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180cm 的概率. 分组 频数 频率 [160,165) 5 0.05 [165,170) a c [170,175) 35 0.35 [175,180) b 0.20 [180,185] 10 0.10 合计 100 1.00 18. (14 分)如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O.沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图 2 的五棱锥 P﹣ABFED,且 PB= .

(1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求四棱锥 P﹣BFED 的体积.

19. (14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1=1, nSn+1﹣ (n+1) Sn=

, n∈N .

*

(1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 k,使得 ak、S2k、a4k 成等比数列?若存在,求 k 的值;若不存在,请 说明理由.
2

20. (14 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线 C2: 直线 x+ y=0 与椭圆 C1 交于 A、B 两点,且点 A 的坐标为(﹣ =0,

﹣y =1 的顶点,

,1) ,点 P 是椭圆 C1 上

异于点 A,B 的任意一点,点 Q 满足

=0,且 A,B,Q 三点不共线.

(1)求椭圆 C1 的方程 (2)求点 Q 的轨迹方程 (3)求△ ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.

21. (14 分)已知 t 为常数,且 0<t<1,函数 g(x)= (x+ (x)=
3 2

) (x>0)最小值和函数 h

的最小值都是函数 f(x)=﹣x +ax +bx(a,b∈R)的零点.

(1)用含 a 的式子表示 b,并求出 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.

广东省广州市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2} 可以表示为() A.M∩N B.(?UM)∩N C.M∩(?UN) D.(?UM)∩(?UN)

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据元素之间的关系进行求解即可. 解答: 解:∵M={3,4,5},N={1,2,5}, ∴M∩N={5}, (?UM)∩N={1,2}, M∩(?UN)={3,4}, (?UM)∩(?UN)=?, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2. (5 分)已知向量 =(3,4) ,若|λ |=5,则实数 λ 的值为() A. B. 1 C. D.±1

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由|λ |= 解答: 解:∵ =(3,4) , ∴λ =(3λ,4λ) , ∴|λ |= =5, =5 直接计算即可.

解得|λ|=1, 从而 λ=±1, 故选:D. 点评: 本题考查向量的长度的计算,属基础题. 3. (5 分)若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图) ,其中茎为十位 数, 叶为个位数,则这组数据的中位数是()

A.91

B.91.5

C.92

D.92.5

考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计.

分析: 把茎叶图中的数据按照大小顺序排列,求出这组数据的中位数即可. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,按照大小顺序排列为, 87、88、90、91、92、93、94、97; ∴这组数据的中位数是 =91.5. 故选:B. 点评: 本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题,是基础题目. 4. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=a+bi(a,b∈R)的虚部 b 记作 Im(z) ,则 Im( () A.﹣ B . ﹣1 C. D.1

)=

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算的法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:∵ ∴Im( = = ,

)=﹣ ,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算的法则、虚部的定义,属于基础题. 5. (5 分)设抛物线 C:y =4x 上一点 P 到 y 轴的距离为 4,则点 P 到抛物线 C 的焦点的距离 是() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得点 P 的横坐标为 4, 由抛物线的定义可得点 P 到该抛物线焦点的距离等于 点 P 到准线 x=﹣1 的距离,由此求得结果. 2 解答: 解:由于抛物线 y =4x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,故点 P 的横坐标为 4. 2 再由抛物线 y =4x 的准线为 x=﹣1, 以及抛物线的定义可得点 P 到该抛物线焦点的距离等于点 P 到准线的距离, 故点 P 到该抛物线焦点的距离是 4﹣(﹣1)=5, 故选 B. 点评: 本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.
2

6. (5 分)已知△ ABC 的三边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 值为()

,则 cosB 的

A.

B.

C. ﹣

D.﹣

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理结合已知可解得:cos = ,结合 B 的范围,即可求得 B 的值,从而可求 cosB 的值. 解答: 解:由正弦定理可得: 故有:sinB=2sin cos =sin ,解得:cos = , 因为:0<B<π,可得 0 所以 = ,解得 B= , , ,结合已知 ,

所以 cosB=cos

=﹣ ,

故选:C. 点评: 本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式的应用,属于基本知识的考查. 7. (5 分)已知数列{an}为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9 的值为() A.10 B.20 C.100 D.200 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 利用等比数列的性质即可得出. 解:∵数列{an}为等比数列, = =10 =100,
2

∴a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9= 故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的性质,属于基础题.

8. (5 分)若直线 y=3x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的取值范

围是() A.[﹣1,+∞)

B.(﹣1,+∞)

C.(﹣∞,﹣1]

D.(﹣∞,﹣1)

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用直线 y=3x 与 x+y+4=0 确定交点(﹣1,﹣3) , 则由条件确定 m 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 ,解得 ,即交点坐标 A(﹣1,﹣3) ,

要使直线 y=3x 上存在点(x,y)满足约束条件, 则 A 在区域内,如图所示.可得 m≥﹣1, ∴实数 m 的取值范围是[﹣1,+∞) . 故选:A

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的理解能力,利用数形结合是解决此类问 题的基本方法.

9. (5 分)已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为

,则该椎体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由已知中锥体的正视图和侧视图,可得锥体的高为

,结合锥体的体积为

,可

得其底面积为 2,进而可得答案. 解答: 解:∵锥体的正视图和侧视图均为边长为 2 的等边三角形, 故锥体的高为 , 又∵锥体的体积为 ,

故锥体的底面面积为 2, A 中图形的面积为 4,不满足要求; B 中图形的面积为 π,不满足要求; C 中图形的面积为 2,满足要求; D 中图形的面积为 ,不满足要求; 故选:C 点评: 本题考查的知识点是简单几何体的三视图,难度不大,属于基础题. 10. (5 分)已知圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 1,直线 l:y=kx+t(k 为常数,t≠0)与圆 O 相交于 M,N 两点,记△ MON 的面积为 S,则函数 S=f(t)的奇偶性() A.偶函数 B. 奇函数 C. 既不是偶函数,也不是奇函数 D.奇偶性与 k 的取值有关 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用;直线与圆. 分析: 根据直线和圆的位置关系求出圆心到直线的距离以及弦长,求出三角函数的面积, 结合函数奇偶性的定义进行判断即可. 2 2 解答: 解:圆的标准方程为 x +y =1, 圆心到直线的距离 d= ,

弦 MN 的长度 l=

=

=



则△ MON 的面积为 S=f(t)= ? 则 f(﹣t)=

? =f(t) ,

=



故函数 f(t)为偶函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据条件求出三角形的面积是解决本题的关键. 二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题)

11. (5 分)函数 f(x)=ln(x﹣2)的定义域为(2,+∞) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数 f(x)的解析式,真数大于 0,列出不等式,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=ln(x﹣2) , ∴x﹣2>0; 解得 x>2, ∴该函数的定义域为(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查了对数函数定义域的应用问题,是基础题目. 12. (5 分)已知 e 为自然对数的底数,则曲线 y=2e 在点(1,2e)处的切线斜率为 2e. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线的斜率. 解答: 解:曲线 y=2e 的导数为:y′=2e , x 1 曲线 y=2e 在点(1,2e)处的切线斜率为:y′|x=1=2e =2e, 故答案为:2e. 点评: 本题主要考查函数切线斜率的求解,利用导数的几何意义是解决本题的关键. ,点 O 为坐标原点,点 An(n,f(n) ) (n∈N ) ,向量 =(0,
* x x x

13. (5 分)已知函数 f(x)=

1) ,θn 是向量

与 的夹角,则

+

+…+

的值为



考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意易得 = ﹣ ,进而由裂项相消法可得.

解答: 解:由题意可得 90°﹣θn 是直线 OAn 的倾斜角, ∴ = =tan(90°﹣θn) = ﹣ ,

=

=



+

+…+

=1﹣ + ﹣ +…+



=1﹣

=

, .

故答案为:

点评: 本题考查三角函数恒等变换,涉及裂项相消法求和,属中档题. 三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (一、坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 (θ

为参数)和

(t 为参数) .以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则

曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标为



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用 sin θ+cos θ=1,可把曲线 C1 的参数方程化为 x +y =2,由 C2 数)化为 x+y=2,联立解出交点坐标,化为极坐标即可. 解答: 解:曲线 C1 的参数方程分别为 (θ 为参数) ,化为 x +y =2,
2 2 2 2 2 2

(t 为参

由 C2

(t 为参数)化为 x+y=2,

联立

,解得 x=y=1,

∴曲线 C1 与 C2 的交点为 P(1,1) , 可得 故答案为: = ,tanθ=1,可得 . .

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、直角坐标化为极坐标, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. (二)几何证明选讲选做题 15.如图,BC 是圆 O 的一条弦,延长 BC 至点 E,使得 BC=2CE=2,过 E 作圆 O 的切线,A 为切点,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,则 DE 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 利用切线的性质、角平分线的性质,证明∠ADE=∠DAE,可得 AE=DE,再利用切 割线定理,即可求出 DE 的长. 解答: 解:∵AE 是圆 O 的切线, ∴∠EAC=∠B, 又∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC. ∴∠ADE=∠DAE, ∴AE=DE, ∵BC=2CE=2,AE 是圆 O 的切线, ∴AE =CE?BE=3, ∴AE= . 故答案为: . 点评: 本题考查切线的性质、角平分线的性质,考查切割线定理,考查学生的计算能力, 比较基础. 四、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 α 是第一象限角,且 f(α+ )= ,求 tan(α﹣ )的值. )+cosx.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先对三角函数关系式进行恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一 步求出函数的最小正周期. (2)利用(1)求出的函数关系式,进一步求出函数的正弦值和余弦值,进一步求出函数的正 切值,最后求出结果. 解答: 解: (1)f(x)=sin(x﹣ = = = )+cosx

所以:函数 f(x)的最小正周期为: (2)由于 f(x)= 则:f( )=sin( )=cosα=

由于 α 是第一象限角 所以:sinα= 则: 则:tan(α﹣ )=

点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的周期的应用,三 角函数的求值问题,属于基础题型. 17. (12 分)从广州某高校男生中随机抽取 100 名学生,测得他们的身高(单位:cm)情况如 表: (1)求 a,b,c 的值; (2)按表 1 的身高组别进行分层抽样,从这 100 名学生中抽取 20 名担任广州国际马拉松志 愿者,再从身高不低于 175cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,求这 2 名担任迎宾工 作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180cm 的概率. 分组 频数 频率 [160,165) 5 0.05 [165,170) a c [170,175) 35 0.35 [175,180) b 0.20 [180,185] 10 0.10 合计 100 1.00 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)通过概率的和为 1,求出 c,然后求解 a,b. (2)求出抽取的 20 名志愿者中身高在区间[175,180)的 4 名,记为 A,B,C,D;身高在 区间[180,185)上的有 2 名,记为 E,F,从身高不低于 175cm 的志愿者中随机选出 2 名担任 迎宾工作,列出所有事件数,求出满足题意的事件数目,然后求解概率. 解答: (本小题满分 12 分) (1)解:由 0.05+c+0.35+0.20+0.10=1.00,得 c=0.30.…(1 分) 由 ,得 a=30,…(2 分)

由 5+30+35+b+10=100,得 b=20.…(3 分) (2)解:依据分层抽样的方法,抽取的 20 名志愿者中身高在区间[175,180)上的有 0.20×20=4 名,记为 A,B,C,D; …(5 分) 而身高在区间[180,185)上的有 0.10×20=2 名,记为 E,F.…(7 分)

记“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180cm”为事件 M, 从身高不低于 175cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,共有 15 种不同取法: {A,B}、{A,C}、{A,D}、{A,E}、{A,F}、{B,C}、{B,D}、{B,E}、{B,F}、{C, D}、{C,E}、{C,F}、{D,E}、{D,F}、{E,F}. …(9 分) 事件 M 包含的基本事件有 9 种:{A,E}、{A,F}、{B,E}、{B,F}、{C,E}、{C,F}、{D, E}、{D,F}、{E,F}. …(11 分) ∴P(M)= = 为所求. …(12 分)

点评: 本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识,考查化归与转化的数学思想方法, 以及数据处理能力与应用意识. 18. (14 分)如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O.沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图 2 的五棱锥 P﹣ABFED,且 PB= . (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求四棱锥 P﹣BFED 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由三角形的中位线定理可证 BD∥EF,再由菱形的对角线互相垂直证得 BD⊥AC.即可得到 EF⊥AO,再由已知可得 EF⊥PO,然后利用线面垂直的判定得答案; (2)设 AO∩BD=H,连接 BO,结合已知可得 HO=PO= ,通过解直角三角形求得 PO⊥平 面 BFED.然后求出梯形 BFED 的面积,代入棱锥的体积公式得答案. 解答: (1)证明:如图, ∵点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点, ∴BD∥EF. ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥AO,EF⊥PO. ∵AO?平面 POA,PO?平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA. ∴BD⊥平面 POA. (2)解:设 AO∩BD=H,连接 BO, ∵∠DAB=60°,

∴△ABD 为等边三角形. ∴BD=4,BH=2,HA= ,HO=PO= 在 Rt△ BHO 中,
2 2 2





在△ PBO 中,BO +PO =10=PB , ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面 BFED,BO?平面 BFED, ∴PO⊥平面 BFED. 梯形 BFED 的面积为 ∴四棱锥 P﹣BFED 的体积 , =3.

点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.
*

19. (14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1=1, nSn+1﹣ (n+1) Sn=

, n∈N .

(1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 k,使得 ak、S2k、a4k 成等比数列?若存在,求 k 的值;若不存在,请 说明理由. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a1=1,nSn+1﹣(n+1)Sn= 得即可. (2)由 nSn+1﹣(n+1)Sn= 公式可得 ,n∈N .变形为
*

,n∈N .取 n=1,可得 1+a2﹣2=1,解

*

,利用等差数列的通项

,再利用递推式即可得出. =ak?a4k,代入解出即可.

(3)假设存在正整数 k,使得 ak、S2k、a4k 成等比数列,则

解答: 解: (1)由 a1=1,nSn+1﹣(n+1)Sn= 解得 a2=2. (2)∵nSn+1﹣(n+1)Sn= ∴数列 ∴ 当 n≥2 时, ,n∈N .变形为
*

,n∈N .取 n=1,可得 1+a2﹣2=1,

*



是等差数列,首项为 1,公差为 , ,化为 , ,∴an=Sn﹣Sn﹣1=n,当 n=1 时,等式也成立,

∴an=n. (3)假设存在正整数 k,使得 ak、S2k、a4k 成等比数列, 则 ∴ 化为 2k+1=2, 解得 k= ,舍去. 因此不存在正整数 k,使得 a3、S6、a12 成等比数列. 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用,考查了变形能力,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2

, =k×4k,

20. (14 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线 C2: 直线 x+ y=0 与椭圆 C1 交于 A、B 两点,且点 A 的坐标为(﹣ =0,

﹣y =1 的顶点,

,1) ,点 P 是椭圆 C1 上

异于点 A,B 的任意一点,点 Q 满足

=0,且 A,B,Q 三点不共线.

(1)求椭圆 C1 的方程 (2)求点 Q 的轨迹方程 (3)求△ ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标. 考点: 轨迹方程;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出椭圆的焦点,利用椭圆的定义,可得椭圆 C1 的方程 (2)设 Q(x,y) ,P(x1,y1) ,由题意,B( ,﹣1) ,利用点 Q 满足 =0, =0,

结合点 P 是椭圆 C1 上异于点 A,B 的任意一点,求点 Q 的轨迹方程 (3)由于|AB|=2 ,故 Q 到 AB 的距离最大时,△ ABQ 的面积最大,即可求△ ABQ 面积的 最大值及此时点 Q 的坐标. 解答: 解: (1)双曲线 C2: ∴椭圆 C1 的焦点为 F1(﹣ ﹣y =1 的顶点为 F1(﹣ ,0) ,
2

,0) ,F2(

,0) ,

,0) ,F2(

∵椭圆过 A(﹣ ,1) , ∴2a=|AF1|+|AF2|=4, ∴a=2, ∴b= = ,

∴椭圆 C1 的方程为



(2)设 Q(x,y) ,P(x1,y1) 由题意,B( ,﹣1) , ∴ 由 =(x+ ,y﹣1) , =(x1+ ) (x1+ ) (x1﹣
2

,y1﹣1) ,

=(x﹣

,y+1) ,

=(x1﹣

,y1+1) ,

=0,可得(x+ =0,可得(x﹣
2

)=﹣(y﹣1) (y1﹣1) , )=﹣(y+1) (y1+1) ,
2 2

两式相乘,可得(x ﹣2) (x1 ﹣2)=(y ﹣1) (y1 ﹣1) , 2 2 点 P 是椭圆 C1 上异于点 A,B 的任意一点,∴x1 =4﹣2y1 , 2 2 2 2 ∴﹣2(x ﹣2) (y1 ﹣2)=(y ﹣1) (y1 ﹣1) , 2 2 2 y1 ﹣1≠0 时,2x +y =5; 2 y1 ﹣1=0 时, 则P (﹣ , ﹣1) 或P ( , 1) , Q ( , 1) 或Q (﹣ P 与 A 重合时,P(﹣ ,1) , y= x﹣3 代入 2x +y =5 可得 Q(
2 2

, ﹣1) , 满足 2x +y =5,

2

2

,﹣1)或( ,2) ;

,﹣2) ;

同理 P 与 B 重合时,Q(﹣
2 2

,1)或(﹣

∴Q 的轨迹方程为 2x +y =5,除去(

,﹣1) 、 (

,﹣2) 、 (﹣

,1) 、 (﹣

,2) ;

(3)由于|AB|=2 ,故 Q 到 AB 的距离最大时,△ ABQ 的面积最大, 设与直线 AB 平行的直线为 x+ y+m=0 2 2 2 2 与 2x +y =5 联立,可得 5y +4 my+2c ﹣5=0 △ =32m ﹣20(2m ﹣5)=0,可得 m=± m= ,y=﹣2,x=﹣ ;m=﹣
2 2

, ;

,y=2,x=

∴Q(

,2)或(﹣

,﹣2)时,△ ABQ 的面积最大,最大为 |AB|×

=



点评: 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查 学生分析解决问题的能力,有难度.

21. (14 分)已知 t 为常数,且 0<t<1,函数 g(x)= (x+ (x)=
3 2

) (x>0)最小值和函数 h

的最小值都是函数 f(x)=﹣x +ax +bx(a,b∈R)的零点.

(1)用含 a 的式子表示 b,并求出 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用基本不等式可得 g(x)= (x+ = = ≥ )≥ ,
2

;再由二次函数知 h(x) 是方程﹣x +ax+b=0 ) ,
2

;从而可得

的两个根; 借助根与系数的关系可化简得 b=1﹣ (0,1)上可得 <a<2;
3 2

; 再由﹣x +ax+b=0 的两根分别在 (1,

(2)化简 f(x)=﹣x +ax +(1﹣

)x,再求导 f′(x)=﹣3x +2ax+1﹣

2

,从而可判断函

数 f′(x)在区间[1,2]上单调递减,函数 f(x)在[1,2]上单调递减;从而求函数 f(x)在区 间[1,2]上的最值. 解答: 解: (1)∵0<t<1,x>0, ∴g(x)= (x+ (当且仅当 x= h(x)= )≥ ,即 x= = ; <1,
2

; 时,等号成立) ,

故当 x=1 时,[h(x)]min= ∵0<t<1, ∴1< <
3

,0<
2

∵f(x)=﹣x +ax +bx=x(﹣x +ax+b) , 结合题意可知: ∴ ∴a =2+2 ∴b=1﹣
2 2

, =a,

是方程﹣x +ax+b=0 的两个根, =﹣b;

2

+

=2﹣2b; ; ) , (0,1)上知,

再由﹣x +ax+b=0 的两根分别在(1,



解得, 故 b=1﹣

<a<2; , ( <a<2) .
3 2

(2)由(1)得:f(x)=﹣x +ax +(1﹣ 则 f′(x)=﹣3x +2ax+1﹣ ∵ <a<2,
2 2

)x,



∴二次函数 f′(x)=﹣3x +2ax+1﹣ 对称轴为 x= < ;

的图象开口向下,

∴函数 f′(x)在区间[1,2]上单调递减, 又 f′(1)=﹣3+2a+1﹣ =﹣ (a﹣2) <0,
2

∴当 x∈[1,2]时,f′(x)≤f′(1)<0, ∴函数 f(x)在[1,2]上单调递减; ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=a﹣ ;最小值为 f(2)=﹣a +4a﹣6.
2

点评: 本题考查了基本不等式在求最值中的应用,二次函数配方法求最值,根与系数的关 系应用,同时考查了导数的综合应用及学生化简与运算的能力,属于难题.


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