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【数学】江西省上饶中学2013届高三第一次月考试题(文)

江西省上饶中学 2013 届高三第一次月考试题(文)
时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)。 1. 已 知 全 集 U ? R , 则 正 确 表 示 集 合 M ? {?1, 0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关 系 的 韦 恩
2

?

?

(Venn)图是

(

)

2.下列函数中,与函数 y ? A. f ( x) ? ln x 3.设集合 A ? {x | ?

1 有相同定义域的是 x

( D. f ( x) ? e

)

B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ?| x |

x

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? 2
B. {x | ?





A. {x ?1 ? x ? 2} C. {x | x ? 2} 4.若函数 f ( x) ? x ?
2

1 ? x ? 1} 2

D. {x |1 ? x ? 2}

a (a ? R) ,则下列结论正确的是 x
B. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数





A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 C. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 5.设 a ? b ,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是
2





6.“ m ? 1 ”是 “函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? m 有零点”的??????????????? ( A.充要条件 C.充分非必要条件
3 2



B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

7.若 a >0, b >0,且 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A.2 8.设 f ( x ) ? ? B.3 C.6 若 f ( x? ) ? 1 ,则 x? 的取值范围是 B. (?1, ??) D.9 (

? 21? x ? 1 ?1gx

x ?1 x ?1



A. (0,10) C. (??, ?2) ? (?1,0)

(-?,0) (10,+?) ? D.

e x ? e? x 9.函数 y ? x 的图像大致为( e ? e? x

).

10.函数 f ( x ) ? ?

? ax 2 ? 1, x?0 ? 在 (??, ??) 上单调,则实数 a 的取值范围是 ( 2 ax ?( a ? 1)e , x ? 0 ?
B. [? 2, ?1) ? [ 2, ??) D. [ 2, ??)

)

A. (??, ? 2] ? (1, 2] C. (1, 2] 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11.若函数 f ( x) ? log 2 (4 x ? 2), 则 f

?1

(1) ? _____________.

12.某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低 0.7℃,已知山顶的温度是 14.1℃,山 脚的温度是 26℃,则此山的高度为_________m. 13.用二分法求函数 f ( x) ? 3 ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003
x

f(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029

f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060

根据此数据,可得方程 3 ? x ? 4 ? 0 的一个近似解(精确到 0.01)为 . 14.定义区间 [ x1 , x 2 ] ( x1 ? x 2 ) 的长度为 x 2 ? x1 ,已知函数 y ? | log 1 x | 的定义域
2

为 [a , b] ,值域为 [0 , 2] ,则区间 [a , b] 长度的最大值与最小值的差为 15. 某同学在研究函数 f (x) = x ( x ? R ) 时,分别给出下面几个结论: 1+|x|

.

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立; ②函数 f (x) 的值域为 (-1,1); ③若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2); ④ g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点.

其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上) 三、解答题(共 6 大题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明和推理过程或演算步骤) 16. (12 分) 已知 A ? x | x ? a |? 4 , B ? x | x ? 2 |? 3 . ⑴若 a ? 1 ,求 A ? B ; ⑵若 A ? B =R,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

17. (12 分) 若 (x) f 在定义域 (-1, 内可导, f ?( x) ? 0; 又当a 、b ? (?1,1)且a ? b ? 0 1) 且 时, f (a) ? f (b) ? 0, 解不等式f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0.
2

x 18. (12 分) 已知函数 f ( x ) ? log 2 2 ? 1 .

?

?

⑴求证:函数 f ( x) 在 ( ? ?, ? ? ) 内单调递增; ⑵若关于 x 的方程 log 2 (2 ? 1) ? m ? f ( x) 在 [1, 2] 上有解,求 m 的取值范围.
x

19. (12 分) 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入 成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 < x < 1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同 时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润 = (出厂价-投入成本)×年销售量.

⑴写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; ⑵为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

20.(12 分) 定义在 R 上的函数, 对任意 x1 ,x2 ? R , 都有 f (

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] , 2 2 2 则称函数 f ( x) 是 R 上的凹函数.已知二次函数 f ( x) ? ax ? x (a ? R, a ? 0) . ⑴求证:当 a ? 0 时,函数 f ( x) 是凹函数; ⑵对任意 x ? [0,1] 有 f ( x) ? 1 ,求 a 的取值范围.

21.(14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f (x) 在点 x ? 1 处的切线 l 不过第
3 2

四象限且斜率为 3 , 又坐标原点到切线 l 的距离为 ⑴求 a, b, c 的值;

10 2 , x ? 时, y ? f (x) 有极值. 若 10 3

⑵求 y ? f (x) 在 ?? 3,1? 上的最大值和最小值.

参考答案

?1 ? m ? m 2 ? 1 ? ? ?? 1 ? 1 ? m ? 1 ,解得 m ? (1, 2 ) . ? 2 ?? 1 ? m ? 1 ? 1
18.⑴证明:任取 x1 ? x2 ,则

⑵解法一:

?m ? log 2 ? 2 x ? 1? ? log 2 ? 2 x ? 1? ? log 2


2x ?1 2 ? ? ? log 2 ?1 ? x ? x 2 ?1 ? 2 ?1 ?

当 1 ? x ? 2 时,

2 2 2 1 2 3 ? x ? , ? ? 1? x ? , 5 2 ?1 3 3 2 ?1 5

? ?1? ?3? ? ? m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? . ?3? ?5? ? ?

19.解:⑴由题意得 y = [ 1.2×(1+0.75x)-1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )(0 < x < 1) 整理得 y = -60x2 + 20x + 200(0 < x < 1).

? y ? (1.2 ? 1) ? 1000 ? 0 , ⑵要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 ? ?0 ? x ? 1.
?? 60 x 2 ? 20 x ? 0 , 即? ?0 ? x ? 1.
解不等式得 0 ? x ?

1 . 3

答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足 0 < x < 0.33.

1 2 1 ? ?a ? ( x ) ? x , ? 又 a ? 0 ,得 ? 解得 ?2 ? a ? 0 . ? a ? ?( 1 ) 2 ? 1 . ? x x ?
21 解 ⑴由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,得 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
3 2 2

? f ?(1) ? 3 ?a ? 2 ?2 a ? b ? 3 ? 由已知 ? 得? ,解得 ? . 2 ?b ? ?4 ? f ?( 3 ) ? 0 ?4a ? 3b ? 4 ? 0 ?

2 2 ∴f′(x)=3x +4x-4.令 f′(x)=0,得 x=-2,x= . 3

f(x)和 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
[-3,-2) + -2 0 极大值

?-2,2? ? 3? ? ?


2 3 0 极小值

?2,1? ?3 ? ? ?


?

?

?

∴f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=13,