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【步步高】江苏专用高考数学二轮复习 专题二第1讲三角函数的图象与性质课件 文 苏教版_图文

专题二 三角函数、解三角形、 平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 感悟高考 (2010· 湖北)已知函数 1 1 g(x)=2sin 2x-4. 明确考向 ?π ? ?π ? f(x)=cos?3+x?cos?3-x?, ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值, 并求使 h(x)取得最 大值的 x 的集合. ?π ? ?π ? ? ? ? 解 (1)因为 f(x)=cos?3+x?cos?3-x? ? ? ? ? ? ?1 ??1 ? 3 3 ? ?? =? cos x- sin x?? cos x+ sin x? ? 2 2 ?2 ??2 ? 1 2 3 2 1+cos 2x 3-3cos 2x 1 1 = cos x- sin x= - = cos 2x- , 4 4 8 8 2 4 2π 所以 f(x)的最小正周期为 =π. 2 π? 1 1 2 ? ? (2)h(x)=f(x)-g(x)= cos 2x- sin 2x= cos?2x+4? ?, 2 2 2 ? ? π 2 当 2x+ =2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值 . 4 2 ? ? ? ? ? π ? ? h(x)取得最大值时, 对应的 x 的集合为 x?x=kx-8,k∈Z ?. ? ? ? ? ? 考题分析 本题主要考查综合运用三角公式、三角函 数性质进行运算求解的能力.本题以三角函数的运算 和性质为主线, 着重对基础知识和基本方法的考查. 题 目难度不大,重视基础、强调应用. 易错提醒 (1)对三角恒等变换公式掌握不牢,化简方 向不明确. π (2)h(x)的最大值的条件不准确,易写为 2x+4=0. (3)求的结论是 h(x)取得最大值时, 对应的 x 的集合. 考 生易忽略集合的表示方法. 主干知识梳理 1.任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 y P(x,y),那么 sin α=y,cos α=x,tan α= . x (2)各象限角的三角函数值的符号: 一全正, 二正弦, 三正切,四余弦. 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α) =cos α,tan(kπ+α)=tan α(k∈Z) sin(π+α)=-sin α,cos(π+α) =-cos α,tan(π+α)=tan α sin(-α)=-sin α,cos(-α) =cos α,tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α,cos(π-α) =-cos α,tan(π-α)=-tan α π π sin( -α)=cos α,cos( -α)=sin α 2 2 π π sin( +α)=cos α,cos( +α)=-sin α 2 2 2 3.同角三角函数基本关系式 sin α sin α+cos α=1,tan α= (cos α≠0). cos α 2 4.正弦、余弦、正切、余切函数的性质 函 性 数 质 y=sin x R y=cos x R y=tan x y=cot x {x|x≠kπ, k∈Z} 定义 域 π {x|x≠kπ +, 2 k∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 单 调 性 2π 单调增区间[2kπ π π -2,2kπ+2] (k∈Z);单调减 π 区间 [2kπ+ 2 , 3π 2kπ+ ](k∈Z) 2 奇 2π π π 单调增区间 [2kπ-π,2kπ] 单调增区间 单调减区间 π π (k∈Z);单 (kπ-2, kπ+2)kπ,kπ+π) 调减区间在 (k∈Z) ( k ∈ Z ) [2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 偶 奇 奇 奇偶 性 5.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值 2 2 与相应的 y 的值,描点、连线可得. (2)图象变换 y=sin x 向左(? ? 0)或向右(? ? 0) y=sin(x+φ) 平移 | ? | 个单位 横坐标变为原来的 1 ? (? ? 0)倍 y=sin(x+φ) 纵坐标不变 纵坐标变为原来的 A( A ? 0)倍 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ). 热点分类突破 题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的 应用 例 1 如图在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边 作两个锐角 α、β,它们的终边分别与单位圆交于 A、 2 2 5 B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 、 . 10 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值. x 思维启迪 根据任意角三角函数的定义 cos α= 不难 r 得到 cos α、cos β 的值,利用同角三角函数可求 sin α、 sin β、tan α、tan β 的值,进而利用和角公式求 tan(α+ β)的值. 注意到第 (2)问相当于“给值求角”问题,除注意 到“角的变换”:α+2β=(α+β)+β 外,还应注意该 类问题求解的一般程序. 解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知, 2 2 5 cos α= ,cos β= . 10 5 7 2 因为 α 为锐角, 故 sin α>0, 从而 sin α= 1-cos α= . 10 5 1 同理可得 sin β= .因此 tan α=7,tan β= . 5 2 1 7+ tan α+tan β 2 所以 tan(α+β)= = =-3. 1 1-tan αtan β 1-7× 2 2 tan(α+β)+tan β (2)tan(α + 2β) = tan[(α + β) + β] = = 1-tan(α+β)tan β 1 -3+ 2